ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА ДЛЯ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ ПРОИЗВОДСТВА

Аннотация: В статье рассматривается построение модели сельскохозяйственного предприятия Оренбургской области Бузулукского района в виде производственной функции Кобба-Дугласа, с целью определения основных показателей эффективности работы предприятия: среднюю и предельную производительность труда, среднюю и предельную фондоотдачу, нормы замещения ресурсов и предельные нормы замещения ресурсов. Согласно бухгалтерскому отчету, был проведен анализ данных по предприятию.

Ключевые слова: производственная функция Кобба-Дугласа, капитал, затраченный труд, модель, выпуск.

Зависимость величины выпуска продукции от факторов производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласом. Экономический анализ с использованием аппарата производственных функций проводится на уровне микроэкономики.

Производственные функции широко используются в задачах изучения экономического роста, оценки технического прогресса.

Производственная функция Кобба-Дугласа позволяет объяснить уровень совокупного выпуска количествами затраченного капитала и труда, основных факторов производства. Эта модель стала основой для разработки моделей экономического роста, учитывающих увеличивающееся число факторов производства. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Функцией Кобба-Дугласа были заинтересованы многие исследователи [К.В. Алексеева; Г.Р. Галиаскарова А.И. Буравлев; Н.В. Дорохов; Д.А. Зюкин; В.В. Жилин; Е.С. Якимов], которые использовали данную функцию, для анализа экономического состояния предприятий [1, с. 59; 5, с. 15; 6, с. 24; 7, с. 300; 8, с. 399].

В работе К.В. Алексеева и Г.Р. Галиаскарова [1, с. 59] построена производственная функция Кобба-Дугласа на основе статистических данных с 1998 – 2015 гг. о реальной выручке, капитале и численности рабочих в компании ПАО «Газпром». В данной работе построены изокванты, показывающие различное сочетание факторов производства для выпуска одинакового количества продукции. Авторы, используя метод наименьших квадратов, показали, что для производственной функции Кобба-Дугласа эластичность выпуска по капиталу равна показателю степени при капитале [1, с. 59].

В работе А.И. Буравлева [5, с. 15] в модель Кобба–Дугласа вводится фактор, учитывающий мотивацию работников к труду через уровень оплаты труда. При этом предполагается постоянная отдача. В работе при расчетах используются величины выпуска продукции Y и капитала K в текущих ценах. В этой же работе приведены расчеты для 7 видов экономической деятельности за 2001–2008 гг. Автором работы не учитываются такие факторы, как переменная отдача, временной тренд и цены на нефть, но учитывается такой фактор, как расходы на оплату труда работников. Результаты расчётов дали высокие значения коэффициентов детерминации, однако, использование величин в текущих ценах представляется не вполне корректным. Следует отметить, что автор обращает внимание на необходимость модифицирования модели путём введения различных индексов инфляции [5, с. 15].

В своей работе Н.В. Дорохов [6, с. 24] использовал производственную функцию Кобба-Дугласа для оценки платных медицинских услуг. В соответствии с данными статистики автором был проведен регрессионный анализ показателей платного медицинского обслуживания населения Курской области за период 2000-2012 гг. При построении производственной функции Кобба–Дугласа параметры A, α, β, оценивали с помощью линейного регрессионного анализа по МНК. Выяснилось, что для полученной модели коэффициент корреляции равен 0,91. Коэффициент детерминации равен 0,84, т.е. в 84 % случаев изменение затрат на медицинское обслуживание и 24 численности медицинского персонала приведет и к изменению объема платных медицинских услуг. Стандартная ошибка имеет значение 0.11, что говорит о высокой достоверности модели. F-критерий значимости уравнения равен 25,7, что больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора. Критические значения по t-критерию Стьюдента также выше табличного, что подтверждает значимость показателей α и β. На основании модели, который был получен по МНК, автор получил производственную функцию Кобба-Дугласа путем экспонирования. В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма показателей эластичности превышает 1, то есть если капитал К и затраченный труд L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции [6, с. 24].

