ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

CALCULATING THE VOLUME OF A ROTATIONAL BODY USING A SPECIFIC INTEGRAL

Batdalova Adelya Ravilevna

Student, Ulyanovsk State Technical University,

Russia, Ulyanovsk

Kireev Sergey Vladimirovich

Scientific supervisor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Technical University,

Russia, Ulyanovsk

АННОТАЦИЯ

В статье разбирается задача о нахождении объёма тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси абсцисс. Фигура ограничена графиком функции, осью Ox и двумя вертикальными прямыми на отрезке от нуля до двух. Подынтегральное выражение представляет собой произведение корня и убывающей экспоненты. Решение опирается на формулу объёма через определённый интеграл от квадрата подынтегральной функции. Приведены теоретические основы метода, подробное вычисление интеграла приёмом интегрирования по частям и численная проверка ответа. Подобная комбинация подынтегральных множителей в стандартных задачниках почти не встречается, что делает разбор полезным с методической точки зрения.

ABSTRACT

The article examines the problem of finding the volume of a solid formed by rotating a plane figure around the x-axis. The figure is bounded by the graph of a function, the Ox axis, and two vertical lines on the interval from zero to two. The integrand is a product of a square root and a decaying exponential. The solution relies on the formula for volume expressed through a definite integral of the squared integrand function. The article presents the theoretical foundations of the method, a detailed calculation of the integral using integration by parts, and a numerical verification of the answer. Such a combination of integrand factors is rarely encountered in standard problem sets, which makes the analysis methodologically useful.

Ключевые слова: определённый интеграл, объём тела вращения, интегрирование по частям, криволинейная трапеция, приложения интеграла.

Keywords: definite integral, volume of a solid of revolution, integration by parts, curvilinear trapezoid, applications of the integral.

Геометрические приложения определённого интеграла занимают заметное место в курсе математического анализа. Через такие задачи становится понятно, зачем нужен сам аппарат интегрирования: формула превращается в инструмент для подсчёта вполне физических величин - площадей, длин дуг, объёмов [1, с. 312].

Объём, который занимает тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг оси, выражается через интеграл от квадрата подынтегральной функции. Подобные задачи встречаются у Демидовича, Бермана, Кудрявцева [2, с. 215; 4, с. 408; 5, с. 287], и почти каждое учебное пособие по матанализу включает блок про объёмы тел вращения. Но конкретный набор кривых способен сделать вычисление совсем не очевидным, особенно когда под интегралом оказывается произведение степенной и экспоненциальной составляющих. Цель работы - найти объём тела, полученного вращением фигуры под графиком функции на отрезке от 0 до 2 вокруг оси абсцисс:

                                          (1)

Теоретические основы

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция:

                                                  (2)

Криволинейная трапеция, ограниченная её графиком, осью Ox и прямыми x = a, x = b, при вращении вокруг оси абсцисс описывает в пространстве тело вращения. Объём такого тела вычисляется по формуле [3, с. 198]:

                               (3)

Формула выводится через предельный переход от суммы объёмов цилиндрических дисков к интегралу: отрезок [a, b] разбивается точками a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b, на каждом малом отрезке тело приближается цилиндром радиуса f(ξₖ) и толщины Δxₖ, после чего интегральная сумма переходит в определённый интеграл. Условие неотрицательности связано с геометрической интерпретацией, но алгебраически квадрат функции делает знак неважным [5, с. 290].

Постановка задачи

Дана плоская фигура, ограниченная линиями:

                                                               (4)

y = 0,   x = 0,   x = 2.

Требуется найти объём тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ox. Функция:

                                                         (5)

Неотрицательна на всём отрезке (равна нулю в x = 0 и положительна при x > 0), так что условие применимости формулы выполнено.

Решение

Шаг 1. Подставляем функцию:

                                                         (6)

В формулу объёма тела вращения:

             (7)

Шаг 2. Под интегралом - произведение многочлена x и экспоненты e^(−x). Стандартный приём для таких выражений - формула интегрирования по частям [1, с. 245]:

                           (8)

В качестве u берётся многочлен (его производная упрощает выражение), в качестве dv - экспонента. Тогда u = x, du = dx

                                          (9)

                                         (10)

Подставляя в формулу, получаем:

        (11)

Шаг 3. Переходим к определённому интегралу, подставляя пределы:

      (12)

Шаг 4. Подставляя найденное значение интеграла в исходное выражение, получаем окончательный ответ:

                                                            (13)

Численная оценка результата

Известно, что e² ≈ 7,389, тогда 3/e² ≈ 0,406, и V ≈ π · 0,594 ≈ 1,866 куб. ед. Чтобы независимо подтвердить аналитический ответ, тот же интеграл можно посчитать численно - по формуле трапеций [3, с. 312]. Отрезок [0, 2] разбивается на четыре равные части шагом h = 0,5, и в узлах разбиения вычисляются значения подынтегральной функции:

                                                           (14)

Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Значения функции g(x) = x · e^(−x) в узлах разбиения отрезка [0, 2]

По формуле трапеций приближённое значение интеграла:

    (15)

Тогда приближённый объём V_прибл ≈ π · 0,571 ≈ 1,793 куб. ед., что отличается от точного значения 1,866 куб. ед. примерно на 4 % - характерная погрешность метода трапеций при данном шаге разбиения. Совпадение порядка величины подтверждает правильность аналитического вычисления.

Заключение

Объём тела, полученного вращением фигуры под графиком

                                           (16)

На отрезке [0, 2] вокруг оси Ox, равен:

           (17)

Использованный приём - приведение подынтегрального выражения к произведению степенной и экспоненциальной функций с последующим интегрированием по частям - переносится без существенных изменений на широкий класс похожих задач: на тела вращения вокруг оси Oy, на фигуры, ограниченные парой кривых, и на случаи, когда подынтегральная функция включает тригонометрические или логарифмические компоненты [2, с. 230; 4, с. 415].

Список литературы:

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. - 19-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2022. - 608 с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие. - СПб.: Лань, 2024. - 492 с.
3. Шипачёв В.С. Высшая математика. Базовый курс: учебник и практикум для вузов. - 9-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2023. - 447 с.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: АСТ, 2022. - 624 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1: учебник для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. - 400 с.