МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

INTER-SECTORAL BALANCE MODELS

Vedernikova Daria Sergeevna

Student, Department of Economics and Management, Ulyanovsk State Technical University,

Russia, Ulyanovsk

Kireev Sergey Vladimirovich

Scientific supervisor, candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Ulyanovsk state Technical University,

Russia, Ulyanovsk

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена теме модели межотраслевого баланса – раздела экономико-математического моделирования, изучающего взаимосвязи между отраслями экономики через систему линейных уравнений. Метод был разработан экономистом Василием Леонтьевым. Актуальность заключается в том, что все отрасли экономики взаимосвязаны, и модель Леонтьева помогает это предусмотреть. В первой части детально вводятся ключевые понятия: таблица межотраслевого баланса (шахматная таблица, характеризующая межотраслевые связи), коэффициент прямых затрат a_ij, вектор валового выпуска x_i, вектор конечного продукта y_i, а также основное уравнение Леонтьева X = AX + Y и его преобразованная форма x = (E – A)^-1y. Аргументируется важность продуктивности матрицы прямых затрат для существования неотрицательного решения. Представлены два критерия продуктивности: когда наибольшее собственное число матрицы меньше единицы, а также когда существует неотрицательная обратная матрица. Также применяются численные методы – обращение матриц и решение систем уравнений.

В практической части на конкретном примере показан полный ход расчетов: для заданной матрицы прямых затрат и вектора конечного продукта, а также для задачи с учетом инвестиционных коэффициентов. Детально описывается построение системы линейных уравнений, нахождение неизвестных X_1, X₂, X₃, вычисление прироста выпуска, а также составление итоговой схемы межотраслевого материального баланса (включая межотраслевые потоки, инвестиции и конечный продукт). Работа демонстрирует, почему модель Леонтьева позволяет рассчитать объемы производства, опираясь на межотраслевые связи.

ABSTRACT

This article focuses on the input-output model - a branch of economic and mathematical modeling that examines the interrelationships between economic sectors through a system of linear equations. The method was developed by economist Wassily Leontief. The relevance lies in the fact that all sectors of the economy cooperate, and Leontief’s model helps to foresee this. The first part provides a detailed introduction to key concepts: the input-output table (a matrix characterizing inter-industry linkages), the direct cost coefficient a_ij, the gross output vector xi, the final product vector y_i, as well as Leontief’s fundamental equation X = AX + Y and its transformed form x = (E – A)⁻¹y. The importance of the direct cost matrix’s invertibility for the existence of a non-negative solution is argued. Two criteria for productivity are presented: when the largest eigenvalue of the matrix is less than one, and when a non-negative inverse matrix exists. Numerical methods are also applied—matrix inversion and solving systems of equations.

In the practical section, a specific example demonstrates the complete calculation process: for a given direct cost matrix and final product vector, as well as for a problem that takes investment coefficients into account. The construction of a system of linear equations, the determination of the unknowns X1, X2, X3, the calculation of output growth, and the compilation of a final inter-industry material balance diagram (including inter-industry flows, investments, and final output) are described in detail. The paper demonstrates why the Leontief model allows for the calculation of production volumes based on inter-industry linkages.

Ключевые слова: межотраслевой баланс, модель «затраты - выпуск», матрица прямых затрат, вектор валового выпуска, вектор конечного продукта, основное уравнение Леонтьева, матрица целых затрат, продуктивность матрицы.

Keywords: inter-industry input-output analysis, input-output model, direct cost matrix, gross output vector, final product vector, Leontief’s fundamental equation, total cost matrix, matrix productivity.

Межотраслевой баланс является одним из видов межотраслевых моделей. Исследование взаимовлияния в развитии отдельных отраслей, характеризующих изучаемую систему, являются объектом межотраслевого анализа. Межотраслевым балансом производства называется таблица, связывающая распределение и производство продукции между отраслями, также использование ресурсов в народном хозяйстве. В основе нее лежит шахматная таблица, характеризующая межотраслевые связи. Так модель Леонтьева может применяться для построения структуры производства, опирающегося на поставки материалов, производимых другими отраслями региона [5, с. 35]. Компоненты первого раздела являются функциями размеров производства соответствующих отраслей. Мы имеем линейную модель межотраслевых связей, если функции линейные. Нелинейную модель связей мы будем иметь при нелинейной функции затрат. Основная черта – соответствие итогов одноименных колонок и строк. Это равенство перешло из систем счетов. Суть в том, что полученный доход плюс цена затрат на создание равна оплате всей продукции которую выпустили. Межотраслевой баланс – это система уравнений, формирующая общественное производство. Это сокращает сроки подготовки планов, а также дает возможность разрабатывать эффективные экономические планы. В. Леонтьев проявлял неистощимую фантазию в распространении метода «затраты - выпуск» на качественно разнообразные области исследований [2, с. 117]. Основным достоинством модели «затраты - выпуск» является естественное соединение привычных приемов экономической работы с учетом математики.

В линейном межотраслевом балансе считается, что производственные задержки пропорциональны объему изготовляемой продукции: x_ij = a_ijx_j, где a_ij – коэффициент прямых затрат и имеет значение величины продукции i-й отрасли на производство единицы валовой продукции j-й отрасли [3, с. 38]. Требование линейности следует, что каждая отрасль может выпускать разный объем своей продукции при условии, что ей гарантировано поступление сырья. Но это не так, производственные потенциалы любой отрасли недостаточны имеющимся объемом трудовых возможностей.

