ОБОСНОВАНИЕ РАЗРАБОТКИ СИСТЕМЫ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

​JUSTIFICATION FOR THE DEVELOPMENT OF A SIGNAL PROCESSING VISUALIZATION SYSTEM

Vladimir Kostenko

student, field of study 09.04.01, Moscow Aviation University Institute (National Research University),

Russia, Moscow

Olga Shestopalova

scientific supervisor, Ph.D., Associate Professor, Head of the B21 Department, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В данной работе представлено обоснование разработки системы визуализации результатов дискретной обработки сигналов. Описаны основные проблемы, возникающие в процессе приобретения навыков в области цифровой обработки сигналов. Знания и владения навыками работы с сигналами позволяют повысить уровень квалифицированности будущих инженеров. При восстановлении сигналов по его дискретным отсчётам непосредственной задачей является получить как можно больше информации, имеющейся в исходном сигнале. Выбор метода математической интерполяции непосредственно влияет на качество восстановленного сигнала. Предложена разработка системы визуализации результатов дискретной обработки сигналов, позволяющая наблюдать зависимость восстановления сигнала от выбранного метода математической интерполяции, а также важность выбора методов интерполяции исходя из определенных форм исходного сигнала.

ABSTRACT

This work presents the justification for developing a system for visualizing the results of discrete signal processing. It describes the key challenges encountered in acquiring skills in the field of digital signal processing. Knowledge and proficiency in working with signals are essential for enhancing the qualification levels of future engineers. When reconstructing signals from their discrete samples, the primary goal is to extract as much information as possible from the original signal. The choice of mathematical interpolation method directly impacts the quality of the reconstructed signal. The proposed development focuses on creating a visualization system for the results of discrete signal processing. This system enables observation of the dependency of signal reconstruction on the selected interpolation method and highlights the importance of choosing interpolation methods based on the specific characteristics of the original signal.

Ключевые слова: цифровая обработка сигналов; интерполяция; сигнал; генератор; осциллограф.

Keywords: digital signal processing; interpolation; signal; generator; oscilloscope.

Современное образование в области цифровой обработки сигналов сталкивается с рядом вызовов, связанных с необходимостью передачи теоретических знаний и формирования устойчивых практических навыков у студентов. Одним из ключевых аспектов обучения является исследование процессов дискретизации и восстановления сигналов, что играет важную роль в теоретической и практической подготовках инженеров. Традиционные подходы, основанные преимущественно на расчетах и теоретическом изучении, ограничивают возможности учащихся в понимании взаимосвязей между параметрами сигналов, применяемыми методами и итоговыми результатами обработки.

Лабораторные работы, посвященные восстановлению сигналов с использованием методов интерполяции, дают прочный фундамент для освоения базовых принципов обработки сигналов. Только одной интерполяции недостаточно для глубокого усвоения материала. Сложность восприятия теоретических подходов можно значительно снизить за счет интеграции инструментов, которые позволят наблюдать процессы восстановления сигналов в визуальной форме в режиме реального времени.

Предложенная разработка системы визуализации дискретной обработки сигналов призвана решить эту проблему, расширив возможности обучения за счет использования современных технологий. Система позволит:

1) углубить понимание процессов восстановления сигналов за счет наглядного представления различных методов интерполяции, таких как линейная, кусочно-постоянная, полиномиальная, сплайн-интерполяция и другие;

2) оценить влияние параметров дискретизации на результат восстановления (с помощью визуализации можно увидеть, как частота дискретизации влияет на точность восстановления и появление таких эффектов, как алиасинг или переосцилляция);

3) сравнить результаты различных подходов (визуальное отображение восстановленных сигналов, полученных разными методами, позволяет проводить сравнительный анализ и делать выводы о преимуществах и недостатках каждого подхода);

4) анализировать ошибки восстановления (система обеспечивает расчет и отображение ошибок восстановления в зависимости от выбранного метода интерполяции и параметров сигнала, что является важным инструментом для оценки качества обработки).

Также система будет иметь возможность экспорта данных в электронные таблицы Excel, что облегчит дальнейший анализ и работу с полученными результатами, что особенно актуально для проведения исследовательских работ, где требуется обработка большого объема данных.

Разработка системы визуализации дискретной обработки сигналов представляет собой средство для углубленного изучения дисциплины. Система позволит обучающимся понимать их сущность, экспериментировать с параметрами и методами, делая обучение более увлекательным, доступным и эффективным.

Объектом автоматизации является деятельность преподавателя и обучающихся по дисциплине «Системы цифровой обработки сигналов». Направление «Информатика и вычислительная техника» содержит дисциплину «Системы цифровой обработки сигналов». Дисциплина рассматривает основы цифровой обработки сигналов. При выполнении лабораторных работ обучающиеся приобретают необходимые знания в области обработки сигналов. Предметная область рассматривается на основе лабораторной работы на тему «Исследование процессов дискретизации и восстановления сигналов».

