ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ

​FORCED VIBRATIONS OF THE ROD

Maxim Fomich

student, Department of Master's Degree, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассмотрим вынужденные колебания стержня.

ABSTRACT

In this paper, we will consider the forced vibrations of the rod.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, вынужденные колебания, волновое уравнение.

Keywords:  circular saw, differential equations, mathematical modeling.

После выхода на установившийся режим решение задачи о вынужденных колебаниях жестко заделанного с левого края стержня формулируется, как ,

Общее решение этой однородной задачи: .     Для заделанного слева стержня выполняются граничные условия:,

собственные числа задачи  удовлетворяют уравнению 

собственной функцией задачи  имеют вид:,где , , … .

,     

где . Если на стержень действует периодическая сила , то установившийся колебательный режим описывается уравнением где f(r) отличается от F(r) числовым множителем после выражения  через собственные функции  получаем уравнение установившихся вынужденных колебаний в виде  , где  с точностью до постоянного множителя, а  . Это выражение позволяет рассчитывать спектр колебаний при любом характере воздействия. Опущенные в последних выкладках числовые коэффициенты нам не важны, поскольку, во-первых, спектр звучания пилы определяется относительной амплитудой гармоник, а во-вторых, реальные параметры силового воздействия не известны. Если периодическое воздействие представляет собой удар по краю пластины перпендикулярной ее плоскости, для F(r) справедлива формула: .В этом случае , а спектр колебаний описывается формулой:.   Соответственно при такой модели возмущения спектр шума характеризуется зависимостью .  Для выбранных нами параметров модели и различных частотах возбуждения диска расчетные спектры технологического шума приведены на рис. 3.18

Рисунок 1. Влияние частоты вращения циркулярной пилы на спектр шума

Как следует из приведенного результата моделирования, спектр шума циркулярной пилы обусловлен внешним периодическим воздействием и является достаточно узкополосным. При увеличении скорости вращения диска спектр шума пропорциональна смещается в сторону высоких частот. Этот факт хорошо согласуется с опытными данными. Разрывность спектра в случае подобного оборудования не только регистрируются качественными спектроанализаторами, но и воспроизводится нашей моделью, что подтверждает рис. 3.19. Она обусловлена склонностью к резонансам не всех мод, а лишь тех, которые близки к кратным для возбуждающей частоты.

Рисунок 2. Иллюстрация несплошности звукового спектра циркулярной пилы на различных режимах

Список литературы:

1. Стахиев Ю.М., Устойчивость и колебания плоских круглых пил, М.: Лесная промышленность, 1977. — 296 с.
2. И.Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнения изд 5, “Наука”, 1964
3. Уравнения с частными производными, Эванс Л.К., 2003.