ОБЩЕЕ СОКРАЩЕНИЕ ЛОРЕНЦА ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

АННОТАЦИЯ

Цель статьи заключается в обсуждении того факта, что длина стержня равноускоренной системы отсчёта k первоначально ориентированной также, как и лабораторная система, не удовлетворяет обычной формуле сокращения Лоренца. Это противоречие объясняется собственным вращением Вигнера стержня системы k относительно сопутствующей системы отсчёта испытывающей прецессию Томаса. Вследствие этого общая формула сокращения является эффектом композиции поворота и обычного лоренцевского сокращения. Данная формула успешно проверена на примере криволинейного равноускоренного движения.

ABSTRACT

The purpose of the paper is to discuss the fact that the length of the rod of an uniformly accelerated frame of reference k, which originally oriented like the laboratory system, does not satisfy the usual Lorentz contraction formula. This contradiction is explained by Wigner's proper rotation of the rod of frame k with respect to the comoving frame, which rotates with the frequency of the Thomas precession. As a consequence, the general contraction formula is the effect composition of the rotation and the usual Lorentz contraction. This formula has been successfully tested using the example of curvilinearly uniformly accelerated motion.

Ключевые слова: равноускоренное движение, прецессия Томаса, вращение Вигнера, общее сокращение Лоренца.

Keywords: uniformly accelerated motion, Thomas precession, Wigner rotation, general Lorentz contraction.

Свойства наиболее общего равноускоренного движения значительно отличаются от свойств прямолинейного равноускоренного движения. В [1] обсуждался прямолинейно движущийся стержень и делался вывод, что в этом случае сокращение Лоренца выполняется. В статье [2, формулы (3.5)-(3.7)] был произведён расчёт длины  релятивистского стержня собственным размером , который криволинейно движется с ускорением  направленным вдоль оси 1 с начальной скоростью . 

      (1)

                                                          (2)

   (3)

где

,                                           (4)

.                           (5)

Последующие вычисления в [2] приводили к выводу, что длина линейки равноускоренной системы отсчёта k (1), (3) не удовлетворяет известной формуле сокращения Лоренца

,                                            (6)

где - скорость стержня собственной длиной .

Данное противоречие объясняется тем, что стержень в процессе своего равномерного ускорения относительно лабораторной системы отсчёта движется криволинейно и, следовательно, испытывает вращение Вигнера относительно системы отсчёта s сопутствующей начальной точке стержня и имеющей собственную прецессию Томаса. Формула (6) справедлива только для линеек системы s. Поэтому для вычисления длины произвольно движущегося стержня требуется использовать общую формулу сокращения Лоренца

.                                  (7)

                                                   (8)

где - матрица ориентации системы k относительно s.

Всё вышесказанное можно ещё пояснить тем хорошо известным, но, для формулы длины ускоренного стержня, обычно игнорируемым требованием, что уравнения физики должны быть инвариантны относительно преобразований из полной группы Лоренца (бусты + повороты); чистые же бусты какую-либо подгруппу группы Лоренца не составляют. Общая формула сокращения Лоренца (7) является форминвариантной в отличие от специальной формулы сокращения (6).

Проверим теперь общую формулу сокращения (7). Из нескольких эквивалентных способов вычисления будет использоваться способ, использующий лоренцевский буст [3].

Матрица поворота для равноускоренно движущейся системы s  из (7) имеет вид (в [3, формула (2.8)] приведена обратная матрица)

                                                          (8)

Следовательно, выписанная покомпонентно формула сокращения (7) имеет следующий вид

,                 (9)

,             (10)

где  есть угол Вигнера между системами s и k [3, формулы (2.9), (2.10)] и

 ,                           (11)

.                (12)

Там же [3, формулы (2.4)-(2.6)] была вычислена скорость  начала системы отсчёта s выраженной в системе координат s и скорость  начала системы отсчёта s выраженная в лабораторной системе координат [3, формулы (2.1)-(2.3)]. В обозначениях этой статьи они равны

,     ,     ,                          (13)

,         ,                      (14)

                                 (15)

Необходимо ещё выразить гиперболические функции собственного времени начала отсчёта, от которых зависят (13)-(15), через лабораторное время . Это было уже проделано в [2]. Для начала отсчёта () формулы (2.3), (2.4) статьи [1] дают

,          .                                (16)

Подстановка этих значений в (11)-(15) приводит к равенствам

,      (17)

,         (18)

,      ,       ,                                      (19)

,      ,                  (20)

                          (21)

Из (4)-(5) следует полезное для дальнейшего равенство    

                         .                                                        (22)

Учитывая формулы (19), (22) и то, что  нетрудно вычислить значение

.                                    (23)

Подставим теперь все найденные значения (17)-(21) и (23)  в (9) и (10). После всех упрощений, приведения к подобных членов и учёта (22) в результате получим выражения (1)-(3).

Таким образом, общая формула сокращения Лоренца (7) на примере криволинейного равноускоренного движения подтвердилась. Разумеется, данная формула имеет общее значение и её легко вывести самостоятельно, используя общее преобразование Лоренца-Мёллера-Нэлсона.

Список литературы:

1. Tartaglia A., Ruggiero M. L. Lorentz contraction and accelerated systems // European Journal of Physics, v. 24,  № 2.- P. 215-220.
2. Войтик В.В. Некоторые геометрические следствия криволинейного равноускоренного движения // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. -2016. -№ 2. -С. 38-46.
3. Войтик В.В. Некоторые способы вычисления параметров криволинейного равноускоренного движения // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. -2015. -№ 2. -С. 38-47.