ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ОТВЕРСТИЯ ПЛАСТИН СОРТИРОВОЧНЫХ МАШИН ПОДВЕРЖЕННЫХ ИЗГИБУ

DETERMINATION OF SHAPE HOLES FOR SCREENING DEVICE PLATE AT A BEND

Rovshan Qasimov

PhD on engineering

Azerbaijan Techonologial University,

Azerbaijan, Ganja

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается поля напряжений пластины подверженной изгибу, ослабленной двоякопериодической квадратной сеткой одинаковых круговых отверстий и разработке эффективного метода нахождения оптимальной формы отверстия.

ABSTRACT

The article considers the stress fields of a plate subjected to bending, weakened by a doubly periodic square grid of identical circular holes and the development of an effective method for finding the optimal hole shape.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, ситовое устройство, штампованные сита, изгиб, оптимальные формы отверстий.

Keywords: stress-strain state, a screening device, stamped sieve, bend, the optimal shape of the holes.

В различных технологиях пищевых производств, где имеется потребность разделения сыпучего продукта на фракции, широко применяются сортировочные машины. Для повышения качества очистки сыпучего продукта требуется правильный подбор решет с оптимальными формами отверстий.

Целью статьи является разработка расчетной модели и методики исследования штампованных сит и определения наилучших форм отверстий сита не подверженных хрупкому разрушению при их нагружении.

Научная новизна работы заключается в разработке эффективного метода исследования поля напряжений пластины ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круговых отверстий и разработке эффективного метода нахождения оптимального контура отверстия.

Постановка задачи. Штампованные сита сортировочных машин представляют собой густо перфорированные пластины с круглыми или продолговатыми отверстиями. Из принятой [1] расчетной схемы привода ситового корпуса (рис.1) видно, что пластина находится под действием равномерно распределенной нагрузки q₀+q₁ и равномерно распределенного импульса q_сум, частота изменения направления которого равна частоте эксцентрикового привода. Интенсивность q_сум складывается из импульсов от сил инерции массы пластины и сыпучего материала [3].

                                     (1)

где – интенсивность нагрузки сыпучего материала; G – вес сыпучего материала; α – угол между горизонталью и направлением колебаний; β – угол между горизонталью и плоскостью пластины; – интенсивность нагрузки от массы пластин; a,b,G₁ – длина, ширина и вес пластины; a_H – ускорение сыпучего материала, нормальное к плоскости пластины [1]; g – ускорение силы тяжести; η – коэффициент живого сечения; N – число оборотов двигателя в минуту; R – радиус кривошипа.

Из анализа расчетной схемы видно, что ситовое устройство представляет собой упругую систему, подвергаемую изгибу поперечной равномерно распределенной нагрузкой q, равной q=q₀+q₁+q_сум .

Рисунок 1. Расчетная схема привода ситового устройства.

Поэтому важное значение имеет рассмотрение статического случая.

Пусть требуется определить форму отверстий для штампованных сит, предназначенных для сепарирования зернопродуктов, который не имеет каких-либо предпочтительных для хрупкого разрушения или остаточной деформации участков.

На основании сказанного выше о ситовом устройстве зерноочистительных машин приходим к следующей задаче об определении формы отверстия перфорированной пластины, опертой или защемленной по краям отверстий, изгибаемой равномерной поперечной нагрузкой q.

Пусть имеется упругая изотропная пластина, ослабленная двоякопериодической системой одинаковых отверстий, ограниченных произвольным гладким криволинейным контуром (рис.2).

Выберем начало системы декартовых координат на плоскости в центре тяжести произвольно выбранного отверстия, именуемого в дальнейшем основным. Границу этого отверстия обозначим через L₀₀. Центры криволинейных отверстий L_mn составляют двояко-периодическую систему и находятся в точках P_mn

P_mn = mw₁ + nw₂          (m, n = 0, ±1, ±2, …)

w₁ = 2;       w₂ = 2lexp(ia);    (l > 0;I_m w₂ > 0 )

Пластина изгибается равномерно распределенной по поверхности пластины поперечной нагрузкой с постоянной интенсивностью q, когда контуры отверстий жестко заделаны.