В исходных данных обучающимся предоставляется модель аналогового сигнала  (сумма синусоид) (формула 1).

                             (1)

где:   - аналоговый сигнал;

          - коэффициенты;

 - частота сигнала;

 - время сигнала.

В функции аналогового сигнала изменяются коэффициенты  и  в зависимости от варианта задания. Частота  и время  также определяются вариантами задания.

Обучающиеся выполняют дискретизацию исходного сигнала , а затем восстановление по полученной числовой последовательности с использованием метода sinc-интерполяции и строят графики исходного и восстановленного сигналов. В рамках метода используется sinc-функция для идеального восстановления сигнала, если выполнено условие Найквиста. Несмотря на высокую теоретическую точность, метод требует значительных вычислительных ресурсов и является сложным для реализации на практике.

Далее частоту увеличивают и уменьшают, повторяют действия по дискретизации и восстановлению сигналов и делают выводы о том, как меняется сигнал, в зависимости от выбранной частоты.

Из графиков делается вывод о том, что чем меньше значение частоты берется, тем больше восстановленный сигнал отличается от исходного. Чем значение частоты больше, тем меньше сигналы отличаются. Восстановленные сигналы в моменты отсчётов имеют те же самые значения, что исходный непрерывный сигнал.

Процесс выполнения лабораторной работы происходит в программе для работы с электронными таблицами Microsoft Excel.

Расчёт значений Фурье-образов и получение графиков действительной и мнимой частей происходит в пакете прикладных программ для решения задач технических вычислений MATLAB.

Следует описать возможные методы математической интерполяции, которые возможно применять в данной области [2-3]:

1. Линейная интерполяция соединяет соседние точки прямыми линиями, что делает её простой и быстрой в расчете. Подходит для сигналов с плавными изменениями, но может давать грубое приближение для сложных или высокочастотных сигналов. Для линейной интерполяции применима формула (2).

                                                                   (2)

где:   - интерполированное значение функции в точке ;

и - значения функции в соседних узловых точках  и ;

 - произвольная точка интерполяции между  и .

2. Кусочно-постоянная интерполяция поддерживает значение ближайшей точки на всём интервале между отсчетами, обеспечивая очень простую реализацию, особенно для сигналов с редкими изменениями. Однако результат имеет ступенчатую форму, что делает метод непригодным для гладких сигналов. Для кусочно-постоянной интерполяции применима формула (3).

                                                                               (3)

где:    - интерполированное значение функции в точке ;

- значение функции в ближайшей узловой точке  для интервала .

3. Полиномиальная интерполяция использует полиномы для аппроксимации значений между отсчетами, что позволяет точно восстановить сигналы с плавными изменениями при небольшом количестве точек. При большом числе точек возникает переосцилляция, что ухудшает точность. Для полиномиальной интерполяции применима формула (4).

                                                                                  (4)

где:    - интерполированное значение функции в точке ;

 - коэффициенты полинома, определяемые по значениям функции в узловых точках;

- степень полинома, зависящая от количества узловых точек.

4. Сплайн-интерполяция представляет собой кусочную полиномиальную интерполяцию, часто с использованием кубических сплайнов. Метод хорошо восстанавливает гладкие сигналы, обеспечивает непрерывность производных и минимизирует переосцилляции, но сложен в реализации и вычислениях. Для сплайн-интерполяции применима формула (5).

                                (5)

где:    - интерполированное значение функции в точке ;

 и  - соседние узловые точки интерполяции;

- коэффициенты кубического сплайна для интервала , рассчитываемые для каждого интервала.

5. Лагранжевая интерполяция строит полином, проходящий через все точки, используя весовые коэффициенты. Подходит для точного восстановления при небольшом числе точек, однако сложность вычислений растет при увеличении числа точек. Для лагранжевой интерполяции применима следующая формула (6).

                                                                    (6)

где:    - интерполированное значение функции в точке ;

- значение функции в узловой точке ;

 - узловые точки интерполяции, используемые для построения полинома Лагранжа;

- количество узловых точек минус один.

6. Интерполяция Ньютона является полиномиальной интерполяцией на основе конечных разностей и позволяет добавлять новые точки без пересчета, что снижает переосцилляции по сравнению с лагранжевым методом. Для интерполяции Ньютона применима формула (3.7).

                                                    (7)

где:    - интерполированное значение функции в точке ;

- значение функции в начальной узловой точке ;

 - произведение разностей между  и предыдущими узловыми точками ;

 - j-ая конечная разность, вычисленная для начальной  точки ;

- количество узловых точек минус один.

