ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ ПРИ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ ПОТОКА МЕТОДОМ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

OPTIMIZATION OF THE FORM OF AXISYMMETRIC BODIES AT SUPERSONIC FLOW VELOCITIES BY THE METHOD OF SOLVING VARIATIONAL PROBLEM

Bui Van Tien

сandidate of Science, Le Quy Don University of Science and Technology,

 Vietnam, Hanoi

Doan Van Minh

сandidate of Science, Le Quy Don University of Science and Technology,

 Vietnam, Hanoi

Nguyen Minh Hong

сandidate of Science, Le Quy Don University of Science and Technology,

 Vietnam, Hanoi

Nguyen Huu Son

сandidate of Science, Le Quy Don University of Science and Technology,

 Vietnam, Hanoi

АННОТАЦИЯ

Настоящая работа представляет собой результаты решения вариационных задач по определению оптимальных аэродинамических форм осесимметричных тел при сверх- и гиперзвуковых скоростях потока. Давление на поверхности тела определяется в рамках гипотезы локальности, т.е. предполагается, что давление на поверхности тела определяется углом между местной нормалью и вектором скорости набегающего потока. Аналитически решена задача о форме тела минимального сопротивления при заданном диаметре донного среза, а также при заданном объёме тела и при постоянном коэффициенте трения на поверхности тела. Получено, что при заданном диаметре миделя телом минимального сопротивления является конус. При заданных диаметре миделя и объёме образующая тела минимального сопротивления определяется степенным законом со степенью 2/3. Показано, что форма оптимального тела консервативна к изменению числа Маха.

ABSTRACT

This paper presents the results of solving variational problems of determining the optimal aerodynamic forms of axisymmetric bodies at supersonic and hypersonic flow velocities. The pressure on the surface of the body is determined in the framework of the local interaction, i.e. it is assumed that the pressure on the surface of the body is determined by the angle between the local normal and the velocity vector of the incoming flow. The problem of the shape of a body with minimal drag is solved analytically for a given bottom diameter, as well as for a given body volume and for a constant coefficient of friction on the body surface. It was found that for a given bottom diameter the body of minimum drag is a cone. For a given bottom diameter and volume, the body of the minimum drag is determined by a power law with a power of 2/3. It is shown that the shape of the optimal body is conservative with respect to a change in the Mach number.

Ключевые слова: оптимизация формы тела, осесимметричные тела, вариационная задача, локальное взаимодействие, метод Ньютона.

Keywords: body shape optimization, axisymmetric bodies, variational problem, local interaction, Newton method.

Введение

Возросший интерес к этой области науки обусловлен быстрым развитием ракетной техники и сверх­звуковой авиации, потребовавшим подробных сведений об оптимальных формах головных частей ракет, крыльев, сопел реактивных двигателей и других элементов летательных аппа­ратов. При исследовании подобного рода вопросов возникли значительные трудности, связанные в основном с тем, что в газовой динамике параметры течения определяются путем ре­шения сложных краевых задач для систем квазилинейных диф­ференциальных уравнений в частных производных. В результате этого функционалы вариационных задач не удается представить в виде явной зависимости от геометрии тела, и требуется боль­шое искусство для нахождения эффективного решения. Этим, по-видимому, можно объяснить, что до сих пор, несмотря на большие усилия и использование современной вычислительной техники, не удалось решить задачу о форме тела вращения ми­нимального волнового сопротивления в сверхзвуковом потоке газа. Еще более сложную проблему составляет определение оптимальных аэродинамических форм пространственных тел и крыльев.

Указанные трудности привели к упрощению постановок ва­риационных задач и широкому использованию приближенных методов расчета газодинамических течений. В этом направле­нии были достигнуты известные успехи, отражением которых и является данная работа. Однако даже в приближенной поста­новке задачи по определению оптимальных аэродинамических форм, как правило, не сводятся к стандартным задачам вариационного исчисления, в связи с чем возникает необходимость дальнейшего развития соответствующей математической теории.

В данной работе применяются гипотезы локальности, т.е. предполагается, что давление на поверхности тела определяется углом между местной нормалью и вектором скорости набегающего потока (формула Ньютона). На основании этих предположений были решены две задачи. Первая задача - найти форму  тела минимального сопротивления при заданных диаметре и длине тела.  А во второй задаче - найти формы тела минимального и максимального сопротивления при заданных диаметре и объёме тела. Задачи решаются аналитическим методом – решение вариационной задачи.

Постановка задачи

Формула давления Ньютона:

Формула сопротивления Ньютона приближенно справедлива для тел, движущихся с большой сверхзвуковой скоростью. Этот вывод основан на том, что при таких скоростях инерционные силы превосходят силы упруго­сти в возмущенном потоке [1]. Таким образом, когда число Маха невозмущенного потока становится большим по сравнению с единицей, модель течения с прилегающим скачком уплотнения становится близкой к корпускулярной модели течения, принятой Ньютоном. Для наших целей анализ таких течений можно упростить без заметной потери точности, предположив отно­шение удельных теплоемкостей возмущенной жидкости равным единице. Тогда угол наклона ударной волны аппроксимируется углом отклонения потока (рис. 1),  а коэффициент давления в любой точке вниз по потоку от ударной волны определяется простым выражением.

