МАТРИЦЫ КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 10-11 КЛАССОВ: ОТ ТЕОРИИ К ПРАКТИКЕ

​MATRICES AS A UNIVERSAL MATHEMATICAL LANGUAGE FOR SCHOOLCHILDREN OF GRADES 10-11: FROM THEORY TO PRACTICE

Sofia Boldetskaya

student, Faculty of Physics and Technology, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

Anastasia Sivyakova

student, Faculty of Physics and Technology, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

Svetlana Filippova

student, Faculty of Physics and Technology, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

Ekaterina Elizarova

scientific supervisor, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Physics, Mathematics and Physical and Mathematical Education, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after Kozma Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

Данная статья посвящена изучению матриц как универсального математического языка в рамках школьной программы 10-11 классов. Матрицы являются важным разделом линейной алгебры, они помогают развивать абстрактное мышление учащихся и находить множество практических применений.

В статье последовательно раскрываются основные понятия и операции с матрицами, доступные для понимания старшеклассниками: определения, классификации матриц, свойства, такие как: ранг, обратимость и вычисление определителей.

Статья будет полезна как для учителей математики, так и для самих школьников, желающих расширить свои знания и навыки в работе с матрицами.

ABSTRACT

This article is devoted to the study of matrices as a universal mathematical language within the framework of the school curriculum for grades 10-11. Matrices are an important section of linear algebra, they help develop students' abstract thinking and find many practical applications.

The article consistently reveals the basic concepts and operations with matrices, accessible for understanding by high school students: definitions, classifications of matrices, properties such as: rank, invertibility and calculation of determinants.

The article will be useful both for mathematics teachers and for schoolchildren themselves who want to expand their knowledge and skills in working with matrices.

Ключевые слова: математика, матрицы, алгебра, линейные уравнения.

Keywords: mathematics, matrices, algebra, linear equations.

Введение

В современном мире математика играет ключевую роль в различных областях знаний, от физики до экономики. Одним из наиболее универсальных и мощных инструментов в математике являются матрицы. Они не только служат средством для решения систем уравнений, но и находят применение в информатике, статистике и многих других дисциплинах. В данной статье мы рассмотрим, как обучение матрицам может стать эффективным способом углубления математических знаний у школьников 10-11 классов.

Начало теории

Что такое «матрица», и кто ввёл это понятие? Впервые матрицы использовались под названием «волшебным (магическим) квадратом» в Древнем Китае. Основным применением матриц тогда было решение линейных уравнений. Сам термин «матрица» был введен Джеймсом Сильвестром в 1850 г. Затем Уильям Гамильтон и Артур Кэли разработали теорию матриц в середине XIX века. Фундаментальные результаты в данной теории принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу [3, 4].

Говоря про применение матриц, надо отметить, что матрицы используются не только в математике. Каждый из нас встречается с матрицами каждый день, поскольку любую числовую информацию, которая внесена в таблицу, можно считать матрицей. Например, список телефонных номеров, различные статистические данные и др. Рассматривая другие науки, приведем в пример физику, в которой матрицы используются для записи данных и их преобразования. Сегодня также программирование строится на написании программ, они называются массивами. Даже всем привычная техника напрямую связана с матрицами, например, экран телевизора или компьютера стоит из двумерной матрицы, элементы которой - цвета точек. Таким образом, матрицы - это не только математический термин, а то, что окружает нас повседневно.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, расположенных в виде строк и столбцов [5]. Каждый элемент матрицы обозначается двумя индексами: первый указывает на строку, второй — на столбец. Например, матрица A размером 2 на 3 может выглядеть так (рис.1):

Рисунок 1. Матрица А

Матрицы классифицируются в зависимости от количества строк и столбцов, присутствующих в них элементов, порядка матрицы и свойств [1, 2].

Квадратная матрица.  Количество строк и столбцов в матрице одинаковое (размера n×n).

Нулевая матрица.  Все элементы равны нулю.

Вектор-строка. Матрица, состоящая только из одной строки.

Вектор-столбец. Матрица, состоящая из одного столбца [2].

