МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ: ЭТАПЫ ПРИМЕНЕНИЯ

METHOD OF ANALYSIS OF HIERARCHIES: STEPS OF APPLICATION

Anton Kalugin

student, Department of Computer Systems and Networks, Bauman Moscow State Technical University,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В данной статье описан теоретический фундамент метода анализа иерархий, его достоинства и недостатки. Представленные в статье шаги применения метода анализа иерархий формируют точное понимание рациональности и универсальности данного метода.

ABSTRACT

This article describes the theoretical foundation of the hierarchy analysis method, its advantages and disadvantages. The steps in the application of the hierarchy analysis method presented in the article form an accurate understanding of the rationality and universality of this method.

Ключевые слова: метод анализа иерархий, этапы, шкала предпочтений.

Keywords: method of analysis of hierarchies, stages, scale of preferences.

Общее понятие

В настоящее время методы поддержки принятия решений, нечеткую математику и нечеткую логику можно встретить в огромном количестве промышленных изделий: от систем управления электропоездами, боевыми вертолетами и ракетостроении до бытовой техники. Данные методы используются для принятия политических решений и моделирование возможных кризисных ситуаций в современных ситуационных центрах, в программных системах, обслуживающий большой бизнес.

Метод анализа иерархий (МАИ) был предложен профессором Томасом Саати. Он детально описал данный математический метод в своей работе «Принятие решений: метод анализа иерархий» [3]. Главное отличие МАИ от других методов заключается в том, что он позволяет нетривиальным и рациональным образом структурировать сложную проблему в сфере принятия решений. Это происходит в виде иерархии, где верхний уровень – постановка проблемы, второй уровень – качества (критерии), которыми должны обладать гипотетические варианты решения проблемы и третий уровень – альтернативные варианты решения проблемы.

Общие критерии могут разделяться на критерии частного характера. Иерархия отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение (ЛПР), и каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи. Необходимо учесть, что во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки.

Для каждой группы критериев и для альтернатив определяются коэффициенты важности в результате по парного сравнения. Результат сравнения оценивается по дискретной бальной шкале.

Основным достоинством метода анализа иерархий можно выделить высокую универсальность – метод может применяться для решения самых разнообразных задач: анализа возможных сценариев развития ситуации, распределения ресурсов, составления рейтинга клиентов, принятия кадровых решений и др.

К существенным недостаткам метода относятся:

• рассогласование оценок, связанное с трудностями оценки отношений сложных элементов;
• рассогласование оценок, связанное с предложенной дискретной шкалой для оценки элементов;
• резкое увеличение количества оценок с увеличением набора элементов;
• пересчет отношений значимости элементов в их важность осуществляется приближенным методом.

Этапы применения метода анализа иерархий

Постановка задачи в процессе применения метода анализа иерархий: пусть имеется множество альтернатив (вариантов решений): В1, В2, … Вk. Каждая из альтернатив оценивается списком критериев: К1, К2, … Кn. Требуется определить наилучшее решение [1].

В начале необходимо предварительно ранжировать критерии, в результате которого они располагаются в порядке убывания важности (значимости).

Затем происходит попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале с составлением соответствующей матрицы (таблицы) размера (n х n). Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9.

Шкала относительной важности с критериями и полными пояснениями представлена в таблице 1.

Таблица 1.

Фундаментальная шкала предпочтений.

При этом при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы при сравнении элементов А и Б:

• какой из них важнее или имеет большее воздействие?
• какой из них более вероятен?
• какой из них предпочтительнее?

Затем формируется матрица. В процессе заполнения матрицы если элемент i важнее элемента j, то клетка (i, j), соответствующая строке i и столбцу j , заполняется целым числом, а клетка (j, i),  соответствующая строке j и столбцу i, заполняется обратным числом (дробью).

Заполнение таблицы проводится построчно с наиболее важного критерия. Сначала проставляют целочисленные оценки, тогда соответствующие им дробные оценки получаются из них автоматически (как обратные к целым числам). Чем важнее критерий, тем больше целочисленных оценок будет в соответствующей ему строке матрицы, и сами оценки имеют большие значения.

Следующим этапом являются расчеты:

1. Расчет средней геометрической в каждой строке матрицы:

…

2. Расчет суммы средних геометрических:

3. Расчет компонентов нормализованного вектора приоритетов (НВП):

1-й компонент НВП =

2-й компонент НВП =

…

n-й компонент НВП =

Затем производится проверка согласованности локальных приоритетов путем расчета трех характеристик:

1. Собственного значения матрицы:

2. Индекс согласования (ИС):

3. Индекс согласованности (ОС):

 ,

где ПСС – показатель случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий только от размера матрицы.

Далее проводится попарное сравнение вариантов по каждому критерию аналогично тому, как это делалось для критериев, и заполняются соответствующие таблицы. Для каждой таблицы проводится проверка согласованности локальных приоритетов путем расчета трех характеристик.

Определяется общий критерий (приоритет) для каждого варианта:

Аналогично подсчитываются К(В₂), К(В₃) и т.д., при этом в выражении В₁ заменяется на В₂ , В₃ и т.д. соответственно. Заполняется таблица.

После определяется наилучшее решение, для которого значение К максимально.

И проверяется достоверность решения:

1. Расчет обобщенного индекса согласования (ОИС):

2. Расчет обобщенного отношения согласованности (ООС):

 ,

где ОПСС определяется на уровне ПСС (показателя случайной согласованности) для матриц сравнения вариантов по критериям.

Несмотря на то, что МАИ не имеет строгого научного обоснования и больше примыкает к эвристическим методам, этот метод нашел широкое практическое применение из-за своей простоты и наглядности. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.

Список литературы:

1. Ларичев. О. И. Теория и методы принятия решений: учебник для студентов вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Логос, 2002. — 392 с.
2. Ларичев. О. И. Вербальный анализ решений / Отв. ред. А.Б. Петровский. М.: Наука, 2006. — 181 с
3. Саати Т. «Принятие решений: метод анализа иерархий». М.: Радио и связь, 1993. — 278 с.