АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

ANALYTICAL SOLUTION OF THE MODEL EQUATION OF DAMPED OSCILLATIONS

Maxim Fomich

student, Department of Master's Degree, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается аналитическое решение дифференциального уравнения 4-го порядка.

ABSTRACT

This paper analyzes the solution of the 4th order differential equation.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, математическое моделирование.

Keywords:  circular saw, differential equations, mathematical modeling.

Подстановкой  в  получаем:

                (1) 

Будем искать решение (3.3) как функцию:

 – факторизация                     (2)

Если колебания гармонические, то

 .                                               (3)

Здесь, очевидно, возможны не любые значения параметра  (круговой частоты).

Если (3) подставить в (1), получаем:

              (4)

Известно, что бигармонический оператор (в красных скобках) факторизуем, т. е. (3.6) можно “расщепить” на два уравнения.

                         (5)

Логично предположить, что пластина колеблется симметрично (в смысле вращательной инвариантности). В этом случае

 - число узловых диаметров                          (6)

Подставляем (6) в (5) поочередно и получаем для  уравнение:

                               (7)

Если бы в первом уравнении (7) отсутствовала второе и третье слагаемое, то решением этого уравнения, было бы сумма двух экспонент – возрастающей и убывающей, а если выбросить второе и третье слагаемое из второго уравнения (7), тогда решением было бы сумма синуса косинуса.

Решениями этих уравнений служат четыре функции Бесселя – простые и модифицированные.

Решение верхнего из (7) является:

     (8)

– аналоги возрастающей и убывающей экспонент

Но                         ,        откуда .

Решение нижнего уравнения (3.9):

       (9)

 – аналоги синуса и косинуса

Поскольку,            ,                  .

Общее модовое решение:

,    (10)

а конечный вид радиальной функции:

(11)

На границе пластины должны выполняться дополнительные условия (для выделения допустимых решений краевой задачи).

Величину  обозначим как . Для функций  допустимые   обозначим как : первый индекс зарезервирован за угловой функцией , второй – за радиальной. Эти индексы отвечают числу складок (полуволн) во вращательном и радиальном направлениях соответственно.

Список литературы:

1. Стахиев Ю.М., Устойчивость и колебания плоских круглых пил, М.: Лесная промышленность, 1977. — 296 с.
2. И.Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнения изд 5, “Наука”, 1964
3. Уравнения с частными производными, Эванс Л.К., 2003.