ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭЛЛИПСОИД ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

DIELECTRIC ELLIPSOID IN THE EXTERNAL ELECTRIC FIELD

Gennady Gaidukov

doctor of phys.-math. Science, professor of the Department of General Physics, National Research University of Electronic Technology,

Russia, Moscow

Igor Gorbatyy

doctor of phys.-math. Science, professor of the Department of General Physics, National Research University of Electronic Technology,

Russia, Moscow

Azad Fattahdinov

сandidate of phys.-math. Science, assistant professor of the Department of General Physics, National Research University of Electronic Technology,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

Обсуждается лекционная демонстрация по физике: ориентация диэлектрического эллипсоида в электростатическом поле. В рамках упрощенной модели получено выражение для момента сил, действующих на эллипсоид в однородном электростатическом поле в зависимости от угла между вектором напряженности поля и большой осью эллипсоида, из которого следует качественная интерпретация физической демонстрации.

ABSTRACT

A lecture demonstration on physics is discussed: the orientation of a dielectric ellipsoid in an electrostatic field. Within the framework of the simplified model, an expression is obtained for the moment of forces acting on an ellipsoid in a homogeneous electrostatic field as a function of the angle between the field strength vector and the large axis of the ellipsoid, from which a qualitative interpretation of the physical demonstration follows.

Ключевые слова: электростатика, поляризация, дипольный момент, физическая демонстрация, диэлектрический эллипсоид.

Keywords: Electrostatics, polarization, dipole moment, physical demonstration, dielectric ellipsoid.

В известной лекционной демонстрации [2] диэлектрический эллипсоид, подвешенный на нити между пластинами плоского конденсатора, при зарядке конденсатора от электрофорной машины постепенно поворачивается вокруг оси подвеса так, что его большая ось стремится занять положение, перпендикулярное обкладкам (рис. 1). В пособии по лекционным демонстрациям В.И. Ивероновой [2] такое поведение диэлектрического эллипсоида трактуется с позиции действия сил, втягивающих эллипсоид во внешнее электрическое поле.

Рисунок 1. Схема демонстрации (вид сверху): при зарядке конденсатора эллипсоид поворачивается так, что его большая ось стремится занять положение, перпендикулярное обкладкам

Однако эффект поворота диэлектрического эллипсоида проявляется и в однородном электрическом поле, когда результирующая сила, действующая на эллипсоид, равна нулю. Попробуем объяснить эффект поворота эллипсоида в этом случае.

Рисунок 2. Проводник в однородном электрическом поле

Сначала рассмотрим поведение проводящего тела, представляющего собой четыре одинаковых металлических шара, соединенных, как показано на рис. 2, двумя взаимно перпендикулярными металлическими стержнями. Длина одного стержня 2a, другого 2b, причем  . Радиус каждого шара предполагается малым по сравнению с a и b. Рассматриваемая система помещена в однородное электрическое поле, вектор  которого лежит в той же плоскости, что и стержни и составляет угол q с более длинным стержнем. Наведенные на шарах заряды Q и q (см. рис. 2) найдем из условия эквипотенциальности проводника:

,                     .

Затем вычислим суммарный момент кулоновских сил, действующих на проводник

.

(ось q, на которую спроектирован вектор , перпендикулярна плоскости чертежа и направлена «от нас»). Таким образом, рассматриваемое проводящее тело   ориентируется в однородном электрическом поле, так, что его «большая ось симметрии» устанавливается параллельно вектору .

Рассмотрим теперь тело из однородного диэлектрика. Момент действующих на него электрических сил со стороны однородного поля  равен , где  - дипольный момент эллипсоида. Следовательно, для возникновения вращательного момента должна иметь место разориентация векторов  и . Поэтому сосредоточим внимание на вопросе: “Почему диэлектрический эллипсоид в однородном электрическом поле  поляризуется так, что вектор  оказывается, вообще говоря, не параллельным вектору?”.

Рисунок 3. Диэлектрический стержень в электрическом поле

Для понимания этой особенности поляризации диэлектрического эллипсоида рассмотрим два частных случая.

1.     Однородный длинный диэлектрический стержень расположен во внешнем электрическом поле , направленным параллельно оси стержня (рис. 3). В этом случае электрическое поле  внутри стержня однородно за исключением малых областей вблизи  торцов. Его можно найти из условия непрерывности тангенциальных составляющих поля на границе раздела двух сред: . Тогда для вектора поляризации и дипольного момента стержня можно записать

               ,

где , e - диэлектрическая проницаемость, V –объем стержня. Таким образом, в данном случае , а роль “восприимчивости” играет величина .

2. Однородный тонкий диэлектрический диск расположен во внешнем электрическом поле , направленным параллельно оси диска (рис. 4). В этом случае электрические поля внутри диска и вдали от него по-прежнему сонаправлены, но , как следует из непрерывности нормальной составляющей вектора смещения на верхней (или нижней) поверхности диска. Поэтому для диска дипольный момент равен:

т.е., как и для стержня, , но величина “восприимчивости”  в e раз меньше, чем для стержня.

Рисунок 4. Диэлектрический диск в электрическом поле

Рассмотрим теперь поляризацию однородного диэлектрического эллипсоида во внешнем поле .  Введём две оси (рис. 5), одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна большой оси эллипсоида. Поляризация в поле, направленном вдоль большой оси, будет качественно соответствовать случаю 1 и определяется формулой

,

где  - безразмерный коэффициент, учитывающий отличие эллипсоида от цилиндрического стержня (, если  длины полуосей существенно различны: ). Поляризация в поле , направленном перпендикулярно большой оси эллипсоида, качественно соответствует случаю 2 и, следовательно

Рисунок 5. Диэлектрический эллипсоид в электрическом поле

где  безразмерный коэффициент, учитывающий отличие эллипсоида от диска ( при ). При произвольной ориентации эллипсоида его дипольный момент можно выразить формулой

,

из которой следует, что при  вектор  не параллелен вектору . Выражение для энергии эллипсоида в этом случае представим в виде:

,

где q - угол между большой осью эллипсоида и вектором .  График зависимости  от q приведен на рис. 6. Видно, что энергия эллипсоида во внешнем поле , как функция угла q, характеризуется двумя экстремумами: соответствует минимуму энергии , а угол  соответствует максимуму  

Рисунок 6. Зависимость потенциальной энергии   от угла q.

Такой вид зависимости  и объясняет демонстрационный эксперимент. Действительно, если первоначально расположить эллипсоид так, чтобы его большая ось была параллельна пластинам  , то он оказывается в положении неустойчивого равновесия, поэтому, достаточно малейшего неконтролируемого воздействия, чтобы он под действием момента сил

начал поворачиваться к положению устойчивого равновесия .

В заключение отметим, что наш анализ основан на рассмотрении специальных случаев в пунктах 1 и 2, согласно которым . Точный расчёт величин  и  требует специальных математических методов и выходит за рамки общего курса физики. Поэтому приведём лишь ссылку на книгу [1], где приведены точные соотношения для  и , выраженные через отношение осей , не приводя сами соотношения ввиду их громоздкости. Подчеркнём, что наше предположение о том, что при  подтверждается точным расчётом.

Список литературы:

1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике, – М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002. – 640 с.
2. Грабовский М.А., Млодзеевский А.В., Телеснин Р.В. и др. Лекционные демонстрации по физике. Под ред. Ивероновой В.И. – М., Наука, 1972. – 640 с.