ОПРЕДЕЛЕНИЕ НУЖНОГО ЧИСЛА ТЕЛЕФОННЫХ ЛИНИЙ В ОФИСЕ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

АННОТАЦИЯ

В публикации изложены базовые сведения о теории массового обслуживания (ТМО) — дисциплине, изучающей случайные процессы поступления требований и их обработки. Приведена классификация систем массового обслуживания (СМО) и перечислены ключевые критерии их эффективности. Базовым инструментом расчёта выступают формулы Эрланга для многоканальных СМО с потерями заявок. На примере офисной телефонной сети, где поток звонков составляет 90 вызовов в час, а средняя длительность разговора — 2 минуты, показано, как найти минимальное количество номеров, при котором доля обслуженных вызовов достигает 90% и выше. Расчёты демонстрируют, что один канал теряет три четверти звонков, а требуемый уровень обеспечивается при установке шести линий.

Ключевые слова: теория массового обслуживания, формулы Эрланга, система с отказами, многоканальная СМО, интенсивность потока, пропускная способность, телефонные линии.

Введение

Практически каждый человек регулярно попадает в ситуации, когда ему приходится ждать: будь то очередь в кассу супермаркета, запись к врачу или дозвон до горячей линии. От того, насколько разумно устроена система приёма и обработки запросов, зависит не только настроение клиентов, но и финансовые результаты бизнеса. Математическим аппаратом, позволяющим анализировать и оптимизировать такие процессы, служит теория массового обслуживания (ТМО). Эта дисциплина оперирует понятиями случайного потока требований и их обслуживания, давая возможность рассчитать, например, сколько кассиров следует поставить, чтобы очередь не росла бесконечно [1].

Начало ТМО было положено в 1909 году датским инженером Агнером Эрлангом, который решал задачу о минимальном количестве телефонных линий, необходимых для приемлемого уровня потерь вызовов. Позднее его идеи развили советские математики, такие как А.Я. Хинчин и Б.В. Гнеденко, что позволило применять теорию в самых разных областях — от транспорта до вычислительных сетей [2, с. 15].

Цель данной работы — на конкретном примере продемонстрировать практическую пользу ТМО. Исходные условия: в небольшом офисе зафиксирован входящий поток звонков интенсивностью 90 вызовов в час, средняя продолжительность беседы — 2 минуты. Требуется подобрать такое число телефонных номеров, чтобы доля успешно обслуженных вызовов составляла не менее 90%. Для этого необходимо вычислить сначала эффективность одноканальной схемы, а затем, последовательно наращивая количество линий, найти минимальное допустимое значение.

1. Теоретическая база и расчетные соотношения ТМО

Всякая система массового обслуживания состоит из трёх основных элементов: источника входящих требований (заявок), накопителя (очереди, если она предусмотрена) и обслуживающих приборов (каналов). Входящий поток задаётся интенсивностью λ — средним количеством требований, приходящих в единицу времени. Каждый канал характеризуется производительностью μ, обратной среднему времени обслуживания одного требования: μ = 1 / t_обсл. Ключевым параметром является приведённая нагрузка ρ = λ / μ, которая показывает, сколько заявок в среднем поступает за период обслуживания одной заявки [2, с. 45].

В зависимости от того, что происходит с заявкой, заставшей все каналы занятыми, различают два основных типа СМО:

• Системы с отказами: требование покидает систему необслуженным (например, несостоявшийся звонок при перегруженной АТС).
• Системы с ожиданием: требование становится в очередь и ожидает освобождения канала.

Для количественной оценки качества работы СМО вводят следующие показатели:

• вероятность отказа P_отк — доля потерянных заявок;
• относительная пропускная способность Q = 1 – P_отк — доля обслуженных;
• абсолютная пропускная способность A = λ·Q — среднее количество обслуженных требований в единицу времени.

Для многоканальных систем с отказами Эрланг вывел формулы, позволяющие найти вероятность того, что занято ровно k каналов, и, как частный случай, вероятность отказа (когда заняты все n каналов). В принятых обозначениях эти соотношения записываются так [1; 2, с. 67]:

                                                                       (1)

Знаменатель в выражении (1) представляет собой сумму первых n+1 членов ряда e^ρ. Расчёты удобно проводить итеративно, увеличивая n до тех пор, пока показатель качества Q не достигнет желаемого значения.

2. Расчёт необходимого числа телефонных линий

2.1. Оценка одноканального режима

Пусть первоначально в офисе имеется лишь одна телефонная линия. Известно:

• интенсивность поступления звонков λ = 90 вызовов в час;
• среднее время разговора t_обсл = 2 мин = 1/30 ч.

Вычислим сначала характеристики для одного канала.

