ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАЛОГО ЧИСЛА ДЕФОРМИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ХОЛОДНОЙ ГИБКИ ТРУБ С РАСКАТЫВАНИЕМ

​THEORETICAL JUSTIFICATION OF THE USE OF A SMALL NUMBER OF DEFORMING ELEMENTS IN THE APPLICATION OF THE METHOD OF COLD BENDING OF PIPES WITH ROLLING

Ivan Sashko

student, Department of Mechanical Engineering Technologies, Trekhgorny Technological Institute-branch of the National Research Nuclear University MEPhI,

Russia, Trekhgorny

Aleksander Prokhorov

student, Department of Mechanical Engineering Technologies, Trekhgorny Technological Institute-branch of the National Research Nuclear University MEPhI,

Russia, Trekhgorny

Andrey Bobylev

scientific supervisor, docent of the Department of "Engineering Technology, Machines and Tools", South Ural State University,

Russia, Zlatoust

Alexander Kozlov 

scientific supervisor, professor of the Department of "Engineering Technology, Machines and Tools", South Ural State University,

Russia, Zlatoust

АННОТАЦИЯ

В данной статье производится теоретическое обоснование применения малого числа деформирующих элементов с использованием математического моделирования в программе MathCAD. Выбрана наиболее доступная схема нагружения трубы, используемая для расчетов и обоснования. На основании выбранной схемы произвели определение предельных упругих и пластических деформаций кольца и натяга, необходимого для их образования. На основании построенного графика натягов и усилий, при которых возникают те или иные деформации, мы устанавливаем пределы наиболее эффективно применимых чисел деформирующих элементов, используя математический аппарат сопромата при анализе нагружения кольца.

ABSTRACT

This article provides a theoretical justification for the use of a small number of deforming elements using mathematical modeling in the MathCAD program. The most accessible pipe loading scheme used for calculations and justification has been selected. Based on the chosen scheme, the determination of the limiting elastic and plastic deformations of the ring and the tension required for their formation was carried out. Based on the constructed graph of stresses and forces under which certain deformations occur, we set the limits of the most effectively applicable numbers of deforming elements using the mathematical apparatus of copromat in the analysis of ring loading.

Ключевые слова: гибка труб; раскатывание; график; деформирующие элементы; пластические и упругие деформации; натяг.

Keywords: pipe bending, rolling, graph, deforming elements, plastic and elastic deformations, tension.

Перед началом расчетов необходимо определиться со схемой нагружения подвергаемой деформированию трубы. Существует несколько вариантов нагружения трубы. Схематично они представлены на рисунке 1.

Рисунок 1. Возможные схемы нагружения трубы:

а – деформирующими роликами, б – равномерное нагружение, в – деформирующими шариками

Для расчетов наиболее удобной схемой нагружения является схема (б), где присутствует равномерное нагружение оболочки трубы – такая схема наиболее простая для представления в математической форме и является упрощенной схемой нагружения, для которой если и присутствуют некоторые погрешности, то они в любом случае позволят увидеть закономерности нагружения оболочки трубы [2].

Недостатком данной схемы, как было сказано выше, является упрощенное рассмотрение нагружения оболочки трубы, если сравнивать с другими схемами нагружения тонкостенной оболочки. В любом случае, если бы схема нагружения оболочки была бы и более точной, это привело бы к уточнению расчетов, однако главной целью мы имеем увидеть основную закономерность, которая бы смогла показать нам некоторую зависимость, которая бы отражала целесообразность применения малого числа деформирующих элементов раскатника. Другие схемы предполагают применение достаточно сложных расчетов, делающих акцент на недостаточно значительных в нашем случае геометрических и математических моментов, поэтому выбранную схему можно считать оптимальной.

Произведем поиск предельных упругих деформаций кольца и натяга, необходимого для образования пластических шарниров.

Для выбранной схемы нагружения считаем, что кольцо, нагруженное радиальными силами, будет находится в чисто упругом напряженном состоянии, представленном в виде формулы 1.

                                                                               (1)

s_max – предельное напряжение, возникающее в сечении кольца, МПа;

N – нормальная сила, Н;

M – изгибающий момент, Н·м;

F – площадь продольного сечения стенки кольца, м²;

W – момент сопротивления сечения, м³;

s_т – предел текучести металла, МПа.

В результате преобразований формулы 1 определяем предельную радиальную силу, при которой кольцо находится в предельном напряженном состоянии, по формуле 2.

,                                                                            (2)

R – радиус кольца в недеформируемом состоянии, м;

h – толщина кольца, м.

Схема деформации криволинейного стержня ВАВ условного кольца от изгибающего момента [3] показана на рисунке 2.

Рисунок 2. Схема деформации тонкостенной оболочки до криволинейного стержня ВАВ от воздействия изгибающего момента

Величина напряжений в сечениях по дуге АВ будет наибольшей в точке приложения радиальных сил. Значение радиальной силы P₁ будет предельным, до достижения которого кольцо находится в упругом напряженном состоянии.

Расчетные зависимости для определения предельных упругих деформаций при нагружении кольца радиальными силами (от действия внутренних силовых факторов) приведены в справочной литературе.

Методика расчета предельных упругих деформаций при нагружении кольца радиальными силами от действия нормальных растягивающих сил и от действия изгибающих моментов, приведен во многих научных статьях [2,4], посвященных анализу метода холодной гибки труб с раскатыванием.

Расчет возникающего от образования внутренних напряжений натяга кольца для выбранной схемы расчета приводится в различных литературных источниках [4]. Упрощенно его можно представить, как удвоенную сумму возникающих упругих деформаций кольца.

