МЕТОДЫ БЫСТРОГО СГЛАЖИВАНИЯ

​METHODS OF RAPID SMOOTHING

Marsel Garifullin

student, department of relay protection and automation of electric systems, Kazan state power engineering university,

Russia, Kazan

Danil Yaroslavsky

Scientific supervisor, candidate of technical sciences, docent theoretical foundations of power engineering, Kazan state power engineering university,

Russia, Kazan

АННОТАЦИЯ

В статье разрабатываются метод быстрого сглаживания на основе скользящего среднего.

ABSTRACT

The article describes development of rapid smoothing method based on moving average.

Ключевые слова: сигнал, сглаживание, фильтрация, скользящее среднее.

Keywords: signal, smoothing, filtering, moving average.

В настоящее время для описания состояния систем (параметры электрических сетей, к примеру, могут быть описаны совокупностью сигналов) и передачи информации (звукозапись, радио, интернет) широко используются различные сигналы, как аналоговые, так и цифровые. Во время записи, передачи или приёма сигнала на него могут наложиться другие нежелательные сигналы, называемые помехами. Помехи затрудняют использование исходного полезного сигнала, но могут быть подавлены фильтрами. Фильтр - устройство или алгоритм для обработки сигнала выделяющий одни части сигнала и подавляющий другие. Всё фильтры можно разделить на два вида: аналоговые, построенные из элементов электрических цепей и цифровые, на интегральных схемах или в виде программ.

К преимуществам цифровой фильтрации относятся:

1. Экономичность и малые размеры фильтров.

2. Отсутствие у фильтров реактивных элементов, поэтому при разработке исключаются проблемы, связанные с точностью изготовления и стабильностью этих элементов.

3. Легкость изменения алгоритмов работы.

4. Прогнозируются и выполняются с высокой точностью.

5. Не имеют дрейфа, характерного активным фильтрам.

6. Не возникает проблема согласования нагрузок.

К недостаткам цифровой фильтрации относятся:

1. Необходимость предварительного аналого-цифрового преобразования до фильтрации и цифро-аналогового преобразования после.

2. Требования к вычислительной мощности устройства при большой частоте дискретизации.

Для большинства задач требуется фильтрация в реальном времени, а значит фильтр, начиная с какого-то момента времени, должен обрабатывать часть сигнала быстрее, чем придёт следующая его часть. Основная проблема цифровых фильтров заключается в том, что при увеличении частоты сигнала вычислительная мощность фильтра должна быть увеличена как минимум двукратно.

Ее решение заключается в разработке оптимизированного алгоритма фильтрации. Это позволит использовать менее мощные фильтры для решения прежних задач или обрабатывать сигналы с большей частотой.

Мы хотим предложить простой и быстрый метод сглаживания. Он заключается в разработке взвешенного скользящего алгоритма усреднения.

Необходимые свойства: отсутствие сдвига фазы исходного сигнала, сохранение постоянной составляющей сигнала (константа остается константой). Энергию (действующее значение), очевидно, при фильтрации сохранить нельзя. Каждый член выходного сигнала имеет вид

y_i=                                                                                      (1)

 Разумеется, для отсутствия сдвига фазы w_-j=w_j и число членов суммы всегда нечетное 2k+1. Чтобы сохранить постоянную составляющую, нужно выполнить

– при отсутствии резких изменений сигнала.

 Тогда очевидно, что

 (2)

 Детально рассмотрим, почему нарушается строгое равенство

_.

 Можно недостающие слагаемые "расставить" по крайним элементам выходного сигнала по следующему принципу

 Этот принцип для элемента y₀ и y₁ схематически будет выглядеть так

Таблица 1.

Схема слагаемых для y₀

Таблица 2.

Схема слагаемых для y₁

Применение данного принципа будет эквивалентно добавлению элементов в начало и конец исходного сигнала по следующей схеме x_k-1…x₁x₀| x₀…x_N-1| x_N-1…x_N-k1.

Применение данного принципа немного ухудшает края сигналов (сглаживание и фаза немного искажены) шириной в полуокно. Постоянная составляющая (ПС) будет зависеть от исходного сигнала, при близкой к нулю ПС на краях, ПС результирующую сигнала не изменится. Классический подход к этой проблеме для данного типа фильтров - это обрезание краев у выходного сигнала шириной в полуокно. Это не всегда приемлемо, например, в случае малого количества данных или прерывистого сигнала.

Выбор окон. Традиционно используются прямоугольные и треугольные окна. Некоторые авторы [Юкио Сато] предполагают использовать функцию плотности нормального распределения вероятности. Можно предположить еще экспоненциальное и логарифмическое. С подобными весовыми окнами встает проблема нормализации из-за дискретности.

W_i=, где – не нормализованное окно.

Знаменатель может быть подсчитан простым суммированием в процессе формирования окна.

Таблица 3.

Ненормированные окна

Нормированный коэффициент для прямоугольного и треугольного окна 1/k и 1/(k+1)² соответственно.

Окна с целочисленными коэффициентами можно формировать на основе нескольких первых членов исходной непрерывной функции.

e^x = 1 + x +  + …

Использование более трех первых членов разложения не целесообразно по причине сильного снижения допустимого диапазона входных данных из-за возникающего переполнения в регистрах микропроцессора при взвешивании.

Таблица 4.

Приближения для целочисленных окон

Естественно, производить деление на общий знаменатель нужно после суммирования по формуле (1).

Взвешивание можно применять не только для скользящего среднего, но и для любого скользящего степенного по формуле

При q = 1 получится среднее арифметическое.

При q = -1 – среднее гармоническое.

При q = 2 – среднее квадратичное.

При q < 0, все x_i  0 д.б.

При q = 2t+1, все x_i > 0.

В ходе работы был создан сглаживающий фильтр на основе описанного принципа. Результат его работы представлен на рисунке 1 и 2. Исходный сигнал представлял собой мелодию с высокочастотным шумом. Выходящий из фильтра сигнал – менее громкая мелодия, но почти лишенная шумовой составляющей.

Рисунок 1. Общий вид сигнала

Белый – исходный сигнал, красный – отфильтрованный

Рисунок 2. Сигнал приближенно

Белый – исходный сигнал, цветные – отфильтрованный сигнал с применение различных окон, временной интервал 25 мс

Необходимо отметить, что большинство методов фильтрации помогают добиться желаемого результата, но приведенный выше метод позволяет получить сглаживаемый сигнал затратив меньше процессорного времени и имеет более эффективное решение задачи обработки информации.

Список литературы:

1. Юкио С. Без паники! Цифровая обработка сигналов. / Юкио Сато: пер. с яп. Селиной Т. Г. М. : Додэка-ⅩⅩⅠ, 2010/-176 c.6 : ил. – Доп. Тит. л. яп. – ISBN 978-5-94120-251-5.
2. Moon. Todd K. Mathematical methods and algorithms for signal processing/ Todd K. Moon, Wynn C. Stirllng. - Upper Saddle River : PRENTICE HALL, 2000. - 937 p.  - ISBN 0-201-361 86-8.