Для простоты, будем считать, что контуры имеют две оси симметрии.

Для рассматриваемой задачи на известных контурах отверстий L_mn (m, n = 0, ±1, ±2, …) должны выполняться граничные условия

,                 (2)

Рисунок 2. Перфорированный элемент сита.

Общее решение неоднородного бигармонического уравнения при условии  q=const можно представить в виде  [2, с.93].

На основании граничных условий на краях отверстий (2) имеем

                                                              (3)

Дифференцируя (3) по направлению S, касательному к контуру L_mn (m, n = 0, ±1, ±2, …) находим

                                            (4)

Граничное условие для задачи теории изгиба пластин

                  (5)

Решение краевой задачи. Решения задачи рассмотрим для квадратной сетки отверстий.

В этом случае w₁ = 2;  w₂ = 2i

; ;    ;    ;                                                (6)

;   ;   ;    ;   .

Применяя метод степенных рядов к граничному условию (5) получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных a_4к,b_4к+2, A_4k .

Ниже, из-за большой громоздкости, приводятся уравнения во втором приближении

                      (7)

;

;

;

;

Система уравнений не замкнута. Для построения недостающих уравнений определяем изгибающие моменты M_ρ и M_θ  на контуре отверстия во втором приближении:

,                                 (8)    

.

Для снижения концентрации напряжений, т.е. оптимального проектирование профиля отверстия сита осуществляем путем минимизации следующего критерия

                                                                     (9)

Здесь взято M_ρ , так как M_ρ> M_θ ; M_* – оптимальное значение изгибающего момента на контуре отверстия, подлежит определению.

Представляет собой функцию, зависящую от управляющих переменных A₄ , A₈ (второе приближение), M_*, а также коэффициентов a₄, a₈ . Учитывая, что функция U линейно зависит от коэффициентов a₄ и a₈  , функцию U, согласно методу наименьших квадратов, будем минимизировать по параметрам M_*, a₄ и a₈.

Используя необходимое условие экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения величин M_*, a₄ и a₈:

;      ;                                              (10)

Система (10) упрощается, так как функция  M_ρ(θ,α₄,α₈) линейна относительно параметров α₄, α₈ .

Изгибающий момент M_ρ(θ,α₆,α₁₂)  можно представить в следующем виде:

                                                         (11)

                                  (12)

Учитывая соотношения (11) и (12), получаем линейную систему относительно неизвестных M_*, α₆ и α₁₂, Решая которую находим

 ;                                               (13)

                             ;      .

После определения M_*, α₄ и α₈ можно приступить к определению неизвестных A₄ , A₈ , b₂ , b₆ , b₁₀   из системы пяти нелинейных уравнений (7). Полученная нелинейная система в каждом приближении решалась численно методом Ньютона-Рафсона.

Результаты расчетов во втором приближении даны в таблице 1.

Таблица 1.

 Значения коэффициентов во втором приближении для квадратной сетки отверстий.

Полученные результаты позволяют при проектировании деталей ситовых изделий в виде перфорированных пластин (барабанов), за счет выбора оптимальной формы отверстия повысить прочность, надежность и экономичность этих изделий. На рисунке 3 показано изменение искомого контура отверстия по мере увеличения параметра l. Найденное уравнение оптимальной формы отверстия имеет вид:

где  ;

       ;

       .

Рисунок 3. Изменение искомого контура отверстия по мере увеличения параметра l для квадратной сетки отверстий.

Список литературы:

1. Гортинский В.В. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях.– М.: Колос, 1973. – 295 с.
2. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. – М.: Наука, 1970, –556 с.
3. Комиссаров С.Н. Динамическая прочность гибких густо перфорированных прямоугольных пластин ситовых устройств. // Изв. вузов. Пищевая технология, 1984, №5, с. 97–103.