                                                                (1)

где θ - угол наклона контура тела относительно направления невозмущенного потока.

Рисунок 1. Физическая модель

1 - направление невозмущенного потока; 2 - ударная волна;  3 - поверхность тела; 4 - область возмущенного течения​

Использование формулы давления Ньютона  широко находится в различных литературах [1-62]. Для определения оптимальной формы осесимметричных тел путем решения классической вариационной задачи целесообразно применять достаточно простая математическая модель взаимодействия потока с телом. В связи с этим форма тела минимального сопротивления можно определяется при использовании данной математической модели локального взаимодействия.

Формула местного конуса:

При определении коэффициента давления на поверхности острого конуса в сверхзвуковом потоке при нулевом угле атаки можно использовать формулу (2) [9-11], которая хорошо аппроксимирует точное решение [4]:

                                         (2)

Назовём  эту формулу - формулой местного конуса.

где  θ – угол между направления набегающего потока и касательной к форме тела в данной точке;    

M – число Маха М набегающего потока.

Эта формула хорошо аппроксимирует величину коэффициента давления на поверхности круглого конуса (рис. 2). В табл. 1 и на приведены сравнения результатов расчётов коэффициента сопротивления для тела вращения степенной формы  y=0.4x^0.75, полученных путём численного интегрирования уравнения сверхзвукового течения идеального газа (точное решение) [4],  и по формуле (2). Можно заметить, что относительная погрешность расчёта по формуле (2) не превышает  6%, графически которого иллюстрируют их близость друг к другу (рис. 2).

Рисунок 2. Оценка точности метода местного конуса

Таким образом, формулу (2) можно использовать при определении  коэффициента давления на поверхностях осесимметричных тел в широком диапазоне изменения числа Маха.

Таблица 1.

Сравнение коэффициента сопротивления тела вращения степенной формы y=0.4x^0.75

Постановка вариационной задачи:

Рисунок 3. Система координат

Введём обычные обозначения :

x – координата в направлении невозмущенного потока;

у – радиальная координата;

у(х) – меридиональный контур тела (уравнение формы тела);

 – производная 

 – производная 

l – длина тела, принимается l=1;

R – радиус донного сечения тела.

Предполагая, что коэффициент поверхностного трения – постоянный, а донное давление не учитывается, аэродинамическое сопротивление будет обусловлено только лобовой частью тела и определяется формулой:

                                          (2) 

где D –  аэродинамическое сопротивление;

C_p – коэффициент давления;

C_f  – коэффициент поверхностного трения. С_f =const;

Расчет формы тела минимального сопротивления заклю­чается в определении функции y(x), которая минимизирует функционал (2) при условии, накладываемом на диаметр миделя  и объём

1. Задан диаметр миделя

Пусть задан диаметр миделя   t=2.

Рисунок 4. Система координат при заданном диаметре миделя

Задача о теле минимального сопротивления  эквивалентна определению экстремума функционала:

где 

Итак, функция х(у), минимизирующая функционал I, дол­жна быть решением уравнения Эйлера (по методу вариационного исчисления):

Так как  , то первый  интеграл этого уравнения:

Постоянная  С определяется условием трансверсальности:

которое  при  принимает вид  и, следовательно С=0, где индексы i, f – начальная и концевая точки контура по оси y.  

Тогда получено уравнение:

                                                          (3)

Уравнение (3) имеет решение ,  то есть телом минимального сопротивления  является острый конус. Угол θ при вершине этого конуса определяется конкретной зависимостью .

Задавая С_p  по формуле Ньютона , получим уравнение:

                                                              (4)

Для тонкого тела можно принять допущение о том, что  или .

Тогда из (3) =>  

При начальных условиях х=0 и у=1 будем получать решение:

                                                              (5)

Коэффициент сопротивления определяется по формуле:

                                               (6)

или

                                       (7)

Результаты расчёта представлены на рис. 4.

Рисунок 5. Оптимальная форма при заданном диаметре и при различных значениях С_f

Значение коэффициента С_х в зависимости от коэффициента С_f показано в следующей таблице:

Рассмотрим как изменяется оптимальная форма при использовании формулы местного конуса:

Формула местного конуса:

или

Тогда первый  интеграл уравнения Эйлера становится:

                                                            (8)

или

                                 (9)

Видно, что решение этого уравнения при конкретных значениях С_f  и M  будет определенной константой  

Это значит, что при использовании формулы местного конуса тело вращения минимального сопротивления тоже имеет вид конуса.  Тогда можно сделать вывод о том, что форма тела вращения минимального сопротивления при заданном диаметре не зависит от математических моделей локального взаимодействия и имеет вид острого конуса.

Построим зависимость угла наклона контура от числа Маха и значения коэффициента поверхностного трения С_f :

Рисунок 6. Зависимость угла наклона контура от числа Маха и значения коэффициента поверхностного трения С_f

2. Заданы диаметр миделя и объём тела

Пусть задан диаметр миделя  t=2.

