ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОЗОВ

APPLICATION OF MARKOV CHAINS FOR FORECASTING

Bobko Anna Viktorovna

Student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Aislender Ksenia Eduardovna

Student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Fedosyuk Lyudmila Petrovna

 Scientific Supervisor, Associate Professor, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

Исследуется применение цепей Маркова для прогнозирования стохастических процессов. Анализируются теоретические основы метода и практическое применение в экономике, информатике и инженерии. Рассмотрены скрытые марковские модели и алгоритмы их обучения. Выявлены преимущества, ограничения и перспективы развития метода, включая интеграцию с машинным обучением.

ABSTRACT

The article investigates the application of Markov chains for forecasting stochastic processes. The theoretical foundations of the method and its practical applications in economics, computer science, and engineering are analyzed. Hidden Markov models and their training algorithms are examined. The advantages, limitations, and development prospects of the method are identified, including integration with machine learning.

Ключевые слова: цепи Маркова; прогнозирование; вероятностные модели; стохастические процессы; скрытые марковские модели.

Keywords: Markov chains; forecasting; probabilistic models; stochastic processes; hidden Markov models.

Цепи Маркова — математически строгий инструмент для прогнозирования динамических систем. Их ключевое свойство (марковское) заключается в том, что будущее состояние системы зависит только от её текущего состояния. Это позволяет анализировать сложные процессы без учёта полной предыстории, сохраняя точность моделирования [1].

Актуальность исследования определяется растущей востребованностью вероятностных методов анализа, способных эффективно работать в условиях неопределённости. В контексте изменчивости современных систем – от экономических до биологических – именно подходы, основанные на теориях случайных процессов, позволяют выявлять устойчивые закономерности и строить обоснованные прогнозы.

Целью работы является системный анализ возможностей применения цепей Маркова для решения прогнозных задач. В рамках исследования рассматриваются как теоретические основы метода, включая свойства дискретных и скрытых марковских моделей, так и практические аспекты их использования. Особое внимание уделяется выявлению преимуществ и ограничений данного подхода в сравнении с другими методами статистического моделирования, что позволяет определить перспективные направления его развития.

Другим важным свойством марковских цепей является эргодичность. Подразумевается, что в такой цепи существует единственное стационарное распределение и любое начальное распределение сходится к этому стационарному распределению [1].

Третье свойство марковских цепей – свойство полного перехода – означает, что из каждого состояния можно достичь любого другого состояния за конечное число шагов [1]. Оно необходимо для того, чтобы убедиться в том, что модель может предсказывать переходы между всеми состояниями, что является необходимым условием для точного моделирования процесса.

Основу марковской модели составляет конечное множество состояний  и матрица переходных вероятностей . Процесс начинается в одном из этих состояний и последовательно перемещается из одного состояния в другое. Каждое движение называется шагом. Если цепочка в настоящее время находится в состоянии s_i, тогда она переходит в состояние s_j на следующем шаге с вероятностью, обозначенной p_ij, и эта вероятность не зависит от того, в каких состояниях цепь находилась перед текущим состоянием [2].

Зная текущие вероятности и матрицу переходов, можно вычислить вероятности будущих состояний через n шагов с помощью возведения матрицы P в степень n:

Рисунок 1. Вычисление вероятности будущих состояний

Марковские модели нашли широкое применение в различных отраслях. В экономике они используются для прогнозирования макроэкономических циклов, валютных курсов, динамики цен и кредитных рейтингов. Классическим примером служит работа Дж. Гамильтона, предложившего модель переключающихся режимов, описывающую поведение ВВП США как стохастический процесс, где скрытые состояния соответствуют фазам рецессии и подъема [4].

Скрытые марковские модели (HMM) применяются для анализа последовательностей, в которых наблюдаемые данные генерируются скрытыми состояниями системы. Алгоритмы обучения и декодирования HMM, такие как метод Баума-Велша (оценка параметров) и алгоритм Витерби (восстановление наиболее вероятной последовательности состояний), являются основой для их практического использования. Эти методы нашли применение в распознавании речи, машинном переводе и биоинформатике для построения прогнозов на основе вероятностных закономерностей. Фундаментальный вклад в формализацию и популяризацию HMM внес Л. Рабинер, систематизировавший их математический аппарат в работе [5].

Цепи Маркова обладают рядом преимуществ при построении прогнозов: они просты в реализации и интерпретации, позволяют моделировать вероятностные переходы между состояниями системы, позволяют эффективно решать задачи анализа последовательностей.

Тем не менее марковские модели имеют определённые ограничения, которые могут снижать точность прогнозов и ограничивать их применимость. Основная проблема связана с предположением о стационарности, так как в реальных процессах вероятности переходов между состояниями могут изменяться под влиянием внешних факторов. Кроме того, не все случайные процессы обладают марковским свойством, поэтому в ситуациях, где текущее состояние зависит от более длинной последовательности предыдущих событий, модель даёт искажённые результаты.

Цепи Маркова остаются мощным инструментом для прогнозирования стохастических процессов благодаря гибкости и математической строгости. Их эффективность наиболее высока при моделировании систем с дискретными состояниями и вероятностными переходами. Перспективы развития метода связаны с интеграцией в гибридные модели (машинное обучение, нейросети), созданием нестационарных модификаций и применением для анализа потоковых данных в адаптивных системах поддержки решений.

Список литературы:

1. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. – Wiley, 1968. – 528 с.
2. Гаспарян А.Ф. Моделирование прогнозных значений вероятностей состояний систем с использованием цепей Маркова // Форум молодых учёных. – 2018. [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-prognoznyh-znacheniy-veroyatnostey-sostoyaniy-sistem-s-ispolzovaniem-tsepey-markova (дата обращения 20.10.2025)
3. Hamilton J.D. A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle. // Econometrica. – 1989. – №57(2). – С.357–384.
4. Rabiner L.R. A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition. // Proceedings of the IEEE. – 1989. – №77(2). – С.257–286.