ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЁТОВ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ. ОТ ЗЕМЛИ ДО ТИТАНА. ГРАВИТАЦИОННЫЙ МАНЁВР

​DESIGN OF INTERPLANETARY FLIGHTS OF SPACECRAFT.  FROM EARTH TO TITAN. GRAVITY MANEUVER

Nadezhda Rusanova

4th year student, of the direction "Applied Mathematics and Computer Science", Russian University of Friendship of Peoples,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье анализируется спутник Сатурна Титан и особенности достижения соответствующей орбиты. Рассматривается траектория перелёта с использованием гравитационного манёвра у Юпитера. Определяются границы сфер действия Земли, Юпитера, Сатурна и Титана. Рассчитывается траекторию межпланетного перелёта, обеспечивающую отлёт с низкой околоземной орбиты, максимизирующую массу полезной нагрузки для исследования Титана. Определяется оптимальную дату старта и время перелёта, а также затраты топлива и длительности включения двигателей для конечной массы 1000 кг, и двигательной установкой космического аппарата с тягой 200 Н и удельным импульсом 320 с. Рассчитываются затраты в скорости для отлёта космического аппарата с низкой околоземной орбиты (высотой 200 км).

ABSTRACT

The article analyzes Saturn's satellite Titan and the features of reaching the corresponding orbit. The trajectory of the flight using the gravitational maneuver at Jupiter is considered. The boundaries of the spheres of action of the Earth, Jupiter, Saturn and Titan are determined. The trajectory of the interplanetary flight is calculated, providing departure from low Earth orbit, maximizing the payload mass for the study of Titan. The optimal launch date and flight time are determined, as well as fuel costs and engine turn-on duration for a final mass of 1000 kg, and the propulsion system of a spacecraft with a thrust of 200 N and a specific impulse of 320 s. The costs in speed for the departure of a spacecraft from low Earth orbit (altitude 200 km) are calculated.

Ключевые слова: траектория полета, перелёт космического аппарата, орбиты.

Keywords: flight path, spacecraft flight, orbits.

Цель:

Цель моего исследования построение траектории межпланетного перелёта до планеты Титан с использованием пассивного гравитационного манёвра. Титан является спутником шестой по удалению от Солнца планеты-гиганта Сатурна. Планета-спутник открыта голландским механиком, физиком, математиком, астрономом и изобретателем Христианом Гюйгенсом 25 марта 1655 года. Титан – самый большой спутник по Сатурна и второй по размеру в Солнечной системе. Особенности этой планеты были рассмотрены в предыдущих статьях. Кратко, на Титане возможно существование жизни на основе метана, по мнению учёных. На мой взгляд, этот вопрос достаточно интересен, чтобы отправить к планете спутник для изучения. Рассмотрим характеристики Титана и Сатурна, так как гелиоцентрическая часть межпланетного перелёта проходит между Сатурном и Землёй:

Таблица 1.

Характеристики планет

* Периоды вращения вокруг своей оси и обращения вокруг Сатурна совпадают, и спутник повёрнут к планете всегда одной и той же стороной.

Метод

Исследование отдалённых планет солнечной системы, то есть всех кроме Марса и Венеры, очень затратное. Это касается не сколько стоимости подобных запусков, они в целом очень дорогие. Количество ресурсов на планете ограничено, а на такие запуски требуется достаточное количество топлива, а также ракеты-носители, способные это количество топлива поднять. Ещё один вопрос – длительность перелёта, поскольку жизнь спутника ограничена, то тратить большую часть времени эксплуатации на доставку спутника к месту исследования никто не хочет. Эта проблема решается с помощью пассивного гравитационного манёвра. Сама траектория строиться с использованием решения задачи Ламберта, которое в данной статье рассматриваться не будет.

Для построения траектории используется метод грависфер нулевой протяжённости. Метод заключается в разбиении всей траектории движения КА на участки: планетоцентрический и гелиоцентрический. При использовании этого метода принимаются следующие дополнительные допущения [4]:

1) Пренебрегаем протяженностью сферы действия.

2) Время начала гелиоцентрического участка считаем равным времени отлета с промежуточной орбиты вокруг планеты отправления, время окончания гелиоцентрического участка – равным времени сближения КА с планетой прибытия на минимальное расстояние.

3) Считаем, что планетоцентрическая скорость КА в момент достижения границы сферы действия планеты прибытия равна гиперболическому избытку скорости  (скорости КА на бесконечном удалении от планеты при его движении по гиперболической планетоцентрической траектории в центральном ньютоновском гравитационном поле планеты без учета возмущающих ускорений).

Сфера действия рассчитывается по следующей формуле: , где  – масса меньшего тела, а  – масса большего,  – это расстояние между центрами двух тел. Для отлета с опорной орбиты радиуса  требуемый отлетный импульс скорости определяется соотношением [4]:

где  – гравитационный параметр планеты,  – гиперболический избыток скорости. Аналогичным образом определяется и требуемый тормозной импульс скорости для выведения КА с подлетной траектории на заданную орбиту вокруг планеты.

Рассмотрим принцип пассивного гравитационного манёвра в общем, и частный случай у Юпитера для перелёта к Титану.

