ИСПОЛЬЗОВАНИЕ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ХЕДЖИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ

​APPLICATION OF BINOMIAL MODEL IN OPTION PRICING AND HEDGING

Vyguzov Alexey Dmitrievich

Student, Department of Finance, Accounting and Auditing, Peoples' Friendship University of Russia,

Russia, Moscow

Rozhdestvenskaya Valentina Evgenievna

Student, Department of Finance, Accounting and Auditing, Peoples' Friendship University of Russia,

Russia, Moscow

Akhmedov Fakhraddin Nasraddin oglu

Scientific supervisor, candidate of Sciences in Economics, associate professor, Peoples' Friendship University of Russia,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается использование биномиальной модели для оценки и хеджирования европейских опционов. Показано, что при условии отсутствия арбитража стоимость опциона определяется как дисконтированное математическое ожидание его выплат в риск-нейтральной мере. Демонстрируется построение реплицирующего портфеля и приводится практический пример расчёта на основе рыночных данных.

ABSTRACT

This paper discusses the use of the binomial model for pricing and hedging European options. Under the no-arbitrage assumption, the option price is shown to be the discounted expected payoff under the risk-neutral measure. A brief construction of the replicating portfolio is provided, along with a practical market-based example.

Ключевые слова: опционы, биномиальная модель, риск-нейтральная мера, хеджирование, отсутствие арбитража.

Keywords: options, binomial model, risk-neutral measure, hedging, no-arbitrage.

Развитие срочного рынка усиливает требования к количественным методам анализа, позволяющим формировать корректную оценку рисков и обеспечивать устойчивость финансовых стратегий. В условиях высокой волатильности и растущего объёма торгуемых производных инструментов особое значение приобретает построение моделей, способных описывать поведение цен и определять справедливую стоимость опционов. Такие модели используются как для операций хеджирования, так и для расчёта совокупного рыночного риска [1].

Опцион относится к числу базовых элементов рынка деривативов и представляет собой контракт, предоставляющий его держателю право купить либо продать базовый актив по фиксированной цене страйк  в заранее определённый момент времени . Европейский вариант исполнения предполагает реализацию права исключительно в момент экспирации, что позволяет формализовать структуру выплат в явном виде. Для европейского call-опциона выплата задаётся выражением:

а для put-опциона:

где  — значение цены актива в момент исполнения.

Нелинейный характер функций выплат делает опционы чувствительными к изменениям цены базового актива, что предъявляет повышенные требования к методам их оценки. Среди различных подходов значимую роль играют дискретные модели, позволяющие детально отображать возможную структуру траекторий цены. Одной из наиболее известных и практически применимых является биномиальная модель Кокса–Росса–Рубинштейна (CRR)[1,5], в которой динамика базового актива описывается последовательностью одношаговых переходов.

Биномиальная модель динамики цены задаёт дискретное развитие базового актива во времени. Предполагается, что на каждом шаге длительностью  цена может измениться только в одном из двух направлений, что обеспечивает удобное и прозрачное представление возможных траекторий.

В рамках такого описания текущее значение  переходит либо в состояние роста , либо в состояние снижения , где параметры  и  характеризуют относительные изменения цены. Схематически эта структура показана на Рисунок 1 и служит базовой ячейкой для построения многошагового дерева, применяемого при последующем вычислении стоимости опциона.

Рисунок 1. Одношаговая биномиальная модель

Корректность модели обеспечивается выполнением условия отсутствия арбитража:

где  обозначает годовую ставку безрискового актива. Это условие гарантирует существование риск-нейтральной вероятности , задаваемой выражением:

Фундаментальные связи между отсутствием арбитража и существованием эквивалентной мартингальной меры подробно анализируются в работах Харрисона и Крепса, Харрисона и Плиски [2,3].

В одношаговой модели стоимость европейского опциона определяется как дисконтированное математическое ожидание его выплаты в риск-нейтральной мере:

где  и  — значения выплат опциона при росте и снижении цены в следующем шаге. Формула (5) одновременно соответствует стоимости реплицирующего портфеля, состоящего из позиции в базовом активе и вложений в безрисковый инструмент [5].

Более точная аппроксимация динамики достигается при использовании многошаговой биномиальной модели, в которой структура одношагового перехода повторяется в каждом узле дерева. Оценка стоимости опциона в этом случае осуществляется методом обратной индукции: в конечных узлах вычисляются выплаты (1)-(2), после чего значения рекурсивно поднимаются к начальному моменту (см. [6], cтр. 164).