• Производительность канала: μ = 1 / (1/30) = 30 вызовов в час.
• Нагрузка на систему: ρ = 90 / 30 = 3. Эта цифра означает, что за период одного телефонного разговора (2 минуты) в среднем приходит три новых вызова — явная перегрузка.

Для СМО с отказами, имеющей один канал, вероятность отказа находится по упрощённому соотношению [1]: P_отк(1) = ρ / (1+ρ) = 3 / 4 = 0,75. Отсюда доля обслуженных вызовов Q(1) = 1 – 0,75 = 0,25. Иными словами, каждый четвёртый звонок дозванивается, остальные 75% теряются. Абсолютная пропускная способность составит A(1) = 90·0,25 = 22,5 вызова в час. Для полноценной работы офиса такой уровень неприемлем — необходимо наращивать число линий.

2.2. Расчёт для многоканальной системы по формулам Эрланга

Теперь будем последовательно увеличивать количество линий n и для каждого значения вычислять P_отк(n) согласно (1), а затем Q(n) = 1 – P_отк. Параметр ρ остаётся прежним — 3. Полученные данные сведены в таблицу 1.

Таблица 1.

Результаты расчёта вероятности отказа и пропускной способности

Анализ таблицы показывает: при n = 5 относительная пропускная способность равна 0,8899 (88,99%), что чуть ниже требуемого порога в 90%. При n = 6 имеем Q = 0,94785 (94,79%), что с запасом превышает 90%. Следовательно, минимальное число телефонных номеров, гарантирующих успешное обслуживание не менее 90% вызовов, составляет шесть. Абсолютная пропускная способность при шести линиях достигает A = 90·0,94785 ≈ 85,3 вызова в час, то есть теряется лишь около 5 звонков из 90.

2.3. Краткая иллюстрация другого типа СМО (для полноты картины)

Для лучшего понимания возможностей ТМО уместно сравнить систему с отказами с системой, допускающей очередь. Представим одноканальную СМО с неограниченной очередью — например, кассу в магазине. Пусть покупатели подходят с частотой λ = 1,8 чел/мин, а кассир тратит на одного человека в среднем 0,5 мин (μ = 2 чел/мин). Тогда ρ = 0,9 < 1, система устойчива. Среднее число людей в очереди и среднее время ожидания даются формулами Литтла [2, с. 112] и равны:

L_оч = ρ²/(1-ρ) = 0,81/0,1 = 8,1 чел.; W_оч = L_оч/λ = 8,1/1,8 = 4,5 мин.

Этот пример показывает, что даже при загрузке канала 90% очередь разрастается до восьми человек, а ожидание превышает четыре минуты. Разные типы СМО выбирают в зависимости от того, что важнее: не допускать потерь заявок (как в телефонии) или минимизировать ожидание (как в рознице).

Заключение

Подводя итог, отметим, что в работе были рассмотрены основные понятия теории массового обслуживания, включая классификацию систем и показатели их эффективности. Наиболее детально разобраны формулы Эрланга, применяемые для многоканальных СМО с отказами.

Практическая часть полностью подтвердила ценность предложенного подхода. При исходных данных (90 вызовов в час, 2 минуты разговора) один телефонный номер теряет 75% звонков. После расчёта вероятностей отказа для разного числа линий выяснилось, что для достижения 90%-ного уровня обслуживания необходимо установить шесть номеров. Этот результат даёт количественное обоснование для принятия управленческого решения.

Кроме того, добавленный пример с кассой в супермаркете демонстрирует, как теория позволяет анализировать системы с очередями, давая оценки времени ожидания. В целом, освоение базовых методов ТМО является необходимым условием для специалистов, занятых организацией обслуживания в условиях случайных нагрузок.

Список литературы:

1. Модель многоканальной СМО с отказами // Информационный ресурс кафедр МГТУ им. Н.Э. Баумана «БиГОР». – URL: http://bigor.bmstu.ru/
2. Плескунов, М. А. Теория массового обслуживания : учебное пособие / М. А. Плескунов ; под ред. А. Н. Сесекина. – Екатеринбург : Издательство Уральского университета, 2022. – 264 с.
3. Бабурин, В. А. Экономико-математические методы и модели в управлении водным транспортом. Системы массового обслуживания / В. А. Бабурин, Т. И. Полянская, И. Д. Шилкина. – Санкт-Петербург : ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова, 2020. – 115 с.
4. Головко, Н. И. Системы массового обслуживания с детерминированными интенсивностями входного потока и обслуживания : монография / Н. И. Головко, Т. А. Жук, О. В. Бондрова. – Владивосток : Дальрыбвтуз, 2018. – 120 с.
5. Головко, Н. И. Дважды стохастические системы массового обслуживания с конечным накопителем : монография / Н. И. Головко, Т. А. Жук. – Владивосток : Дальрыбвтуз, 2023. – 109 с.