Гравитационный манёвр – целенаправленное изменение величину и направление скорости на участке гелиоцентрического движения КА относительно центрального тела за счёт пролёта грависферы некоторого массивного промежуточного тела для расширения окон запуска, для уменьшения потребных энергетических затрат на перелет к планете.

Обозначим входящую асимптотическую скорости КА как , а исходящую как . Тогда гелиоцентрическая скорость КА перед входом в сферу действия и после выхода из нее будет такова:

Стоит уточнить, что время полета в грависфере мало по отношению к орбитальному периоду планеты, поэтому в скорость планеты  предполагается одинаковой при начале и завершении гравитационного манёвра, причём . Встреча промежуточной планеты на пути движения КА придаёт импульс скорости, за счет гравитационного. Определим, от чего зависит величина этого импульса и его направление. Начнём с оценки угла между асимптотами гиперболы траектории в результате гравитационного манёвра. Обозначим его . Для наглядности будем использовать следующую схему, назовём её Рис.1:

Рисунок 1. Схема гравитационного манёвра

Получаем следующие равенство:

Из соотношений гиперболического движения, получим следующие соотношения:

Совершим несколько преобразований и получим следующие отношение:

Проанализируем:

Теперь оценим изменение гелиоцентрической скорости. С учетом сделанных выкладок:

Максимальное значение  для гравитационного манёвра равно местной круговой скорости для выбранного объекта. Тогда . Для дальнейшего увеличения β необходимо рассматривать активный гравитационный манёвр. Необходим ещё один параметр, задающий плоскость гиперболы пролёта. Очевидно, что плоскость гиперболы задают трёхмерные векторы . На практике достаточно определить ориентацию гиперболы в системе координат, выбранной для гелиоцентрического участка.

Вспомним размеры грависферы Земли, Сатурна и Титана. Так же рассмотрим сферу действия Юпитера:

Таблица 2.

Радиусы грависфер планет

Рисунок 2. Грависферы планет

Из полученных данных мы имеем представление о сферах действия планет, участвующих в траектории полёта. У Юпитера и Сатурна она настолько велика, что в данном масштабе не представляется возможным увидеть планету, как, например, с Землёй или Титаном. 

Далее представлена таблица с датами отлёта, длительностью полёта и датой прибытия для трёх участков полёта.

Таблица 3.

Даты и длительность перелёта

Из полученных данных мы имеем представление о длительности перелёта Земля-Титан. Так же мы знаем время начала и завершение орбитальных манёвров.

Траектории перелета в границе сферы действия Земли и Сатурна

Рисунок 3. Траектории перелета в грависферах планет

Из данных рисунков видно, как проходит перелёт в сферах действия Земли и Титана. Скорости для отлёта:

Таблица 4.

Скорости и импульсы

Траектории перелета с орбиты Земли до орбиты Сатурна

Рисунок 4. Гелиоцентрический участок перелёта

На рисунке подписаны орбиты планет и Солнце. Отдельно в легенду вынесена траектория перелёта. Точки на окружностях, это положение планет в момент начала движения, гравитационного манёвра и в момент конца движения КА. Далее представлена таблица со скоростью на орбите, отлетной скоростью и гиперболическим избытком:

Таблица 8.

Скорости и гиперболические избытки

Зная гиперболический избыток скорости, рассчитаем необходимое количество топлива и время работы двигателя. Для этого используются формула для расчёта топлива:

Где  – это конечная масса КА,  – удельный импульс,  – ускорение свободного падения. Чтобы посчитать время работы двигателя:

Где  – массовый расход топлива,  – тяга двигательной установки. Ниже представлена таблица с необходимым количеством топлива для совершения перелёта и время работы двигателя.

Таблица 9.

Топливо и время работы двигателя

На основе полученных данных можно подобрать подходящие ракет-носители для данной миссии. Например, «Ангара» или «Ариан-5». Характеристики этих ракет, можно найти в книги «Средства выведения космических аппаратов» В.Н. Кобелева и А.Г. Милованова.

Выводы

На основе полученных данных, можно заключить, что данная миссия возможна. У нас есть техническая возможность в виде ракеты-носителя. Дата старта, время перелёта нам известны, как и необходимые импульсы. Как и траектория перелёта. Если сравнивать затраты на перелёт с гравитационным манёвром и без него, то для экономии топлива выгоднее будет перелет без манёвра. Для экономии времени на перелёт стоит выбрать траекторию с манёвром.

Список литературы:

1. R. A. Jacobson. Planetary Satellite Mean Orbital Parameters. NASA/JPL (15 августа 2009).
2. Солнечная система. Иллюстрированный путеводитель (Добрыня Ю.М. – 2015)
3. Баллистика и наведение летательных аппаратов (Сихарулидзе Ю.Г - 2015) (1)
4. Астродинамика (Суханов А.А. - 2010).
5. Лекции по курсу «Проектирование межпланетных перелётов космических аппаратов» (Иванюхин А.В. – 2022г.)
6. Механика космического полета. Орбитальное движение II (С.А. Мирер)
7. Механика космического полета (М.С. Константинов и др. - 1989)
8. Проектирование межпланетных перелётов космических аппаратов. От Земли до Титана. (Русанова Н.А. – 2022)
9. Построение гелиоцентрического участка траектории методом Ламберта от Земли до Сатурна. (Русанова Н.А. – 2022)