АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ВОКСЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

​АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается метод решения задач математического программирования с использованием функционально-воксельного моделирования (ФВМ). Предложен подход, позволяющий эффективно работать с негладкими функциями и сложными ограничениями. На основе теории R-функций выполняется преобразование области допустимых решений, обеспечивающее корректное совмещение целевой функции и ограничений. Для устранения проблем, связанных с изломами и недифференцируемостью, применяется дискретная аппроксимация методом ФВМ, что позволяет находить экстремумы с контролируемой точностью. Метод демонстрирует потенциал для решения оптимизационных задач в условиях нелинейных ограничений и сложных геометрических областей.

Ключевые слова: математическое программирование; функционально-воксельное моделирование (ФВМ); R-функции; оптимизация; область допустимых решений; негладкие функции; изломы функций; дискретная аппроксимация; экстремальные задачи; градиентные методы.

Введение

Математическое программирование – это раздел математики, посвященный поиску экстремумов (максимумов или минимумов) функций при заданных ограничениях. Такие задачи возникают в экономике, инженерии, физике и других науках, где требуется оптимальное распределение ресурсов или параметров.

Классическая постановка задачи математического программирования выглядит следующим образом [1, с.4]:

• Целевая функция f(x₁,x₂,...,x_n), которую необходимо максимизировать или минимизировать.
• Ограничения g_i(x₁,x₂,...,x_n)≤b_i (i∈[1,m]), определяющие область допустимых решений.

Традиционные методы (например, градиентный спуск) эффективны для гладких функций, но сталкиваются с трудностями при наличии изломов или сложных ограничений. В данной статье предлагается подход, основанный на функционально-воксельном моделировании (ФВМ), который позволяет работать с негладкими функциями и точно определять экстремальные точки даже на границах областей.

Постановка задачи и геометрическая интерпретация

Математическое программирование рассматривает поиск экстремумов функций в конечномерных пространствах с ограничениями, заданными уравнениями и неравенствами. Область допустимых решений (ОДР) определяется как пересечение множеств, заданных ограничениями [2, с.122]:

Графически это можно представить как область в пространстве E^m, где (рис. 1):

• на границе g=0,
• вне ОДР g<0,
• внутри ОДР g>0 (с максимумом в центре).

Рисунок 1. Функционально-воксельная модель ОДР

Однако положительные значения внутри области мешают анализу целевой функции f, поскольку её экстремум может оказаться «замаскированным» этими значениями.

Нормализация области ограничений

Чтобы устранить влияние положительных значений g внутри ОДР, применяется подход, основанный на теории R-функций, которая сохраняет нулевые границы при логических операциях. Преобразуем функцию ограничений: [2, с.123]

В результате (рис. 2):

• внутри и на границе ОДР g₀=0 (положительные значения обнуляются),
• вне ОДР g₀<0 (отрицательные значения усиливаются).

Рисунок 2. Функционально-воксельная модель обновленной ОДР

Теперь можно совместить целевую функцию f с преобразованной областью ограничений:

Но если f имеет большие значения, это может исказить границы. Для коррекции вводим множитель (1+|f|), что даёт окончательный вид: [2, с.123]

• для максимизации

• для минимизации

Этот подход позволяет сохранить экстремальные свойства f внутри ОДР, а на границе образуется излом, указывающий на возможные точки экстремума (рис. 3).

Рисунок 3. Функционально-воксельная модель f, наложенной на ОДР

Проблема дифференцирования изломов и метод ФВМ

Основная сложность предложенного метода – наличие изломов в ​f_g, что затрудняет применение классических градиентных методов. Решение заключается в использовании функционально-воксельного моделирования (ФВМ), которое:

• аппроксимирует окрестность излома с заданной точностью,
• позволяет строить дифференциальные модели даже для негладких функций.

ФВМ рассматривает пространство дискретно (воксельно), что позволяет локально анализировать поведение функции и находить экстремумы с контролируемой погрешностью.

Заключение

Предложенный метод сочетает:

• Нормализацию области ограничений через R-функции.
• Совмещение целевой функции и ограничений с коррекцией на влияние значений f.
• Применение ФВМ для работы с изломами и негладкими функциями.

Этот подход расширяет возможности математического программирования, позволяя решать задачи со сложными ограничениями и недифференцируемыми функциями. Дальнейшие исследования могут быть направлены на оптимизацию вычислительной сложности метода и его применение в многомерных пространствах. 

Список литературы:

1.    Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для студентов экономических специальностей вузов. — М.: Высшая школа, 1986 — 319 c.

2.    Толок А.В. Локальная компьютерная геометрия: учебное пособие. — Москва: Ай Пи Ар Медиа, 2022 — 147 c.