ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

REMARKABLE LIMITS

Ekaterina Burova

Student, Department of Accounting, Analysis and Economic Security, Samara State University of Economics,

Russian, Samara

Sergey Makarov

Scientific adviser, Doctor of Pedagogy, Professor, Department of Higher Mathematics and Economic and Mathematical Methods, Samara State University of Economics,

Russia, Samara

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается сущность первого и второго замечательных пределов, а также их особенности и выведенные из них следствия.

ABSTRACT

This article examines the essence of the first and second remarkable limits, as well as their features and the consequences derived from them.

Ключевые слова: первый замечательный предел, второй замечательный предел, неопределённость, функция, предел.

Keywords: first remarkable limit, second remarkable limit, uncertainty, function, limit.

Теория пределов – это один из разделов математического анализа.[2] Вопрос о решении пределов является сложным и неоднозначным, так как существует множество различных приёмов, нюансов и хитростей, в которых нужно уметь разбираться и применять их, чтобы решить конкретный пример или задачу.

Любой предел состоит из трех частей:

1) Обозначения предела: lim;

2) Записи под значком предела, например, x ®0. Данная запись читается как «икс стремится к нулю». Но вместо икса могут стоять и любые другие переменные, а на месте нуля – любое другое число, а также бесконечность (+¥ либо - ¥);

3) Функции под знаком предела.

Пределом функции f(x) при x→∞ является число А, если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (положительной или отрицательной). Тогда запись предела функции выглядит так: lim_x→∞f(x)=A.

Предел функции f(x) при x→∞ является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной). Тогда запись выглядит так: lim_x→∞f(x)=∞.

Замечательными пределами называют определенные пределы с известным решением, которые используются для упрощения решения более сложных пределов. То есть это шаблонные выражения, с помощью которых можно значительно упростить работу по нахождению других пределов.

Чем же замечательны такие пределы? Их замечательность состоит в том, что они уже доказаны великими математиками, и нам нет необходимости мучаться со страшными пределами, в которых есть, например, тригонометрические функции или же логарифмы и степени. То есть для удобства при вычислении пределов мы будем использовать готовые, доказанные выражения.

Самыми известными замечательными пределами являются первый и второй замечательные пределы, которые мы рассмотрим далее.

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере [3]:

Данное выражение основано на эквивалентности бесконечно малых sin x~x. Из этого следует, что верно и следующее равенство:

Это разные варианты записи первого замечательного предела.

Важно понимать, что не стоит сразу сводить к первому замечательному пределу все те пределы, которые содержат тригонометрические функции. Чтобы было уместно применить формулу первого замечательного предела, необходимо, чтобы соблюдались следующие условия:

• Должны совпадать выражения, которые содержатся в синусе и в знаменателе дроби;
• Должны стремиться к нулю выражения, которые стоят в синусе и в знаменателе дроби.

В заданиях очень редко встречается первый замечательный предел в чистом виде, когда можно было бы сразу же записать ответ. Поэтому существуют различные следствия, которые выведены из первого замечательного предела. С их помощью можно быстро решить те или иные пределы. Ниже представлены некоторые из них:

Вторым замечательным пределом называется предел:

,

где х – это действительное число; e - число Эйлера.

Число Эйлера - это математическая постоянная, которая равна e≈2,7182818284.[1]

Таким образом, приводить выражение ко второму замечательному пределу стоит в том случае, если при непосредственном вычислении предела получается неопределённость вида 1^∞.[4] Для решения подобных задач для получения второго замечательного предела необходимо произвести замену сложной функции более простой.

Необходимо запомнить, что для показательно-степенной функции не во всех случаях можно использовать второй замечательный предел. Его применяют только тогда, когда основание стремится к единице.

Второй замечательный предел, также как и первый, порождает множество эквивалентностей, которыми тоже очень удобно пользоваться:

Список литературы:

1. Бурмистрова М.В. Математика: Учебное пособие – Санкт-Петербург: ГБОУ СПО СПБ ТКУИК, 2013. – 11с.
2. Куликова Е.Л. Теория пределов: методическое пособие / КГБПОУ «Красноярский колледж отраслевых технологий и предпринимательства», 2020. – 4с.
3. Макаров. С.И. Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. – 2-е изд., стер. – М.:КНОРУС, 2008. – 32с.
4. Швалёва А.В. Математический анализ. Введение в математический анализ: учебно-методическое пособие / А.В. Швалёва, Т.П. Филоненко. – Новотроицк.: НФ НИТУ «МИСиС», 2013. – 20с.