Общий объем продукции i-той отрасли совпадает с суммарным объему товаров, потребляемой n отраслями, и конечного продукта. Получится соотношение: x_i =∑b_ij + y_i, (I = 1,2,…, n). Уравнение называют соотношениями баланса [1, с. 8]. В модели Леонтьева вектор спроса на товары считается заданным, и, опираясь на спрос, вектор выпуска товаров рассчитывается. Конечный продукт является частью общественного продукта, если вычесть из него материальные услуги, энергию, объекты производства, топливо. Он по-разному описывается во втором разделе баланса (структурно-вещественная форма) и в третьем разделе (состав конечного продукта по стоимости).

Основное уравнение модели Леонтьева записывается так: X = AX+Y [4, с. 69]. Модель можно переписать по другому: y = (E - A)^-1y. Матрицу B = (E – A)^-1y назвали матрицей целых затрат. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система имеет неотрицательное решение. Суть продуктивности матрицы: существует хотя бы один вариант работы всех отраслей, при которых выпуск каждого продукта превышает его применение. Одновременно с этим методом промышленный сектор образует положительный столбец конечного продукта: X – AX > 0. Чтобы выявить, является ли матрица материальных затрат изучаемой области продуктивной или непродуктивной, нужно опираться на основные критерии. Первый критерий: неотрицательная квадратная матрица A продуктивна только в том случае, когда матрица S = (E-A)^-1 существует и неотрицательна. Второй критерий: неотрицательная таблица A продуктивна тогда, когда самое большое по модулю число подходит условию  λ_max < 1 [1, с. 12].

Исследуем на практике. Пример: найти параметры межотраслевого баланса.

Условие: A = ,  Y = ,   k = , 

X^t-1 = , Ŷ =

Решение: Шаг 1. Расчёт показателей полных материальных затрат

Из единичной матрицы E вычитаем A:

E – A =  -  =

Находим определитель:

D = 0,75 ⋅ (0,55 ⋅ 0,75 – (- 0,05) (-0,10)) – (-0,15) ⋅ ((-0,20) ⋅ 0,75 – (-0,05) ⋅ (-0,30)) + (-0,35) ⋅ ((-0,20) ⋅ (-0,10) – 0,55 ⋅ (-0,30)) = 0,75 ⋅ (0,4125 – 0,005) + 0,15 ⋅ (-0,15 – 0,015) – 0,35 ⋅ (0,02 + 0,165) = 0,305625 – 0,02475 – 0,06475 = 0,216125 ≈ 0,216

Находим миноры:

M₁₁ =  = 0,4075

M₁₂ =  = -0,165

M₁₃ =  = 0,185

M₂₁ =  = -0,1475

M₂₂ =  = 0,4575

M₂₃ =  = -0,12

M₃₁ =  = 0,20

M₃₂ =  = -0,1075

M₃₃ =  = 0,3825

Транспортируем матрицу миноров и находим обратную матрицу:

(E – A) ^-1 =  ⋅  ≈

Шаг 2. Вектор общей продукции

(150, 250, 200)^T

X =  ⋅  ≈  

Шаг 3. Вычисление вектора

kX^t-1 =  ⋅  =

Ŷ – kX^t-1 =

Шаг 4. Вычисление матрицы E – A – k

E – A – k =  =

Шаг 5. Решение системы (E – A – k)X^t = Ŷ – kX^t-1

Решая систему (методом подстановки), получаем:

X^t ≈

Шаг 6. Находим увеличение выпуска

∆X = X^t – X^t-1 =  ⁼

Шаг 7. Закупка изделия для инвестиций

k ⋅ ∆X =  ⋅  =

Шаг 8. Схема межотраслевого материального баланса

По результатам найденных значений X^t и инвестиций для изделия k ⋅∆X можно посчитать межотраслевые потоки x_ij = a_ijx_j:

x₁₁ = 0,25 ⋅ 1326,97 ≈ 331,74

x₁₂ = 0,15 ⋅ 1424,23 ≈ 213,63

x₁₃ = 0,35 ⋅ 1223,61 ≈ 428,26

x₂₁ = 0,20 ⋅ 1326,97 ≈ 265,39

x₂₂ = 0,45 ⋅ 1424,23 ≈ 640,90

x₂₃ = 0,05 ⋅ 1223,61 ≈ 61,18

x₃₁ = 0,30 ⋅ 1326,97 ≈ 398,09

x₃₂ = 0,10 ⋅ 1424,23 ≈ 142,42

x₃₃ = 0,25 ⋅ 1223,61 ≈ 305,90

Инвестиции I_i:

I₁ = 32,35 + 28,03 + 42,95 = 103,33

I₂ = 25,88 + 74,74 + 6,14 = 106,76

I₃ = 32,35 + 28,03 + 36,82 = 97,2

Таблица 1.

Схема межотраслевого материального баланса

Список литературы:

1. Благовисная А.Н., Дусакаева С.Т., Тяпухина О.А. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики: методические указания к самостоятельной работе / Оренбургский гос. ун-т. — Оренбург: ОГУ, 2010. — 58 с.
2. Гранберг А.Г. Мир Василия Леонтьева // Экономическая наука современной России. — 1999. — № 1(5). — С. 114-123.
3. Коссов В.В. Межотраслевой баланс. — М.: Экономика, 1966. — 226 с.
4. Масаев С.Н. Модель межотраслевого баланса Леонтьева как задача управления динамической системой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Приборостроение». — 2021. — № 2. — С. 66-82.
5. Самков Т.Л. Использование модели товарного межотраслевого баланса для описания движения потоков продукции в рамках экономики региона // Бизнес. Образование. Право. — 2022. — № 4 (61). — С. 34-44.