ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

​АННОТАЦИЯ

Нелинейные уравнения являются естественной формой записи равновесных, оптимизационных и обратных задач. В большинстве таких задач корень невозможно выразить элементарно, поэтому важна не только вычислительная формула, но и строгий анализ ее сходимости. Метод Ньютона занимает центральное место среди итерационных методов, поскольку использует локальную дифференциальную структуру функции и при выполнении условий невырожденности дает квадратичное уменьшение ошибки.

Ключевые слова: нелинейное уравнение; метод Ньютона; простая точка корня; квадратичная сходимость; невязка; якобиан; регуляризация.

Историческая основа метода связана с ньютоновским приемом последовательного уточнения корней; в «Всеобщей арифметике» И. Ньютон специально выделяет раздел «Об извлечении корней» [5, с. 35]. В современной форме рассматривается задача

                                       (1)

Пусть – текущее приближение. Из формулы Тейлора

                                 (2)

следует линейная модель . Ее решение дает ньютоновский шаг и итерацию

                           (3)

Метод Ньютона – это последовательное решение касательных линейных задач. А. А. Самарский и А. В. Гулин помещают его в раздел численного решения нелинейных уравнений как «один из базовых алгоритмов вычислительной математики» [7, с. 193]. Для системы , , аналогичная линеаризация имеет вид

                                  (4)

Пчелинцев и Скоркин подчеркивали, что «метод Ньютона представляет собой формулу перехода от одного приближения к другому» [6, с. 4].

Основной результат локальной теории формулируется через простой корень : , . Если на замкнутом интервале выполнено

                          (5)

то при сохранении итераций в для ошибки справедлива оценка

                                                      (6)

Она выражает квадратичную сходимость: скорость убывания ошибки определяется квадратом предыдущей ошибки, а не постоянным коэффициентом сжатия. Развитие этой идеи в работах Л. В. Канторовича привело к операторным условиям сходимости, где «решающую роль играют обратимость производной и мажорантные оценки» [4, с. 104]. В учебниках Н. С. Бахвалова и В. М. Вержбицкого метод Ньютона рассматривается «в связи с вопросами устойчивости, выбора начального приближения и оценки погрешности» [1, с. 330; 3, с. 210].

Ограниченность локальной теории особенно заметна при малой производной, кратном корне или плохо обусловленной матрице Якоби. Поэтому в многомерных расчетах часто применяются демпфированные и регуляризованные варианты:

          (7)

где , . Василенко, Сулейманов и Лебедев прямо связывают такую модификацию с «разработкой регуляризованного метода Ньютона для глобальной сходимости» [2, с. 90]. Таким образом, анализ метода включает не только порядок сходимости, но и условия, при которых шаг не разрушает итерационный процесс.

Рассмотрим нелинейное уравнение:

                       (8)

Производные равны

                                   (9)

На отрезке имеем , , следовательно, корень существует. При этом

                            (10)

Поэтому функция строго возрастает, корень на данном отрезке единствен, а для ньютоновской ошибки выполняется

                                    (11)

Итерационная формула принимает вид

                               (12)

При получена последовательность: , , , причем невязка уменьшается от до . Итоговое приближение

                                            (13)

получено в области, где доказаны единственность корня и квадратичная сходимость. Практический смысл расчета в соединении вычислительного шага с априорными оценками производных.

Вывод. Метод Ньютона строится на локальной линейной аппроксимации нелинейного уравнения и потому обладает высокой скоростью сходимости около простого корня. Однако его надежность зависит от невырожденности производной, ограниченности второй производной и выбора начального приближения. Для систем уравнений и плохо обусловленных задач естественными становятся регуляризованные и демпфированные модификации. Рассмотренный пример показывает, что корректное применение метода требует доказательства существования и единственности корня, оценки погрешности и контроля невязки.

Список литературы:

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы : учеб. пособие для вузов. – 6-е изд. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 636 с.
2. Василенко П. А., Сулейманов С. С., Лебедев К. А. Регуляризованный метод Ньютона с выбором шага для решения плохо обусловленных систем нелинейных алгебраических уравнений // Перспективы науки. – 2023. – № 8(167). – С. 90–98.
3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие. – М. : Высшая школа, 2001. – 382 с.
4. Канторович Л. В. О методе Ньютона // Сборник работ по приближенному анализу Ленинградского отделения Института им. В. А. Стеклова. – М.; Л. : Изд-во АН СССР, 1949. – С. 104–144.
5. Ньютон И. Всеобщая арифметика, или Книга об арифметических синтезе и анализе / пер. с лат., послесл., закл. ст. и примеч. А. П. Юшкевича. – М. : Изд-во АН СССР, 1948. – 444 с.
6. Пчелинцев М. В., Скоркин Н. А. Геометрический смысл метода Ньютона // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. – 2009. – № 22. – С. 4–12.
7. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы : учеб. пособие для вузов. – М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 432 с.