7. Sinc-интерполяция основана на теореме Котельникова и использует sinc-функции для идеального восстановления сигнала при выполнении условия Найквиста. Этот метод требует больших вычислительных ресурсов и трудно реализуем из-за необходимости обработки бесконечного числа отсчетов. Для sinc-интерполяции применима формула (8).

                                                            (8)

где:    - интерполированное значение функции в точке ;

- значение функции в узловой точке ;

- интервал дискретизации;

- sinc-функция, используемая для восстановления сигнала.

Методы математической интерполяции играют важную роль в восстановлении исходного сигнала по его дискретным отсчётам, поскольку они помогают воссоздать непрерывный сигнал из конечного набора данных. Влияние методов интерполяции на восстановление сигнала:

1. Точность восстановления. Разные методы интерполяции могут обеспечивать разную степень точности восстановления исходного сигнала. Примеры влияния методов интерполяции на точность восстановления:

- Линейная интерполяция предполагает простое соединение дискретных точек прямыми линиями, что может давать грубое приближение исходного сигнала, особенно если сигнал содержит резкие изменения или высокочастотные компоненты.

- Кусочно-постоянная интерполяция просто удерживает значение между двумя отсчётами, что ведёт к ступенчатому восстановлению, подходящему для сигнальных систем с редкими изменениями.

- Полиномиальная интерполяция может улучшить точность, особенно при использовании сплайнов, которые сглаживают переходы между точками.

2. Появление артефактов. Некорректный выбор метода интерполяции может привести к появлению артефактов, таких как чрезмерное сглаживание или переосцилляция (эффект Рунге). Эффект Рунге – полиномиальная интерполяция высокого порядка вызывает нежелательные колебания между отсчётами.

3. Сложность вычислений. Более сложные методы интерполяции, такие как сплайн-интерполяция или методы на основе sinc-функции (теоретически наилучшая интерполяция для идеальных дискретных сигналов), могут значительно повысить вычислительную нагрузку, что важно учитывать в реальных приложениях с ограниченными ресурсами.

4. Влияние частоты дискретизации. При низкой частоте дискретизации даже наиболее продвинутые методы интерполяции могут не дать точного результата, так как они зависят от количества информации, содержащейся в исходных отсчётах. Согласно теореме Котельникова-Шеннона, частота дискретизации должна быть как минимум в два раза выше максимальной частоты сигнала (частоты Найквиста), иначе произойдёт потеря информации и появится алиасинг (наложение спектров) [1].

Из описанных зависимостей делается вывод, что выбор метода интерполяции влияет на точность и качество восстановления сигнала. Выбор метода интерполяции должен основываться на характеристиках исходного сигнала (например, его частотном содержимом) и практических ограничениях системы (например, вычислительных ресурсах).

Из анализа предметной области можно сделать вывод, что текущая методика выполнения лабораторной работы по дискретизации и восстановлению сигналов в основном сосредоточена на математических расчетах. Это ограничивает возможности студентов для наглядного восприятия изменений сигналов при различных частотах дискретизации и методах восстановления, так как при изменении частоты дискретизации (или других параметров сигнала) необходимо вновь производить большие вычисления. Работать с реальными сигналами также невозможно из-за отсутствия специализированной аппаратуры для их сбора и обработки.

Для решения описанных проблем предлагается разработать систему визуализации результатов дискретной обработки сигналов, которая будет выполнять следующие функциональные требования:

1) имитацию работы следующих устройств:

– генератор: визуальное интерактивное задание параметров работы источника сигнала (форма (сумма синусоид), амплитуда, частота);

– осциллограф: визуальное отображение исходного сигнала, дискретных отсчётов, восстановленного сигнала, а также отображение одновременно нескольких сигналов на одном экране (с изменением масштаба по амплитуде и оси времени);

2) определение Фурье-образов для полученных числовых последовательностей (с отображением на графиках действительной и мнимой составляющих);

3) аналитическое задание входного сигнала;

4) расчёт погрешности значений восстановленного сигнала по сравнению с исходным в зависимости от выбранной частоты;

5) экспорта информации в формате «*.xls».

6) выбор метода математической интерполляции для восстановления сигнала;

7) шаблонное задание сигнала (пилообразного, прямоугольного, синусоидального).

Список литературы:

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие для вузов / А.Б. Сергиенко. – 2-е изд. – М.; СПб.; Нижний Новгород [и др.]: Питер, 2006. – 751 с.
2. Волков Е.А. Численные методы: учебное пособие / Е.А. Волков. – 2-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1987. – 248 с.
3. Беликова Г.И., Бровкина Е.А., Вагер Б.Г., Витковская Л.В., Матвеев Ю.Л. Численные методы: учебное пособие. – СПб.: РГГМУ, 2019. – 174 с.