ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ОДНОМЕРНОЙ СПИН-ПСЕВДОСПИНОВОЙ СИСТЕМЫ

Одна из главных задач физики конденсированного состояния вещества заключается в выяснении микроскопической природы свойств материалов. В системах с сильными межчастичными взаимодействиями эта задача осложняется конкуренцией между различными типами коллективных неустойчивостей, в результате чего часто бывает трудно определить первопричину того или иного поведения системы.

За последние время получено много информации о взаимоотношении разных фаз в купратах. Комбинируя поверхностные методики с объемными (сканирующая электронная микроскопия, фотоэлектронная спектроскопия, резонансное упругое рассеяние рентгеновских лучей и др.), было установлено, что ниже некоторых характеристических температур в некоторых ВТСП формируется соответственно динамический зарядовый и магнитный порядок. Величины температур близки, что свидетельствует о тесной взаимосвязи спинового (магнитного) и зарядового порядка [1]. Но что из них причина, а что – следствие вызывает вопрос.

Таким образом, высокотемпературные купратные сверхпроводники характеризуются как сосуществованием, так и конкуренцией спиновых и зарядовых порядков. В статье рассмотрена упрощенная одномерная модель купратной системы, где одно из валентных триплетных состояний на месте (или состояний с псевдоспином S =1) имеет спин s = 1/2 степени свободы. В зависимости от значения параметров, система показывает различные типы упорядочения основного состояния. К ним относятся как сосуществование, так и конкуренция спина и псевдоспина, для слабого и сильного обмена, соответственно.

В используемом модельном подходе к оксидам меди предполагается, что гильбертово пространство на узле сводится только к трем эффективным зарядовым состояниям (номинально ) ионов меди в плоскостях Cu. Эти зарядовые состояния связаны с компонентами S = 1 псевдоспинового триплета  = -1, 0, + 1. На локальных состояниях характерно различное занятие дырок:  = 0, 1, 2 для  соответственно и разные традиционные спины: s = 1/2 для  и s = 0 для . Концентрация допированных дырок n связана с псевдо-намагниченностью:  Обычная спиновая плотность для смешанных валентных суперпозиций может варьироваться между 0 и 1 в соответствии с весом  в суперпозиции на узле.

Чтобы выявить некоторые особенности спин-зарядовой конкуренции, в дальнейшем рассматривается упрощенный спин-псевдоспиновый гамильтониан, который учитывает локальные и межсайтовые корреляции и условное гейзенберговское спиновое обменное взаимодействие. Основным упрощением модели является ее статический характер, т. е. в ней не учитывается перенос заряда, взаимодействия носят потенциальный характер.

                   (1)

при выполнении условия

                                                   (2)

Где суммы пробегают по ближайшим соседям в цепочке,  и  - это псевдоспин и спиновые операторы соответственно.

Первое слагаемое на месте («одноионная анизотропия») описывает эффекты чистого «псевдоспинового расщепления» и относится к взаимодействию типа плотность-плотность на месте:  = U / 2, U - параметр корреляции, второй (изинговский) член с V> 0 описывает эффекты межзонных взаимодействий типа плотности-плотности. Последнее слагаемое представляет собой антиферромагнитное спин-обменное взаимодействие Гейзенберга, где

                                              (3)

- проекционный оператор на состояния с проекцией псевдоспина 0.

Пять фаз основного состояния зависят от параметров Δ, V, J следующим образом [2]:

1. CO1 (Charge-ordered I)

 Энергия CO1 фазы:

COI фаза стабильна при Δ < 0, как показано на Рисунке 1.4.

2. CO2 (Charge-ordered II)

Энергия CO2 фазы:

COII фаза стабильна при Δ > 0, 1/2 ≤ |n| ≤ 1, J < 4V, как показано на Рисунке 1.4.

3. CO3 (Charge-ordered III)

Энергия CO3 фазы:

COIII фаза стабильна при |n| < 1/2, Δ > 0, |n| < (2V - Δ)/(J/2 +2V ), как показано на Рисунке 1.4.