В работе Д.А. Зюкина и В.В. Жилина [7, с. 300] изучается возможность использования производственной функции Кобба-Дугласа для оценки эффективности развития сельского хозяйства Курской области. При построении производственной функции Кобба–Дугласа такие параметры, как общая факторная производительность A, эластичность по труду  и эластичность по капиталу , авторы оценивали с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК). Рассчитанная на основе данных в таблице при использовании МНК, общая достоверность двухфакторной линейной регрессионной модели подтверждена превышением критическим значением критерия Фишера-Снедекора, равного 19,65, табличного 3,79 при уровне значимости α=0,05. В свою очередь, на основе t-критерия Стьюдента подтверждена значимость и : критические значения равны 3,99 и 3,41 соответственно, что выше табличного 2,36. Таким образом, авторы получили экономическую спецификацию эконометрической модели для сельского хозяйства Курской области и пришли к выводу, что на современном этапе трудовые ресурсы характеризуются низкой квалификацией. Кроме того, сокращение трудовых ресурсов не несет адекватного параметрического изменения результативного признака. Производственный капитал характеризуется низким уровнем обеспеченности высокопроизводительным оборудованием и техникой, низкой степенью готовности к производственному процессу, что обуславливает невысокую эффективность ее использования [7, с. 300].

В работе Е.С. Якимова [8, с. 399] приведены результаты анализа эффективности использования основных ресурсов теплоэлектроцентралью ТЭЦ ВАЗа. Анализ проводился с использованием степенной производственной функции типа Кобба-Дугласа. Параметры модели идентифицировались по статистическим данным производства тепловой энергии, электрической энергии и суммарной энергии, по величинам используемых капитальных и трудовых ресурсов за период деятельности теплоэлектроцентрали в течение 18 лет. Таким образом, авторы пришли к выводу, что анализ коэффициентов эластичностей α и β показывает, что основные фонды и трудовые ресурсы используются неэффективно при производстве тепловой и суммарной энергии, т.е. они являются излишними и для повышения эффективности производства необходимо повышать выпуск этих видов энергии [8, с. 399].

Таким образом, модель производства в виде функции Кобба-Дугласа дает возможность анализировать эффективность использования основных ресурсов, оценивать эффективность развития сельского хозяйства и платные медицинские услуги, построить изокванты, показывающие, что эластичность выпуска по капиталу равна показателю степени при капитале.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа дает возможность провести полный анализ работы предприятия.

Цель исследования состояла в том, чтобы построить модель производства в виде производственной функции Кобба-Дугласа и с помощью построенной модели определить показатели эффективности работы производства.

Для достижения поставленной цели определились задачи исследования:

- провести анализ данных по базовому предприятию;

- построить модель производства;

- определить среднюю и предельную производительность труда;

- определить среднюю и предельную фондоотдачу;

- найти нормы замещения ресурсов и предельные нормы замещения ресурсов.

С целью решения поставленных задач исследования, был проведен анализ данных по сельскохозяйственному предприятию Оренбургской области Бузулукского района.

Для построения модели производства необходимы такие данные, как общая численность работников, основные фонды и производительность труда.

Согласно бухгалтерскому отчету, сельскохозяйственное предприятие занимается выращиванием гречихи, подсолнуха и кукурузы, также производством молока и мяса. Общая численность работников предприятия составляет 95 человек. Основные фонды оцениваются в 71681000 рублей. Работники производят в год продукции на 72228000 рублей.

Таким образом, в месяц один работник производит продукции на сумму:

По данным предприятия было рассчитано, что для увеличения выпуска продукции на 3% следует увеличить стоимость фондов на 2,2 %.

Определяется, в денежном эквиваленте, сколько составляет 103 % от производимой в год продукции, исходя из того, что общее количество производимой в год продукции в денежном эквиваленте равно 72228000 рублей. Таким образом, 103 % от производимой в год продукции составляет 74394840 рублей.

Определяется на сколько процентов необходимо увеличить стоимость фондов, как отношение основных фондов к производимой в год продукции:

Для того, чтобы увеличить выпуск продукции на 3 %, необходимо увеличить стоимость фондов на 74394840∙0,99243=73831430 рублей.

Таким образом, стоимость фондов составляет 102,2 % от первоначальной стоимости фондов.

По данным предприятия также было рассчитано, что для увеличения выпуска продукции на 3 % следует увеличить численность работников на 3,15 %.

Определяется сколько работников необходимо для того, чтобы выполнить работу при увеличении выпуска продукции на 3 %, как отношение 103 % от производимой в год продукции к производимой в месяц продукции:

Определяется 1% от общей численности работников, который составляет:

Определяется сколько работников необходимо в процентах, чтобы выполнить норму работы, как отношение численности работников, выполняющих норму работы к 1 % от общей численности работников:

Таким образом, для увеличения производимой продукции на 3 % необходимо увеличить число работников на 3,15 %.

Данные по финансовой отчетности предприятия дали возможность рассчитать следующие показатели.

Для увеличения выпуска продукции на 3 % следует увеличить стоимость фондов на 2,2% или численность работников на 3,15 %.

Была использована модель производства в виде функции Кобба-Дугласа, так как она позволяет обеспечивать анализ факторов экономического роста, и отражает связь между величиной выпуска и затратами производства.