Диагональная матрица. Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Единичная матрица. Диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Треугольная матрица - все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Ступенчатая матрица. Удовлетворяет определенным условиям.

К основным операциям над матрицами можно отнести:

1. Сложение и вычитание. Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать поэлементно.

2. Умножение. Умножение матриц требует соблюдения определённых правил: число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй.

3. Транспонирование. Транспонирование матрицы – это операция, при которой строки становятся столбцами и наоборот.

Матрицы являются основой линейной алгебры, которая изучает векторы, линейные преобразования и системы линейных уравнений. Знание о матрицах позволяет школьникам решать системы уравнений методом Гаусса и использовать детерминанты для анализа свойств линейных преобразований.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается rang A или r(А).

В математике существуют следующие свойства матриц:

Коммутативность сложения. A + B = B + A.

Ассоциативность сложения. A + (B + C) = (A + B) + C.

Существование нулевой матрицы. Для любой матрицы A существует единственная нулевая матрица θ такая, что A + θ = A.

Существование противоположной матрицы. Для любой матрицы A существует единственная матрица (-A) = -1 · A, называемая противоположной, такая, что A + (-A) = θ, где θ — нулевая матрица [2].

Свойства умножения матриц:

A · (B · C) = (A · B) · C , α · (A · B) = (αA) B – ассоциативность умножения.

Свойства транспонирования матрицы:

(AT)T = A;

(A + B)T = AT + BT;

(A · B)T = BT · AT;

(αA)T = α · AT.

Чтобы доказать возможность использования матрицы в школьной программы, рассмотрим задание 14.7. (б) из учебника С. М. Никольского «Алгебра и начала математического анализа» 11 класс [1] с помощью школьных и матричных способов:

Способ 1. Выражение одной переменной через другую

Ответ: 

Способ 2. Сложение одного уравнения системы с другим

                , подставим в уравнение 1:

Ответ:

Способ 3. Матричный способ

,   ,

,  

Значит,  и

Ответ:

Способ 4. Метод Крамера

  и

Ответ:

Способ 5. Метод Гаусса

       R11 об 4. 

Метожорые предлагает н

Ответ:

Таким образом, мы показали, что в школьной программе можно использовать решение систем линейных уравнений еще и с использованием матриц, что позволит ученикам рассмотреть решение с разных сторон и выбрать более легкий и удобный для каждого способ решения.

Заключение

Изучение матриц открывает перед школьниками 10-11 классов новые горизонты в понимании математики и её практического применения. Матрицы не только служат основой для решения сложных задач в линейной алгебре, но и находят широкое применение в таких областях, как информатика, экономика и физика. Освоение этого универсального математического инструмента способствует развитию логического мышления и аналитических навыков, что особенно важно в условиях стремительно меняющегося мира. Интеграция теоретических знаний с практическими задачами позволяет учащимся увидеть реальное применение матриц в жизни, что делает обучение более увлекательным и значимым. Таким образом, матрицы становятся не просто абстрактным понятием, а важным инструментом, который помогает школьникам подготовиться к будущим вызовам в учебе и профессии. В конечном счете, овладение этим математическим языком откроет перед ними новые возможности и поможет сформировать прочную основу для дальнейшего изучения науки и технологий.

Список литературы:

1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – С. 331-337.
2. Баврин И. И., Матросов В. Л. Высшая математика. – М.: Просвещение. – 2004. – с. 45-49.
3. Батяева Т. А. Элементы историзма в обучении высшей математики / Т.А. Беляева // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. 2023. – № 5-1 (80). – С. 22-25.
4. Николаенко С. А. История возникновения и развития матриц / С.А. Николаенко, Е.О. Куиенко // COLLOQUIUM-JOURNAL.– 2020. – №16-1. – С. 13-14.
5. Халлыев Ш. Происхождение матриц и определение матрицы в высшей математике / Ш. Халлыев, О. Мухамметсяхедова, С.  Тяджиева // CETERIS PARIBUS. – 2022. – №9. – URL: https://clck.ru/3DdqBY (дата обращения: 26.09.2024).