4. FIM (Ferrimagnetic)

Энергия FIM фазы:

FIM фаза стабильна при |n| < 1/2, |n| < (J/2 +Δ)/(J/2 + 2V ), J < 4V, как показано на Рисунке 1.4.

5. AFM (Antiferromagnetic)

Энергия AFM фазы:

AFM фаза стабильна при Δ > -J/2(1-|n|), J > 4V, как показано на Рисунке 1.4.

.

Рисунок 1. Фазовые диаграммы основного состояния в пределе «слабого» обмена (верхняя панель) и в «сильном» (нижняя панель). Заштрихованные области указывают на значения параметров, при которых возможны температурные фазовые переходы от одной упорядоченной фазы к другой.

Точный расчет характеристик модели был осуществлен в программном пакете Wolfram Mathematica 10.4. В связи с ограничением оперативной памяти, требуемой для рабочей области Mathematica, не рассматривались цепочки длиной выше L=12.

CO1

Графики зависимостей внутренней энергии и теплоемкости получены при L=12, M=4, n=0,33.

Рисунок 2. Зависимость внутренней энергии от температуры, полученных при значениях параметров Δ=-1/2, V=1/4, J= 1/2, n=0.33

Рисунок 3. Зависимость теплоемкости от температуры, полученных при значениях параметров Δ=-1/2, V=1/4, J= 1/2, n=0.33.

В полученной зависимости теплоемкости от температуры максимум связан с зарядовым упорядочением.

Вид состояний с минимальной энергией для L=10, M=2.

,

Кратность вырождения g=25. Обобщенная формула:

                                                       (9)

Структурный фактор:

Рисунок 4. Псевдоспиновый и спиновый структурный фактор соответственно.

В структурном факторе наблюдается тяготение к установлению антиферромагнитного псевдоспинового упорядочения (характеризуемого пиком на границе зоны Бриллюэна), но оно не может быть идеальным из-за наличия «примесных» допированных зарядов. Спиновый порядок отсутствует полностью, что логично из вида основного состояния, а именно отсутствия в нем спинов.

CO2

Графики зависимостей внутренней энергии и теплоемкости получены при L=12, M=8, n=0,66.

Рисунок 5. Зависимость внутренней энергии от температуры, полученных при значениях параметров Δ=1/4, V=1/4, J= 1/2, n=0.66

Рисунок 6. Зависимость теплоемкости от температуры, полученных при значениях параметров Δ=1/4, V=1/4, J= 1/2, n=0.66

Пик в зависимости теплоемкости от температуры приходится на гораздо меньшее значение теплоемкости, чем в случае фазы СО1, это объясняется тем, что фаза СО2 «передопирована», т. е. большое количество примесей ослабевает отклик системы на теплоту.

Вид состояний с минимальной энергией

Кратность вырождения g=400. Обобщенная формула:

                                                     (10)

Структурный фактор:

Рисунок 7. Псевдоспиновый и спиновый структурный фактор соответственно.

Зарядовый порядок является «вынужденным», т. е. происходит исключительно от допирования, из взаимодействия 1 и соседних 0. Спиновый порядок не наблюдается, т. к. спины не соседствуют друг с другом, что объясняется выигрышем в энергии за счет минимизации псевдоспинового вклада. Спины находятся далеко и друг друга «не ощущают», эту фазу можно описать как «квантовый парамагнетик».

CO3

Графики зависимостей внутренней энергии и теплоемкости получены при L=12, M=4, (n=0,33) и L=10, M=2 (n=0,2) соответственно.

Рисунок 8. Зависимость внутренней энергии от температуры, полученных при значениях параметров Δ=1/10, V=1/4, J= 1/2, n=0.33 (левая панель) и n=0.2 (правая панель).

Рисунок 9. Зависимость теплоемкости от температуры, полученных при значениях параметров Δ=1/10, V=1/4, J= 1/2, n=0.33 (левая панель) и n=0.2 (правая панель).