Таким образом, формулы для расчета по первому этапу были перенесены в программу MathCAD вместе с исходными данными для расчета. На рисунке 8 представлено изображение перенесенных в программу MathCAD формул для первого этапа расчетов. Следует уточнить, что для дальнейших вычислений была выбрана труба с диаметром, составляющим 20 мм. В качестве материала трубы была выбрана сталь 20, широко применяемая для изготовления труб различных диаметров в трубной промышленности.

Рисунок 3. Ввод данных для первого этапа расчетов в программе MathCAD

Предполагается, что в момент разрушения кольца образуются пластические шарниры как в точках приложения, так и посередине, между точками приложения сил.

Определяем радиальное усилие, при котором наступает разрушение кольца, по формуле 7.

                                           (7)

Преобразование формулы разрушающей силы для условий нагружения до разрушения кольца, расчет растягивающей силы, вспомогательных величин, предельных пластических деформаций от действия нормальных растягивающих сил и изгибающих моментов, представлено в научной литературе, посвященной анализу метода холодной гибки труб [1]. Общее удлинение криволинейного стержня BAB является суммой деформаций от сил растягивания и моментов, и определяется с помощью формулы 13.

                                                                                              (13)

Предельный натяг для упругопластического напряженного состояния равен удвоенному произведению деформации и определяется по формуле 14.

                                                                                              (14)

Таким образом, данный расчет дает возможность определить натяг, оптимальный для создания "пластического шарнира", в каждом конкретном случае.

Формулы второго этапа расчетов, внесенные для дальнейших расчетов в программу MathCAD, представлены на рисунке 4.

Рисунок 4. Ввод данных для расчетов предельных пластических деформаций в программе MathCAD

Произведем расчет оптимального натяга, для создания "пластического шарнира" приводится к более компактному и удобному виду путем обезразмеривания формул, входящих в него. Производится это следующим образом, представленным на рисунке 5. 

Рисунок 5. Обезразмеривание формул в программе MathCAD

Преобразовав формулу разрушающей нагрузки P₂, получим величину с размерностью B, определяемую по формуле (15).

                                                                                       (15)

Выходящие из формулы выше преобразования исходных данных до вспомогательных величин, рассматривается в различной литературе, посвященной математическому анализа метода холодной гибки труб с раскатыванием. Формулы, введенные в программу MathCAD с целью расчета оптимального натяга, представлены на рисунке 6.

Рисунок 6. Расчет оптимального натяга в программе MathCAD

В программе MathCAD, помимо вычислений, полезно будет создать график зависимости натяга и усилия. Именно по этому графику и будет доказана целесообразность применения малого числа деформирующих элементов раскатника.

На основании всех формул с помощью программы математического моделирования был составлен график, характеризующий оптимальный натяг, отнесенный на радиус для ряда труб с различными размерами при использовании различного числа деформирующих элементов для выбранной в начале статьи схемы нагружения оболочки трубы.

Результат построения графика натяга, выполненный в программе MathCAD представлен на рисунке 7.

Рисунок 7. График зависимости натягов от числа деформирующих элементов и распределенных радиальных сил при раскатывании трубы, построенный в программе MathCAD а) линия начала возникновения упругих деформаций б) линия начала возникновения пластических деформаций оптимального натяга в программе MathCAD

На графике точками обозначено значение возникающего предельного усилия (упругого или пластического) при различном числе применяемых деформирующих элементов.

По оси абцисс отложены значения условного обезразмеренного натяга, а по оси ординат отложены значения таким же образом обезразмеренных предельных усилий.

Анализируя построенный график зависимости натягов от числа деформирующих элементов, можно установить, что, действительно, применение малого числа деформирующих элементов более целесообразно, нежели чем применение их большого числа. График наглядно показывает, что в случае использования небольшого числа элементов деформирования, диапазон создаваемого натяга имеет наибольшие пределы и, соответственно, имеется большая свобода при назначении параметров гибки труб, так как имеются широкие диапазоны регулирования.

Упругие деформации зависят от числа деформирующих элементов в меньшей степени, чем зависят от них возникающие пластические деформации.

Помимо представленного выше теоретического обоснования, применение малого числа деформирующих элементов можно обосновать экономической и практической выгодой. Малое число позволяет облегчить изготовление раскатника, а также увеличить время между обслуживанием его конструктивных элементов, так как при меньшем числе элементов значительно упрощается как изготовление раскатника, так и замена износившихся деформирующих элементов.

Список литературы:

1. Джонсон, У., Теория пластичности для инженеров / Перевод с англ. А.Г. Овчинникова. – М.: Машиностроение, 1979. - 567 с.
2. Козлов, А.В. Оценка натягов и усилий при гибке труб с раскатыванием / А.В. Козлов, Я.М. Хилькевич // Вестник ЮУрГУ. – 2004. – № 5 (34). – с. 125–132.
3. Козлов, А.В. Развитие теории, технологии и оборудования для холодной гибки тонкостенных труб с воздействием на трубу вращающимся деформирующим инструментом: автореф. дис. ... док. тех. наук: 05.02.09 / А.В. Козлов; ЮУрГУ. – Челябинск, 2010. – 35 с.
4. Бобылев, А.В. Повышение эффективности процесса формообразования криволинейных деталей трубопроводов за счет воздействия на трубу вращающимся раскатником: дис. ... канд. тех. наук: 05.03.01 / А.В. Бобылев. – Челябинск, 2002. – 162 с.