Модель функции Кобба-Дугласа в общем виде:

где  - затраченный труд, – капитал [2, c. 428; 3, c. 183; 4, c. 327].

Для определения основных параметров модели, функция Кобба-Дугласа записывается в относительных приращениях:

где  - прирост объема продукции;  - прирост трудовых ресурсов;  - прирост фондов [2, c. 423],[3, c. 183].

Из условия работы производства: для увеличения продукции на  следует увеличить стоимость фондов на .

Данное условие подставляется в функцию Кобба-Дугласа, записанную в относительных приращениях:

По условию работы производства: для увеличения продукции на  необходимо увеличить численность работников на  

Данное условие подставляется в функцию Кобба-Дугласа, записанную в относительных приращениях:

Составленные равенства дают возможность определить коэффициенты эластичности по труду и по капиталу, которые показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент:

Так как то увеличение выпуска опережает увеличение роста ресурсов, т.е. получается положительный эффект расширения производства [3, c. 183].

Производственная функция принимает вид:

Определяется коэффициент или, другими словами, общая факторная производительность, которая обозначает совокупность факторов, влияющих на выпуск продукции, за исключением затрат труда и капитала:

Таким образом, производственная функция принимает вид:

Средняя производительность труда показывает, сколько единиц выпускаемой продукции приходится на единицу затрачиваемого труда. Она определяется по формуле:

Предельная производительность труда показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затрачиваемого труда. Предельная производительность труда определяется по формуле:

Поскольку 0 <<1, то можно сделать вывод, что для производственной функции Кобба-Дугласа предельная производительность труда всегда ниже средней производительности [2, c. 423].

Эффективность использования основных фондов характеризует показатель фондоотдачи. Средняя фондоотдача выражает объем продукции в расчете на единицу используемых производственных фондов:

Предельная фондоотдача показывает приближенно дополнительный прирост продукции в расчете на дополнительную единицу затраченных производственных фондов:

Поскольку положительный коэффициент  больше единицы, то предельная фондоотдача в производственной функции всегда выше средней.

Взаимодействующие в рамках производственной функции ресурсы могут замещать друг друга, т.е. единицу одного ресурса можно заменить некоторым количеством другого ресурса так, что объем продукции при этом останется прежним [2, c. 425; 3, c. 182].

Норма замещения первого ресурса вторым:

Норма замещения второго ресурса первым:

Предельная норма замещения первого ресурса вторым:

Предельная норма замещения второго ресурса первым:

Итак, с увеличением одного ресурса объем второго ресурса должен быть снижаем.

Таким образом, построенная модель предприятия позволяет определить уровень совокупного выпуска количествами затраченного капитала и труда, основных факторов производства. Кроме того, модель дает возможность заглянуть в ближайшее будущее. Построив модель производства в виде производственной функции Кобба-Дугласа можно сделать вывод, что численность работников, так же, как и стоимость фондов, несомненно, влияют на выпуск продукции, так как от условий производства зависит то, каким образом отрасль будет позиционировать себя и то насколько успешно будет её деятельность. На объем продукции наиболее существенно влияет коэффициент эластичности по капиталу.

Список литература:

1. Алексеева К. В., Галиаскарова Г. Р. // Построение производственной функции Кобба-Дугласа на основе статистических данных компании «ГАЗПРОМ»/ Экономика и менеджмент инновационных технологий. 2017. №1(64). С.58-62.
2. Бунтова Е.В., Капустина В.В. // Модель Солоу для современной экономической ситуации РФ/ Научное сообщество студентов. Междисциплинарные исследования. 2017. С. 422-432.
3. Бунтова Е.В.// Математические модели в экономике / Известия института управления СГЭУ. 2015. С. 181-184.
4. Бунтова Е.В. //Методы математической статистики в экономико-математическом моделировании / Известия института управления СГЭУ. 2015. С. 325-328.
5. Буравлев А. И. Трехфакторная производственная модель Кобба–Дугласа // Экономика и управление: проблемы, решения. 2012. №3. С. 13–19.
6. Дорохов Н.В. //Oценка платных медицинских услуг с помощью функции Кобба-Дугласа / Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Моделирования и прогнозирование развития отраслей социально-экономической сферы».2016. С. 22-26.
7. Зюкин Д.А., Жилин В.В.// Применение функции Кобба-Дугласа при оценке развития сельскохозяйственного производства Курской области/Актуальные направления научных исследователей XXl века: теория и практика. 2014. № 4-2(9-2). С. 299-302.
8. Якимов Е.С.// Моделирование и анализ комбинированной выработки энергии на ТЭЦ ВАЗа / Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. 2017. С. 399.