ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

​АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается пример структурного моделирования двух линейных динамических систем управления с заданными начальными состояниями. Другими словами, внутренняя модель преобразуется для получения внешней модели подсистемы в соответствующем порядке. Полученная внешняя модель затем сводится к канонической форме Коши- Фробениуса путем построения структурной схемы модели, которая затем моделируется с помощью пакета SimInTech.

ABSTRACT

This article considers an example of structural modeling of two linear dynamic control systems with specified initial states. In other words, the internal model is transformed to obtain the external model of the subsystem in the appropriate order. The resulting external model is then reduced to the canonical Cauchy-Frobenius form by constructing a block diagram of the model, which is then modeled using the SimInTech package.

Ключевые слова: модель, система управления, интегральная ошибка, структурное моделирование, устойчивость, передаточная функция.

Keywords: model, control system, integral error, structural modeling, stability, transfer function.

Рассмотрим две группы трех матриц  характеризующих две подсистемы управления: .

Проверим обе подсистемы на устойчивость, для этого составим характеристическое уравнение каждой системы.

Характеристическое уравнение для первой подсистемы и его корни:

Характеристическое уравнение для второй подсистемы и его корни:

Для исследования возьмем внешнюю модель, в виде структурной схемы, содержащую подсистемы в порядке , в которой первые две системы составляют прямой тракт, а третья — обратную связь.

Как мы можем видеть, все корни характеристических уравнений двух систем находятся в левой полуплоскости и по условию устойчивости системы из этого следует, что система устойчива.

Построим структурные схемы моделей подсистем  и  по заданным матрицам, но для начала составим системы уравнений внутренних моделей подсистем  и .

Внутренняя модель подсистемы  будет выглядеть следующим образом:

Внутренняя модель подсистемы  будет выглядеть следующим образом:

Теперь построим структурные схемы моделей подсистем. Структурная схема подсистемы  представлена на Рисунке 1, а структурная схема подсистемы  представлена на Рисунке 2.

Рисунок 1. Структурная схема подсистемы F

Рисунок 2. Структурная схема подсистемы G

Используя правила преобразования структурных схем, выполним преобразование структур и получим выражения передаточных функций подсистем  и . Из преобразований получаем, что передаточная функция подсистемы  выглядит следующим образом:

Из преобразований получаем, что передаточная функция подсистемы  выглядит следующим образом:

Построим внешнюю модель, в виде структурной схемы, содержащую подсистемы в порядке , в которой первые две системы составляют прямой тракт, а третья — обратную связь. Структурная схема системы представлена на Рисунке 3.

Рисунок 3. Внешняя модель системы FFG

По данной структурной схеме, мы можем найти передаточную функцию системы. Передаточная функция системы , выглядит следующим образом:

Приведем полученную внешнюю модель к канонической форме Люенбергера:

Структурная схема модели в канонической форме Люенбергера представлена на Рисунке 4.

Рисунок 4. Структурная схема модели в канонической форме Люенбергера

Приведем полученную внешнюю модель к канонической форме Коши-Фробениуса.

Структурная схема модели в канонической форме Коши-Фробениуса представлена на Рисунке 5.

Рисунок 5. Структурная схема модели в канонической форме Коши-Фробениуса

Смоделируем процессы в течение 20 секунд с шагом в 0,01 с. На Рисунке 6 собрана схема построенной модели в программном обеспечении SimInTech. На Рисунке 7 представлен выход модели в канонической форме Люенбергера. На Рисунке 8 представлен выход модели в канонической форме Коши-Фробениуса. На Рисунке 9 представлен график интегральной ошибки.

Рисунок 6. Схема модели в SimInTech

Рисунок 7. График выходного значения модели в канонической форме Люенбергера

Рисунок 8. График выходного значения модели в канонической форме Коши-Фробениуса

Рисунок 9. График интегральной ошибки

Из Рисунка 9 видно, что график интегральной ошибки близко равен нулю, что говорит об успешности преобразований и о правильном приведении к канонической форме Коши-Фробениуса.

Список литературы:

1. Певзнер Л.Д. Практикум по теории автоматического управления: учеб. пособие — 590 с.
2. Чернов Н.И. Основы теории управления линейными автоматическими системами: учебное пособие по курсу «Основы теории управления». Изд. 2-е, перераб. и дополн. — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. — 348 с.
3. Деменков, Н. П. Управление в технических системах: учебное пособие / Н. П. Деменков, Е. А. Микрин. — Москва: МГТУ им. Баумана, 2017. — 452 с. — ISBN 978-5-7038-4661-2. — Текст: электронный // Лань: электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/106397 (дата обращения: 20.04.2022). — Режим доступа: для авториз. пользователей.