ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЙ ЦИРКУЛЯРНОЙ ПИЛЫ БОЛЬШОГО ДИАМЕТРА

​GEOMETRY OF THE PROBLEM AND MATHEMATICAL MODEL OF MOVEMENTS OF A CIRCULAR SAW WITH A LARGE DIAMETER

Maxim Fomich

student, Department of Master's Degree, Don State Technical University,

Russia, Rostov-on-Don

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается Геометрия задачи и математическая модель циркулярной пилы, колебания.

ABSTRACT

This paper discusses the geometry and mathematical model of the circular saw, vibration.

Ключевые слова: циркулярная пила, дифференциальные уравнения, математическое моделирование.

Keywords: circular saw, differential equations, mathematical modeling.

Схема резания циркулярной пилой показана на рис. 1

Рисунок 1. Схема пиления древесины

Динамика самого режущего диска может быть свободной и вынужденной.

Свободная динамика означает, что диск пилы колеблется сам по себе, в отсутствие внешних сил. Такая динамика реализуется, если в начальный момент он был изогнут, а потом его отпустили. После этого он, естественно, начал колебаться. Эти колебания будут затухающими и описываются дифференциальным уравнением 4го порядка (1)

,  (1) 

где  – смещение пластины;

 – коэффициент затухания;

 – расстояние от центра ();

 – угол, отсчитываемые от положения равновесия ();

 – плотность материала (в нашем случае стали)

 – время.

 – т.н. цилиндрическая жёсткость,

 где  - модуль Юнга;

 - толщина пластины;

 – коэффициент Пуассона.

Первое слагаемое в уравнении (1) отвечает ускорению (второй производной смещения) всех точек пластины в каждый момент времени. Каждая точка пластины с помощью рис.1 задается парой чисел (r, ). Ускорение – это результат действия изгибной силы на единицу массы пластины (ему соответствует последнее слагаемое в уравнении (1)).

Второе слагаемое отвечает силе вязкого терния, которая пропорциональна скорости движения пластины.

Третье слагаемое введено нами искусственно, чтобы разделить переменные, используя выгодную замену. С физической точки зрения такая замена означает, что характерное время затухания колебаний всех частот одинаково. После соответствующей замены переменных второе и третье слагаемые в уравнении (3.1) исчезнут. Оправдать добавления в уравнение (1) третьего слагаемого можно тем, что в реальности затухание пропорционально  , и обычно используемое для упрощения моделей слагаемое  тоже не вполне соответствует физики процесса.

Уже упомянутое последнее слагаемое в (1) отвечает силе, обусловленной изгибной жесткости на единицу массы, с точностью до знака.

Затухание выбрано в виде линейной комбинации скорости и смещения, чтобы сделать удобную замену

      .                                     (2)

Список литературы:

1. Стахиев Ю.М., Устойчивость и колебания плоских круглых пил, М.: Лесная промышленность, 1977. — 296 с.
2. И.Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнения изд 5, “Наука”, 1964