ПРОБЛЕМАТИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ ПРОГРАММНОГО ИНСТРУМЕНТАРИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЕЛИЧИН В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

PROBLEMS OF MODELING AND DEVELOPMENT OF SOFTWARE TOOLS FOR CALCULATING REPRESENTATIONS OF NUMERICAL VALUES IN VARIOUS NUMERAL SYSTEMS

Ilya Sorokin

student, Department 316 "System Modeling and Automated Design", Moscow Aviation Institute,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Среди множества разнообразных систем счисления существует немало таких, которые обладают преимуществами и недостатками относительно друг друга, что представляет интерес для рассмотрения и сравнения между собой. В работе рассматриваются позиционные двоичные и троичные системы счисления, а также римская и система остаточных классов (также известная как модулярная система счисления), а также приводятся интересные положительные стороны и возможные сферы использования менее популярных из них.

ABSTRACT

Among the many different numeral systems, there are many that have advantages and disadvantages relative to each other, which is of interest for consideration and comparison. This paper examines positional binary and ternary numeral systems, as well as the Roman and residual class systems (also known as the modular numeral system), and also provides interesting positive aspects and possible areas of use of the less popular ones.

Ключевые слова: кодирование чисел, троичная уравновешенная система счисления, система остаточных классов.

Keywords: number encoding, balanced ternary numeral system, residue number system.

Рассмотрение и моделирование вычислений представлений в различных системах счисления является актуальным вопросом, так как системы счисления обладают различными свойствами, из-за чего их своеобразно использовать в разных ситуациях.

[1] На первобытной стадии человечества использовались лишь небольшие натуральные числа. Их представляли в виде попавшихся под руку предметов, таких как камни или палки, но со временем появилась необходимость в названии, а после и символов для обозначения количества предметов.

Современные системы счисления подразделяются на:

• Позиционные
• Непозиционные
• Смешанные

[1] Позиционные системы счисления наиболее широко распространены. В таких системах счисления каждый символ обозначает ограниченное количество цифр, а его значение зависит от расположения в числе.

Десятичная является самой частой в использовании. Причиной её распространения считается привычки и традиции людей, основным предположением является то, что она выбиралась из-за количества пальцев на руках у человека.

Алфавит десятичной системы счисления: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Примером записи числа в десятичной СС является 341.67, где , где 341 – целая часть, а 67 – дробная.

Двоичная система счисления используется в большинстве компьютеров из-за удобства физического представления двоичной информации. [1] Двоичная система использует две цифры (0 и 1), а также символы (+ и -) для обозначения знака числа, а также запятую или точку для разделения целой и дробной частей.

Из-за того, что записи чисел в двоичной системе как правило очень длинные, для удобства чтения они нередко записываются в шестнадцатеричном виде.

Таблица 1

Шестнадцатеричное представление двоичных чисел.

Существует два вида троичной системы счисления, а именно обычная и уравновешенная. Запятая или точка, также как и в других позиционных системах счисления, отделяет целую часть от дробной.

Обычная троичная система счисления использует алфавит из трёх цифр (0, 1 и 2). Уравновешенная же, в отличии от обычной, использует алфавит (-1, 0, 1).

[2] Основная практическая ценность троичного кода заключается в следующем:

• первая цифра числа определяет знак числа, значит нет необходимости использовать приёмы представления чисел со знаком;
• сравнение числе производится по величине, не обращая внимание на знак, что ускоряет команду ветвления по знаку в два раза;
• усечение длины числа соответствует правильному округлению, нет ситуаций с неоднозначным округлением;
• вычитание проводится инвертированием одного из слагаемых, делая троичный счётчик реверсивным.

В некоторых сферах компьютерной отрасли рассматривается переход на троичную систему счисления. Связанно это с тем, что по теореме Джона фон Неймана основание 3 позволяет наиболее эффективно представлять числовую информацию в ограниченном количестве знаков.

Непозиционные системы тоже подлежат рассмотрению в рамках работы.

Наиболее известной и одной из первых непозиционных систем счисления в истории человечества является Римская непозиционная система счисления. В ней используется алфавит, в котором каждая цифра значит определённое целое количество вещей независимо от положения в числе.

Особый интерес представляет система остаточных классов (СОК). Она основана на модульной арифметике, в ней представления чисел основаны на понятии сравнения чисел по модулю, а также на китайской теореме об остатках. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей, что называется базисом. Произведение же всех модулей М определяет отрезок, в котором возможно определить числа данным базисом [0, M-1].

Преимуществами СОК является:

• Просто контролировать ошибки за счёт введения избыточных модулей.
• Скорость работы при вычислении крупных чисел высока за счёт параллельной реализации базовых арифметических операций.
• Информационная безопасность.

Недостатки СОК:

• нет эффективных алгоритмов для сравнения чисел; сравнение, как правило, осуществляется через перевод аргументов из СОК в систему счисления (полиадическую) со смешанными основаниями.
• алгоритмы преобразования представлений чисел из позиционной системы счисления в СОК и обратно медленные;
• если результат деления не является целым, то алгоритмы деления сложны;
• нелегко заметить переполнение.

В работе [3] предлагается использование СОК как внешнюю, а позиционную как внутреннюю систему счисления как перспективный способ вычисления в тех сферах, где значения вычислительных задач на много порядков превышают максимум типового компьютерного диапазона серийной вычислительной техники.

Смешанные системы счисления зачастую относятся к позиционным. Основанием смешанной системы является возрастающая последовательность чисел, а каждое число в ней представляется как линейная комбинация цифр.

Приняв к сведению вышеописанное очевидно, что инструмент, позволяющий переводить числа между этими системами счисления, совершать в них вычисления и сравнивать их характеристики будет полезен для наглядного отображения и проверок сильных и слабых сторон различных систем счисления, а также может пригодиться в изучении этих систем счисления.

Список литературы:

1. Федотов В.П. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ - 1 // Sciences of Europe. 2022. №100. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/predstavlenie-chislovoy-informatsii-1 (дата обращения: 16.11.2023)
2. Александр Кушнеров, Троичная цифровая техника // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14998, 28.12.2008
3. Инютин, С. А. "Комплексирование систем счисления для многоразрядных вычислительных процессов." // Информационные технологии 26.12 (2018): 343.