МАТЕМАТИЧЕСКАЯ АСПЕКТЫ ЗВУКООБРАЗОВАНИЯ В ГИТАРЕ

MATHEMATICAL ASPECTS OF SOUND FORMATION IN THE GUITAR

Ilya Milev

student, Department of Applied Mathematics, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

АННОТАЦИЯ

В статье путем математического моделирования построена модель, описывающая образование звука в гитаре.

ABSTRACT

In the article, by means of mathematical modeling, a model has been built that describes the formation of sound in a guitar.

Ключевые слова: математическое моделирование, звукообразование, дифференциальное уравнение.

Keywords:  math modeling, sound production, differential equation.

Создающим звук элементом гитары служит натянутая струна, в которой музыкант посредством щипка и/или удара возбуждает поперечные колебания. Если струна не имеет толщины и соответственно изгибной жесткости, ее поперечные колебания описываются известным гармоническим уравнением:

                                                                  (1)

где U (x,t) – амплитуда поперечных колебаний струны; x – продольная ко- ордината точки струны; t – время; с – скорость распространения волны по струне, равная  (в приведенной формуле Т – сила натяжения струны,  – плотность, S – сечение). Решением этого уравнения служит линейная комбинация допустимых мод (на струне должно укладываться натуральное число полуволн), частоты которых соотносятся как 1 : 2 : 3 : … . Точные значения частот колебаний f_k нежесткой на изгиб, но жестко закрепленной на концах струны длиной L дается формулой

                                                     (2)

где ω_k – т.н. угловая частота. Моды колебаний называют гармониками. В данном случае частота прямо пропорциональна k/L. Физически это отвечает тому, что при заданной скорости распространения время пробега сигналом полуволны пропорционально ее длине. Скорость распространения здесь одинакова для всех мод и равна.

Практически дело обстоит сложнее – струна имеет конечную толщину и ощутимую изгибную жесткость. Если такую толстую струну – жесткий на изгиб стержень просто закрепить шарнирно на концах и не натягивать его, получим колебательную систему, описываемую моделью:

                                                     (3)

где , E – модуль Юнга,  – момент инерции струны относительно ее оси.

Частоты колебаний такой системы дает формула:

                                            (4)

Она означает, что частота колебаний пропорциональна квадрату отношения k/L и отражает тот факт, что высшие моды распространяются быстрее – пропорционально их номеру. Скорость распространения возмущения здесь равна  что обусловлено очевидным увеличением изгибной жесткости струны при уменьшении ее длины.

В результате реалистичной математической моделью ее колебаний служит комбинированное бигармоническое уравнение:

                               (5)

Список литературы:

1. И. В. Савельева: Курс общей физики
2. Тарасик, В.П. Математическое моделирование технических систем: Уч./ В.П. Тарасик. – М.: Инфра-М, 2017.- 160 с.