ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ, АППРОКСИМАЦИИ И ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ДАННЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается возможность построения математической модели на основе методов интерполяции, аппроксимации и экстраполяции для обработки входных временных рядов данных аэрозольных загрязнений атмосферы.

Ключевые слова: интерполяция, аппроксимация, экстраполяция, ряды данных, аэрозольные загрязнения.

Аэрозольные загрязнения атмосферы делятся на два типа: естественные и искусственные. Первые возникают без влияния человека, источником могут быть сгорание метеоритов, извержения вулканов, пожары естественного происхождения или пылевые бури, а также штормовые ветра, которые разносят капли морской воды, насыщенные солями хлоридов и сульфатов. Основным источником второго типа загрязнения являются тепловые электростанции, магнезитовые, цементные, металлургические и другие заводы и фабрики. Опасность искусственных аэрозольных загрязнений состоит в том, что частицы от источников загрязнения отличаются широким разнообразием химического состава [1].

Для того, чтобы отслеживать и прогнозировать уровень аэрозольного загрязнения атмосферы необходимо создать удобный пользовательский интерфейс, который будет ориентирован в первую очередь на специалистов данной предметной области. Данный интерфейс будет представлять собой веб-сайт, так как это наиболее удобный вариант реализации. Во-первых, имея доступ к сети интернет, можно в любой момент войти в систему для обработки данных, во-вторых, современные веб-Фреймворки предоставляют все необходимые инструменты для реализации приложений любой сложности, а также обеспечивают высокую скорость работы и степень защиты данных от несанкционированного доступа, а в-третьих, с помощью API (программный интерфейс приложения) для работы со специализированным оборудованием просмотра и изменения временных рядов данных атмосферных загрязнений все расчеты можно проводить в режиме реального времени.

Кроме того, в ходе работы необходимо разработать специальный функционал для обработки рядов данных, который будет основан на таких математических методах, как аппроксимация, интерполяция и экстраполяция.

Обработанные данные будут представлены как в графическом виде с использованием специальных графиков и диаграмм, построенных с помощью интерполяционных, аппроксимирующих и экстраполяционных зависимостей для наглядности, так и в табличном виде.

Остановимся подробнее на математической основе работы. Метод интерполяции представляет собой нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору ее известных значений, определенным способом [2]. Существует несколько способов интерполирования:

• Канонический полином;
• Линейная интерполяция;
• Интерполяционный полином Лагранжа;
• Интерполяционные многочлены Ньютона и другие.

Наибольший интерес для рассмотрения и реализации представляют собой интерполяционный многочлен Лагранжа и многочлены Ньютона.

В классическом виде интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

,                                                                   (1)

где  – множитель Лагранжа, в сокращённом записи имеющий вид:

Таким образом, многочлен Лагранжа можно записать так:

                                                          (2)

Чаще всего к использованию интерполяционного полинома Лагранжа прибегают при теоретических исследованиях, например, при доказательстве теорем, при исследованиях в труднодосягаемых местах и так далее [3, 127].

Рассмотрим также интерполяционные полиномы Ньютона, так как они лягут в основу будущей математической модели. Удобнее всего использовать полиномы Ньютона тогда, когда шаг интерполяции постоянный, а также, если точка интерполирования находится в начале таблицы – для этого предназначена первая интерполяционная формула Ньютона или в конце таблицы – вторая формула.

Первый полином Ньютона имеет вид [4]:

(3)

Для нахождения значений функции в конце интервала интерполирования интерполяционный полином Ньютона примет вид [4]:

(4)

Следующим за интерполированием входных рядов данных этапом будет их аппроксимация. Аппроксимация – метод приближения, при котором для нахождения дополнительных значений, отличных от табличных данных, приближенная функция проходит не через узлы интерполяции, а между ними. С помощью интерполяции входные данные описываются более точно, однако в некоторых случаях применение аппроксимации вполне обосновано:

• Если входных данных слишком много, то интерполирующая функция становится слишком большой и сложной для расчётов;
• Когда требуется повторить эксперимент, целесообразно прибегать к аппроксимации, так как с помощью интерполяции невозможно повторно проводить расчёты при одних и тех же начальных условиях;
• Входные данные могут содержать ошибки, поэтому, если требуется сгладить погрешности и не повторять эти ошибки в расчётах, можно использовать аппроксимирующую функцию.

Рисунок 1. Пример построения аппроксимирующей функции по некоторым входным данным

Одним из основных механизмов прогнозирования является метод экстраполированния. Сущность экстраполяции заключается в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций развития объекта прогноза, в данном случае – ряд данных аэрозольных загрязнений атмосферы и переносе их на будущее.

Наиболее простым в реализации является метод линейной экстраполяции, но он эффективен только в том случае, если сама исходная функция близка к линейной, а искомая точка расположена вблизи последней наблюдаемой точки данных . Возьмём для примера точку ( для экстраполирования. Ближайшими к ней точками ряда данных будут ( и (. Тогда линейная функция экстраполяции примет вид:

                                           (5)

Следовательно, при линейной экстраполяции, новая точка ( строится таким образом, будто по ней и точке ( интерполируется точка ( [5].

Рисунок 2. Пример экстраполяции для точки (

После построения математической модели крайне необходимо использовать различные методы оценки погрешностей интерполяции и экстраполяции, для того, чтобы можно было корректировать модель. Это позволит в будущем получать более точные результаты вычислений.

Список литературы:

1. Wikipedia.org: Аэрозольные загрязнения [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Аэрозольные_загрязнения (дата обращения 01.12.2020)
2. Loginom.ru: Интерполяция (Interpolation) [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://wiki.loginom.ru/articles/interpolation.html (дата обращения 12.12.2020)
3. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы : учеб. пособие. М.: «Наука», 1989 г. — 432 с.
4. МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/m/MBB/uchebnaya_rabota/Model/Tab/Interp_app.pdf (дата обращения 13.12.2020)
5. Loginom.ru: Экстраполяция (Extrapolation) [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://wiki.loginom.ru/articles/extrapolation.html (дата обращения 13.12.2020)