КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ШЕСТИЗВЕННОГО МОБИЛЬНОГО РОБОТА

​KINEMATIC MODEL OF A SIX-LINK MOBILE ROBOT

Igor Pereladov

student, Department of Robotics and Mechatronics, Moscow State Technological University "STANKIN",

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Кинематическая модель шестизвенного мобильного робота описывает взаимные движения его звеньев и их позиционирование на плоскости при заданных управляющих воздействиях, что является основой для разработки алгоритмов управления. Модель представляет собой набор нелинейных алгебраических уравнений, определяющих положения и скорости звеньев робота. Рассмотрен алгоритм движения робота по плоскости. Результаты моделирования представлены в виде графиков перемещения звеньев по плоскости.

ABSTRACT

The kinematic model of a six-link mobile robot describes the mutual movements of its links and their positioning on the plane under given control inputs, which forms the basis for developing control algorithms. The model consists of a set of nonlinear algebraic equations that define the positions and velocities of the robot's links. An algorithm for the robot's movement on the plane is considered. The simulation results are presented as graphs of the links movements on the plane.

Ключевые слова: кинематическая модель; мобильный робот; моделирование движения.

Keywords: kinematic model; mobile robot; motion simulation.

Шестизвенный мобильный робот представляет собой интересное технологическое решение, вдохновленное движением змей. Кинематическая модель шестизвенного мобильного робота играет ключевую роль в его проектировании, управлении и планировании движения. Эта модель описывает относительные движения между различными частями робота и его окружением без учета динамических воздействий. Основная цель кинематической модели заключается в получении данных о положении и ориентации звеньев робота в пространстве при заданных управляющих воздействиях [1]. Это позволяет разрабатывать эффективные алгоритмы управления, планирования траекторий и навигации, что существенно повышает производительность и безопасность робота в различных средах и задачах, таких как автономное передвижение, манипуляции или исследование неизвестной местности. Кроме того, кинематическая модель служит основой для дальнейшего развития динамической модели, которая учитывает силы и моменты, действующие на робота во время движения.

Для вывода кинематической модели сначала потребуется определить кинематическую схему робота. Она представлена на рисунке 1. Здесь видно, что робот состоит из шести звеньев обладает пятью степенями подвижности.

Рисунок 1. Кинематическая схема робота

Кинематическая модель робота отображает зависимость положения X его звеньев от обобщенных координат q – перемещений во вращательных степенях подвижности механизма. В качестве постоянных параметров такой кинематической модели выступают геометрические размеры звеньев, из которых состоит робот.

Математически кинематическая модель представляет собой набор нелинейных алгебраических уравнений относительно декартовых и обобщенных координат: X = F(q). Как следствие из уравнений относительно координат можно получить уравнения относительно скоростей и ускорений. В нашем случае, обобщенными координатами q(t), с помощью которых можно полностью определить положение робота в пространстве являются:

где α_i – абсолютный угол между i-м сегментом и осью x, а x₀, y₀ – положение головы робота.

Построим расчетную схему многозвенного мобильного робота в плоских координатах с головой на (x₀, y₀). Длина и масса каждого сегмента одинакова и равны L и m соответственно. Предположим также, что соединение i-го звена находятся в точках (x_i, y_i) рис. 2.

Рисунок 2. Расчетная схема

Параметры модели определяются следующим образом:

• L – длина каждого сегмента;
• α_i+1 – абсолютный угол между i-м сегментом и осью x;
• β_i – относительный угол в i-м шарнире;
• (x₀, y₀) – положение головы робота;
• (x_i, y_i) - положение соединения i-го сегмента.

Согласно рисунку 2, уравнение положения соединения i-го сегмента может быть определено следующим образом:

где i = 1, 2, 3, … n.

Дифференцируя, получим уравнения для скоростей соединений:

где i = 1, 2, 3, … n.

Абсолютное значение скорости i-го сочленения вычисляется по формуле:

Стоит сделать замечание, что, зная положение головы робота на плоскости и относительные углы в сочленениях, можно найти абсолютные углы:

Далее выведем алгоритм движения многозвенного механизма по горизонтальной плоскости, проанализируем его эффективность, построим графики движения робота по плоскости. Кинематическая модель, рассмотренная ранее подходит для такого типа походки, при которой в любой момент времени хотя бы одно сочленение будет неподвижным, что позволит находить положение всех сочленений на плоскости.

Движение робота гармошкой

Данная походка робота подразумевает 9 фаз за один цикл движения (рис. 3) [2]. При таком типе движения происходит подтягивание «головы» робота к «хвосту». В начальный момент времени робот лежит на плоскости параллельно оси X. В следующий момент времени между звеньями 01 и 12 образуется угол α, а между звеньями 12 и 23 образуется угол, который равен -2α. При моделировании движения и построения графиков значение угла α = π/3. Таким образом, звенья 01 и 12, а также линия 02 образуют равносторонний треугольник. Следовательно, точка 6 перемещается по оси X на расстояние Δx₁ = 2L*(1-cos(α)), где L – длина звена робота. Далее угол между осью X и звеном 34 образуется угол –α и угол 2α между звеньями 34 и 45. Следовательно, образуется второй равносторонний треугольник из звеньев 34, 45 и линии 35. Данные треугольники являются подобием складок реальной змеи. Таким образом, робот подтягивает хвост к голове во второй раз. Затем в два этапа происходит выпрямление звеньев механизм, т.е. происходит вытягивание или проталкивание головы вперед. После полуцикл повторяется с заменой знаков углов на противоположные. За один цикл движения робот проходит расстояние Δx = 8L*(1-cos(α)).

Рисунок 3. Фазы движения робота по горизонтальной плоскости

Для моделирования движения и построения графиков будем использовать язык программирования Python, а также библиотеки Numpy и Matplotlib. Библиотека NumPy (Numerical Python) — это фундаментальная библиотека для научных вычислений на языке Python. Она предоставляет поддержку для работы с многомерными массивами и матрицами, а также множество математических функций для выполнения операций над этими массивами. Matplotlib — это популярная библиотека для визуализации данных в языке Python. Она предоставляет множество инструментов для создания разнообразных графиков и диаграмм. Эта библиотека широко используется в научных и инженерных кругах для визуализации результатов анализа данных.

Ниже (рис. 4-5) представлены графики перемещения звеньев и концевых точек робота по плоскости относительно времени. Они дают информацию о движении робота по осям X и Y для полуцикла движения гармошкой. С течением времени показатель координаты X будет расти, а показатель координаты Y будет равен нулю с переменными отклонениями. Рассмотрим график движения «головы» робота. Если принять секунды за единицы измерения времени, а метры за единицы измерения координаты, то средняя скорость движения робота будет равна 0,5 м/c.

Рисунок 4. Графики перемещения звеньев робота по оси X

Рисунок 5. Графики перемещения звеньев робота по оси Y

Список литературы:

1. Егоров О.Д. Прикладная механика роботов. – М.: ФГБОУ ВПО МГТУ “СТАНКИН”, 2014. - 372 с.
2. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н. Динамика мобильных систем с управляемой конфигурацией. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2022. - 464 с.