Вид состояний с минимальной энергией для L=10, M=2.

Кратность вырождения g=80.

Структурный фактор:

Рисунок 10. Псевдоспиновый и спиновый структурный фактор соответственно.

Антиферромагнитный зарядовый порядок ярко выражен. Спиновый порядок не наблюдается, т. к., как следует из вида основного состояния, спины не соседствуют друг с другом. Эту фазу также можно описать как «квантовый парамагнетик».

FIM

Графики зависимостей внутренней энергии и теплоемкости получены при L=10, M=2, (n=0,2).

Рисунок 11. Зависимость внутренней энергии от температуры, полученных при значениях параметров V=1/4, J=1/2, n=0.2, Δ = 1/4(левая панель) и Δ= 3/2 (правая панель).

Рисунок 12. Зависимость теплоемкости от температуры, полученных при значениях параметров V=1/4, J=1/2, n=0.2, Δ = 1/4(левая панель) и Δ= 3/2 (правая панель).

C изменением Δ качественно меняется зависимость энергии и теплоемкости от температуры, однако вид основных состояний и структурный фактор при этом не меняется, что значит, что эти изменения происходят внутри одной фазы. Истинная причина такого поведения неизвестна, но можно предположить, что в случае Δ=3/2 1-й пик связан с магнитным упорядочением, а 2-й - с зарядовым, в ситуации Δ=1/4 оба пика совпадают.

Вид состояний с минимальной энергией для L=10, M=2.

Кратность вырождения g=140. Обобщенная формула:

                                                      (11)

Структурный фактор:

Рисунок 13. Псевдоспиновый и спиновый структурный фактор соответственно.

Структурные факторы показывают, что наблюдается псевдоспиновое упорядочение, но как видно из вида основного состояния оно появляется исключительно за счет допирования.

Также наблюдается тяготение к установлению антиферромагнитного спинового упорядочения, но оно не может быть идеальным из-за наличия «примесных» допированных зарядов.

AFM

Графики зависимостей внутренней энергии и теплоемкости получены при L=12, M=4, (n=0,33) и L=10, M=2 (n=0,2) соответственно.

Рисунок 14. Зависимость внутренней энергии от температуры, полученных при значениях параметров Δ=-1/16, V=1/4, J=3/2, n=0.33 (левая панель) и n=0.2 (правая панель).

Рисунок 15. Зависимость теплоемкости от температуры, полученных при значениях параметров Δ=-1/16, V=1/4, J=3/2, n=0.33 (левая панель) и n=0.2 (правая панель).

Два максимума в теплоемкости связаны с двумя последовательными упорядочениями: 1-й пик - это так называемая «конденсация зарядовой капли», образование локализированного зарядового упорядочения; 2-й – магнитное упорядочение, выстраивание спинов в антиферромагнитном порядке. «Зарядовая капля» также видна из состояний, она же является причиной несовпадения минимальной энергий с формулой (8) на малую величину, т. к. при расчете формулы было использовано приближение среднего поля, не учитывающее поверхностную энергию.

Вид состояний с минимальной энергией для L=10, M=2.

Кратность вырождения g=20. Обобщенная формула:

                                                               (12)

Структурный фактор:

Рисунок 16. Псевдоспиновый и спиновый структурный фактор соответственно.

Ширина пика в псевдоспиновом структурном факторе говорит о локальности неоднородности, что также видно из основного состояний. Ярко выражен спиновый порядок с характерным для антиферромагнитного упорядочения пиком на краю зоны Бриллюэна.

Список литературы:

1. Fradkin E., Kivelson S. A., Tranquada J. M. Colloquium: Theory of intertwined orders in high temperature superconductors //Reviews of Modern Physics. – 2015. – Т. 87. – №. 2. – С. 457.
2. Panov Y. D. et al. The Ground-State Phase Diagram of 2D Spin–Pseudospin System //Journal of Low Temperature Physics. – 2017. – Т. 187. – №. 5-6. – С. 646-653.