Объём тела определяется по формуле     

Рисунок 7. Система координат при заданных диаметре миделя и объёме

Задача о теле минимального сопротивления  эквивалентна определению экстремума функционала:

где 

Итак, функция х(у), минимизирующая функционал I, дол­жна быть решением уравнения Эйлера (метод вариационного исчисления):

Так как  , то первый  интеграл этого уравнения:

Постоянная  С определяется условием трансверсальности:

 которое  при  принимает вид и, следовательно С=0.

Тогда получено уравнение:

                                                 (10)

где  -  неопределенный постоянный множитель Лагранжа.

Так как  не удовлетворяет изопериметрическому условию, то уравнение экстремали при задании С_р по формуле Ньютона имеет вид:   

                                                          (11)

Для тонкого тела можно принять допущение о том, что  или

Тогда из (11) =>

При начальных условиях  х=0,  у=1  будем получать решение:

                                       (12)

Постоянный множитель Лагранжа  определяется из условия

После интегрирования получили:

Из заданного объёма V можно найти множитель Лагранжа λ, при

Значение коэффициента сопротивления в зависимости от коэффициента С_f   приведено в таблице:

где С_х0 – значение коэффициента сопротивления для острого конуса такого же объёма.

Оптимальная форма при заданном диаметре миделя и объёме тела представлена на рис. 8.

Рисунок 8. Оптимальная форма при заданных диаметре и объёме и при различных значениях С_f.

При заданном диаметре миделя телом минимального сопротивления является конус. При заданных диаметре миделя и объёме образующая тела минимального сопротивления определяется степенным законом  x=a.y^2/3.

Приведенный анализ показал, что  при задании объёма тела параметры С_f  и М не оказывают заметного влияния на форму тела образующей оптимального тела, приведенной на рис. 8.

Заключение

Решены задачи о форме тела минимального в рамках моделей локального взаимодействия (формула Ньютона, и метод местного конуса) и в предположении, что коэффициент трения на поверхности тела постоянен.

При заданном диаметре миделя телом минимального сопротивления является конус. При заданных диаметре миделя и объёме образующая тела минимального сопротивления определяется степенным законом x=a.y^2/3.

При использовании различных математических моделей локального взаимодействия форма тела минимального сопротивления при заданной длине практически не изменяется.

Иными словами, оптимальная форма осесимметричного тела при заданной его длине в сверхзвуковом диапазоне скоростей с высокой точностью определяется при использовании формулы Ньютона.

Получено аналитическое решение задачи о форме тела минимального и максимального сопротивления при заданных радиусе миделя и объёме. Показано, что форма оптимального тела консервативна к изменению числа Маха.

Список литературы:

1. А. Миелле, Теория оптимальных аэродинамических форм. Изд., «МИР», Москва.  1969.
2. А. Л. Гонор. Определение формы тел минимального сопртивления при больших сверхзвуковых скоростях, ПММ, 24, вып. 6 (1960)
3. А. Н. Крайко, Об определении тел минимального сопротивления при исползовании законов сопротивления Ньютона и Буземана, ПММ, 27, вып. 3 1963.
4. Г.Г. Чёрный. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.
5. А. Л. Гонор. Конические тела наименьшего сопротивления в гиперзву­ковом потоке газа, ПММ, 28, вып. 2 (1964).
6. В. И. Лапыгин, Г. Е. Якунина. О формах тел с максимальным аэродинамическим качеством в сверхзвуковом потоке// Прикладная математика и механика. Том 73. Вып. 5. 2009. с 715-719.
7. В. В. Коваленко, М. Ф. Притуло, Т. М. Притуло. Решение задачи оптимизации формы головной части фюзеляжа сверхзвукового летательного аппарата при заданной подъёмной силе // Ученые Записки ЦАГИ. 2002. Т. XXXIII, № 3-4. С. 41-46.
8. А. Л. Гонор. Закон сопротивления Ньютона для тел, образованных пересекающимися поверхностями, Изд. АН СССР, МЖГ, №1( 1967).
9. Н.А. Герасимов, В.С. Сухомлинов. Оптимизация сверхзвукового аэродинамического обтекания за счет локальных внешних воздействий на поток // Журнал технической физики, 2010, том 80, вып. 11. С. 6-10.
10. V. I. Lapygin, A. Yu. Galaktionov, M. N. Kazakov еt аl. Trade-off of Aerodynamic Configuration for a Descent Vehicle. Proceedings of the 2nd European Co.
11. В. И. Лапыгин, П. В Третьяков. Коническое крыло максимального аэродинамического качества в сверхзвуковом потоке газа. Изв. АН СССР. МЖГ, 1986, № 3. Conference for Aerospace Sciences (EUCASS), 2007, Brussels, Belgium.
12. В. Н. Голубкин, В. В. Сысоев. Оптимальные по сопротивлению формы носовых частей профилей и тел вращения в гиперзвуковом потоке под углом атаки// Ученые Записки ЦАГИ. 2008. Т. XXXIX, № 3. С. 14-20.
13. Г.Е. Якунина. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 299–310.