Для практического применения модели рассмотрим данные индекса Московской биржи IMOEX за период с 24 по 26 ноября 2025 года. Такой горизонт соответствует трём торговым дням и позволяет построить биномиальную модель до 3 шага, согласованную со структурой модели Кокса–Росса–Рубинштейна.

В качестве начального уровня индекса используется значение  на дату 24 ноября, а максимальное и минимальное значения внутри рассматриваемого периода применяются для приближённого определения коэффициентов относительного роста и снижения цены:

Поскольку временной шаг равен одному торговому дню, величина  выражается как доля календарного года через отношение количества торговых дней к . В качестве безрискового множителя удобно использовать экспоненциальную схему начисления процентов:

При таком описании условие (3) переписывается в виде , а риск-нейтральная вероятность перехода в состояние роста задаётся стандартным выражением

Исходные рыночные данные и рассчитанные параметры представлены в Таблица 1. Все значения приведены в единицах индекса, параметры модели округлены для удобства представления.

Таблица 1.

Исходные рыночные данные

Полученные параметры формируют основу трехшаговой биномиальной модели, применяемой для построения ценового дерева и оценки стоимости европейского опциона посредством процедуры обратной индукции.

На основе рассчитанных параметров формируется трехшаговое биномиальное дерево цен индекса. Значения в узлах определяются последовательным приложением коэффициентов роста  и снижения  к начальному уровню , а переходы выполняются независимо на каждом шаге.

Численные значения узлов принимают следующий вид (Рисунок 2):

Рисунок 2. Численные значения узлов

Полученная структура дерева отражает все возможные траектории изменения цены за три торговых дня. Графическое представление рассчитанных узлов приведено на рис. 3.

Рисунок 3. Трехшаговое биномиальное дерево индекса IMOEX

Для анализа практической применимости биномиальной модели дополнительно выполнена оценка стоимости европейского call-опциона на индекс IMOEX со страйком  и датой исполнения 26 ноября 2025 года (контракт IMOEXP261125CE2500). Период моделирования ограничен тремя последовательными торговыми днями непосредственно перед экспирацией: 24, 25 и 26 ноября. Такой горизонт соответствует трём временным шагам и позволяет зафиксировать локальные изменения цены базового актива, оказывающие доминирующее влияние на стоимость опциона в краткосрочном режиме.

Одношаговые доходности определяются стандартным соотношением

Локальная дневная волатильность, согласованная со структурой модели, рассчитывается выражением

Параметры относительного роста и снижения цены принимают экспоненциальный вид:

Безрисковый множитель определяется по однодневной ставке RUONIA:

Риск-нейтральная вероятность перехода в состояние роста вычисляется по формуле с подстановкой оценённых параметров ,  и .

Рассчитанные значения, необходимые для построения трёхшагового дерева, приведены в Таблице 2.

Таблица 2.

Параметры для построения модели

На основе представленных параметров формируется трёхшаговое дерево возможных значений индекса. В конечных узлах определяется выплата европейского call-опциона, после чего стоимость опциона в момент  находится методом обратной индукции.

Итоговая модельная цена опциона составляет

Рыночная цена контракта IMOEXP261125CE2500 на дату 24 ноября 2025 года равнялась

Абсолютная ошибка оценки составляет , а относительная — около .

Проведённый расчёт демонстрирует высокую точность трёхшаговой биномиальной модели CRR в условиях близкой экспирации и умеренной внутридневной волатильности. Согласованность модельной цены с фактической котировкой опциона подтверждает корректность риск-нейтрального описания краткосрочной динамики индекса. Полученный результат показывает, что дискретная модель при аккуратной калибровке параметров способна эффективно использоваться для оценки стоимости деривативов на ограниченном горизонте прогнозирования при наличии достаточной информации о локальных колебаниях базового актива [4, 5].

Список литературы:

1. Cox J. C., Ross S. A., Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach // Journal of Financial Economics. 1979. Vol. 7, No. 3. P. 229–263.
2. Harrison J. M., Kreps D. M. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets // Journal of Economic Theory. 1979. Vol. 20, No. 3. P. 381–408.
3. Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading // Stochastic Processes and their Applications. 1981. Vol. 11, No. 3. P. 215–260.
4. Hull J. C. Options, Futures, and Other Derivatives : [пер. с англ.]. 11th ed., global edition. N. Y. : Pearson, 2022. 870 p.
5. Miranda M. J., Fackler P. L. Applied Computational Economics and Finance. Cambridge, MA : MIT Press, 2002. 514 p.
6. Shreve S. E. Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. N. Y. : Springer, 2004. 187 p.