МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ПРОДОЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Моделирование полета летательного аппарата (ЛА) является сложным, многоступенчатым процессом. Первый шаг – рассмотрение ЛА как материальной точки, движущейся в изотропном пространстве. Постепенно система усложняется, добавляются нелинейности. В данной статье рассматривается моделирование движения ЛА в продольной плоскости. Учитывая небольшую высоту полета, допустим постоянство ускорения свободного падения, тяги, значений аэродинамических коэффициентов.

Для моделирования данной системы уравнений можно использовать любую программную среду. В данной статье используется Qt – кроссплатформенный фреймворк для разработки программного обеспечения на языке программирования С++ [1].

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений для продольной плоскости в предположении отсутствия влияния угла крена [2]:

где V – скорость центра масс ЛА, м/с;

 – угол наклона траектории к горизонту, рад;

 – угловая скорость ЛА относительно поперечной оси, рад/с;

,  – угол тангажа и атаки, соответственно, рад (

 – угол отклонения рулей высоты, рад;

у, x – высота и дальность полета, соответственно, м;

m – масса ЛА, кг;

 – секундный расход топлива, кг/с;

Р – сила тяги реактивного двигателя, Н;

 – безразмерные составляющие коэффициента лобового сопротивления и частная производная коэффициента подъемной силы ЛА по углу атаки;

 – частные производные коэффициента аэродинамического момента тангажа, рад^-1;

S – характерная площадь ЛА (площадь миделевого сечения фюзеляжа), м²;

L – характерный линейный размер (длина) ЛА, м;

I_z – момент инерции ЛА относительно поперечной оси, кг*м²;

g– ускорение силы тяжести, м/с²;

 – скоростной напор, Н/м²;

        – плотность воздуха на высоте y, кг/м³.

Величину  примем за 1.22 кг/м³. Связанная и скоростная системы координат ЛА представлены на рисунке 1.

Рисунок 1. Системы координат и основные силы в продольном движении

Смоделируем систему уравнений с тремя различными значениями угла отклонения рулей высоты (10⁰, 15⁰ и 20⁰) для сравнения влияния рулей высоты на изменение скорости, угла наклона траектории, угловой скорости относительно поперечной оси, угла тангажа, дальности полета от времени, высоты полета от времени, угола атаки и дальности полета от высоты. Исходные данные представлены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1.

Начальные значения параметров

Таблица 2.

Варьируемая величина

Для решения дифференциальных уравнений будем использовать метод Эйлера с шагом h=0.001 [4]. Результат моделирования представлен на рис. 2.

Рисунок 2. Результат работы программы

На графиках красным цветом отображается зависимости при отклонении рулей высоты δ_в на 10⁰, зеленым - 15⁰, синим - 20⁰.  Можно отметить, что колебания не расходящиеся, система устойчива.

При минимальном значении δ_в наблюдается наибольшее значение скорости. В то же время, при большем отклонении рулей высоты, скорость меньше. Эту зависимость можно увидеть также из системы уравнений – при увеличении угла отклонения рулей, возрастает скорость изменения угловой скорости, откуда следует рост угла тангажа, а, следовательно, и угла атаки, отсюда и появляется уменьшение скорости роста производной .

На графиках можно видеть влияние отклонения рулей высоты на изменения углов. Углы наклона траектории, тангажа и атаки при большем значении δ_в соответственно имеют большие значения. Это также видно из системы уравнений. При увеличении значения δ_в следует увеличение ω_z, возрастает υ, α и θ.

При меньшем отклонении руля высоты дальность полета больше, тогда как высота полета меньше, и, соответственно, при наибольшем отклонении можно видеть меньшую дальность при большей высоте.

Таким образом, можно сделать вывод, что система дифференциальных уравнений смоделирована корректно.

В дальнейшем данную модель можно усложнять, добавляя зависимости аэродинамических коэффициентов, ускорения свободного падения, силы тяги от высоты, учитывая влияние ветров, вращение Земли, жесткость конструкции, колебание жидкости в топливных баках, неравномерный расход топлива в ЖРД, САУ и т.д.

Список литературы:

1. Qt [Электронный ресурс] URL: https://www.qt.io/ (Дата обращения 17.01.2017)
2. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. – Москва: Машиностроение, 1973. — 616 с.
3. ГОСТ 20058-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения, обозначения. - М.: Издательство стандартов, 1981. – 52 с.
4. Высшая математика [Электронный ресурс] URL: http://mathprofi.ru/metody_eilera_i_runge_kutty.html (Дата обращения 17.01.2017)
5. Санников В.А., Юрескул А.Г. Основные принципы расчета траектории летательных аппаратов. СПб., 2008. 118 с.