ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ В УСЛОВИЯХ ЗАТУХАНИЯ

​NUMERICAL MODELING OF OSCILLATIONS OF MATHEMATICAL AND PHYSICAL PENDULUMS UNDER DAMPING CONDITIONS

Orlov Dmitry Andreevich

Student, Department of Informatics and Computer Engineering, Volga Region State University Telecommunications and Informatics,

Russia, Samara

Fomin Roman Aleksandrovich

Student, Department of Computer Science and Engineering, Volga Region State University Telecommunications and Informatics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

В работе представлены комплексное численное моделирование свободных затухающих колебаний математического и физического маятников. Проведен сравнительный анализ динамики двух типов маятников в условиях воздействия диссипативных сил. Для математического маятника выполнено численное решение нелинейного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты, для физического маятника модель учитывала момент инерции.  Определены основные параметры затухающих колебаний: логарифмический декремент затухания, добротность и коэффициент затухания.

ABSTRACT

The paper presents a complex numerical simulation of free damped oscillations of mathematical and physical pendulums. A comparative analysis of the dynamics of two types of pendulums under the influence of dissipative forces is carried out. A numerical solution of a nonlinear differential equation using the Runge-Kutta method was performed for a mathematical pendulum; for a physical pendulum, the model took into account the moment of inertia.  The main parameters of damped oscillations are determined: the logarithmic decrement of attenuation, the Q factor and the attenuation coefficient.

Ключевые слова: математический маятник, физический маятник, затухающие колебания, численное моделирование, метод Рунге-Кутты, логарифмический декремент, добротность, экспериментальное исследование.

Keywords: mathematical pendulum, physical pendulum, damped oscillations, numerical modeling, Runge-Kutta method, logarithmic decrement, Q-factor, experimental research.

Колебательные процессы являются фундаментальным объектом исследования в теоретической и прикладной физике. Среди классических колебательных систем особое место занимают математический и физический маятники, модели которых позволяют изучать как идеализированные, так и приближенные к реальности случаи движения.

Математический маятник [1] представляет собой абстрактную модель — материальную точку массы m, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити длины L. Восстанавливающей силой, возвращающей систему в положение равновесия, является тангенциальная составляющая силы тяжести. Дифференциальное уравнение его колебаний в отсутствие затухания имеет вид:

                                                                                             (1)

θ - угол отклонения от вертикали, °;

g - ускорение свободного падения, м/с²;

L - длина маятника, м;

t - время, с;

Физический маятник [2] — это твёрдое тело произвольной формы, совершающее колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. Его динамика описывается через момент инерции I. Основное уравнение вращательного движения:

                                                                                   (2)

I - момент инерции тела, кг·м²;

d - расстояние от оси вращения до центра масс, м;

θ - угол отклонения от вертикали, °;

g - ускорение свободного падения, м/с²;

m - масса маятника, м;

t - текущий момент времени, с;

Моделирование затухающих колебаний.

В реальных физических системах неизбежно присутствуют диссипативные силы (сопротивление воздуха, трение в подвесе), приводящие к затуханию колебаний. Учёт этих сил вводит в уравнение дополнительный член, пропорциональный скорости:

                                                                               (3)

                                                                                                      (4)

β - коэффициент затухание, c^-1;

ω - собственная циклическая частота системы для малых колебаний, c^-1;

Данное уравнение является нелинейным, что исключает возможность получения аналитического решения в общем случае и требует применения численных методов.

Численные методы решения и ключевые параметры.

Для интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений движения, как в случае математического, так и физического маятника, высокую эффективность демонстрирует метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Этот метод обеспечивает приемлемый баланс между вычислительной сложностью и точностью, позволяя получать устойчивые решения даже для значительных амплитуд.

Для количественной оценки диссипативных процессов в системе используются следующие параметры:

1. Логарифмический декремент затухания (Λ) - безразмерная величина, определяемая как натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд:

                                                                                      (5)

A(t) - максимальное угловое отклонение маятника в момент времени t;

A(t+T) - максимальное угловое отклонение через один полный период колебаний;

T - период колебания, c;

2. Добротность (Q-фактор) — величина, определяющая резонансные свойства системы и показывающая, во сколько раз запас энергии в системе превышает потери энергии за один период:

                                                                                                (6)

Высокая добротность соответствует медленному затуханию.

3. Коэффициент затухания (β) — параметр, непосредственно входящий в дифференциальное уравнение и определяющий интенсивность диссипации энергии.

Итоги. комплексное численное моделирование, сочетающее метод Рунге-Кутты для расчёта динамики и последующий анализ параметров Λ, Q и β, позволяет провести детальное сравнительное исследование поведения математического и физического маятников в условиях сопротивления среды.

Список литературы

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1: Механика. — М.: Наука, 1988. — 216 с.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1: Механика. Молекулярная 3. физика. — М.: Наука, 1982. — 432 с.
3. Хайкин С.Э. Физические основы механики. — М.: Наука, 1971. — 752 с.