ГОМОМОРФИЗМЫ В ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

HOMOMORPHISMS IN THE THEORY OF FUZZY SETS

Oksana Melikhova

candidate of Science, assistant professor, assistant professor of the Southern Federal University,

Russia, Taganrog

АННОТАЦИЯ

При моделировании различных систем исходят из того, что идеальная модель должна быть изоморфным образом отображаемого реального объекта. Поскольку “идеал” часто трудно достижим (если достижим вообще), то приходится использовать гомоморфные модели объектов. В работе рассмотрены виды нечетких гомоморфизмов нечетких графов, нечетких отношений, основанные на понятии нечеткого гомоморфного образа. Рассматриваются вопросы морфизмов на отображениях множеств, морфизмы бинарных отношений, нечеткие гомоморфизмы нечетких отношений.

ABSTRACT

Under simulation of the different systems come from this that perfect model have to be isomorphic image of represented real object. As far as “ideal” often is difficulty attained (if it is attained generally), then it is necessary to use the homomorphic models of the objects. Aspects of fuzzy homomorphisms of fuzzy graphs, fuzzy relations based on the notion of fuzzy homomorphic image are considered in the paper. The questions of morphisms on the sets maps, morphisms of binary relations, fuzzy homomorphisms of fuzzy relations are examined.

Ключевые слова: математическая логика; искусственный интеллект; теория нечетких множеств; нечеткие гомоморфизмы; нечеткие отношения; нечеткие графы; нечеткие отображения.

Keywords: mathematical logic; artificial intellect; fuzzy sets theory; fuzzy homomorphisms; fuzzy relations; fuzzy graphs; fuzzy maps.

Введение. Процесс выделения и систематизации абстрактных понятий, отражающих атрибуты внешнего мира, можно интерпретировать как некоторое гомоморфное преобразование, а процесс формализации концептуальной схемы, представленной в виде научной теории – как изоморфное преобразование. Любой гомоморфизм означает объединение совокупностей объектов в классы эквивалентности, образуя абстрактные понятия. В этом состоит теоретико-познавательная сущность теорем о гомоморфизмах, утверждающих, что единственным объективным источником описания реальности служит сама реальность. Понятие гомоморфизма допускает ряд естественных обобщений, представляющих интерес ввиду разнообразия и гибкости их логико-методологических интерпретаций. Использование понятий нечеткой математики приводит к более широкому классу морфизмов – к нечетким гомоморфизмам, используемым при моделировании систем искусственного интеллекта.

Нечеткие гомоморфизмы нечетких отношений. Пусть имеется нечеткое соответствие , которое представляет собой нечеткое отображение между произвольными (непустыми) множествами X и Y, и на области отправления X этого соответствия заданы два или более нечетких бинарных или многоарных отношения (нечетких графов или гиперграфов), над которыми, в свою очередь, выполняются теоретико-множественные или алгебраические операции [1,3]. Если с точностью до нечеткого равенства графов сохраняются подобные преобразования над нечеткими образами этих графов на области прибытия Y соответствия , то это сохранение свойств преобразования графов и их образов путем перехода от одного множества к другому в общем случае называется нечетким морфизмом. В зависимости от свойств, которыми обладает нечеткое отображение, нечеткий морфизм приобретает формы нечеткого гомоморфизма, нечеткого мономорфизма, нечеткого эпиморфизма или нечеткого изоморфизма.

Перед тем как дать более точное определение нечеткого гомоморфизма нечетких отношений, рассмотрим понятие нечеткого образа  нечеткого отношения  при нечетком соответствии . Пусть задано нечеткое соответствие , которое является нечетким отображением между произвольными множествами X и Y. Пусть на области отправления X соответствия  также задано нечеткое отношение . Если для любых элементов , которые находятся в отношении , выполняется соотношение

,                                            (1)

где знак является операцией нечеткой эквивалентности, а  представляют собой нечеткие образы элементов  при нечетком соответствии , то отношение  называется нечетким образом  нечеткого отношения  при нечетком отображении .

Для определения нечеткого гомоморфизма нечетких отношений при нечетком отображении необходимо уметь формально находить нечеткий образ  нечеткого отношения , который, в свою очередь, основан на определении нечеткого образа нечеткой дуги отношения .

Здесь для краткости обозначим нечеткую дугу  из нечеткого графика  нечеткого отношения  в виде .

Нечетким образом  нечеткой дуги  отношения  на множестве X назовем множество нечетких дуг  нечеткого отношения  на множестве Y, которое определяется следующим выражением:

                                 (2)

где

.

Содержательно формула (2) означает, что если находим нечеткий образ только одной нечеткой дуги , то эта дуга отображается относительно нечеткого соответствия  отдельно для вершины , которая является началом дуги, и для вершины , которая служит концом дуги [2,3]. В множестве Y находим столько нечетких образов , сколько имеется элементов в декартовом произведении нечетких образов , поэтому в формуле (2) имеется знак объединения, а значение функции принадлежности  получаемого образа дуги  нечеткому графику  нечеткого отношения  определяется как минимум из двух выражений  и  соответственно для начального и конечного элементов дуги, порождая один из образов , из множества  при соответствии .

В случае, когда находится нечеткий образ  нечеткой петли , формула (2) может быть записана в более простом виде:

                     (3)

где ,

а  представляет собой диагональ декартова произведения .

Теперь можно записать выражение для нахождения нечеткого образа  нечеткого отношения , заданного на множестве X при нечетком отображении . Оно представляет собой объединение нечетких образов всех дуг и петель нечеткого графика  нечеткого отношения  и имеет следующий вид:

.                                           (4)

Таким образом, если  является нечетким отображением (точнее его график  есть нечеткое отображение) между множествами X и Y и  есть произвольное нечеткое отношение на множестве X, то нечеткое отношение  в множестве Y, полученное с помощью выражений (2) – (4) и удовлетворяющее соотношению (1), называется нечетким гомоморфным образом отношения  при нечетком отображении . Если  - нечеткое инъективное отображение, то нечеткое отношение  называется нечетким инъективным гомоморфным (или мономорфным) образом отношения  при отображении . Если  есть нечеткое сюръективное отображение, то  называется нечетким сюръективным гомоморфным (или эпиморфным) образом отношения . В случае, когда  является нечетким инъективным и нечетким сюръективным отображением между X и Y, то отношение  называется нечетким биективным гомоморфным (или изоморфным) образом отношения  при отображении .

Определим теперь нечеткий гомоморфизм нечетких отношений на нечетком отображении [4,6]. Пусть  есть нечеткое отображение между множествами X и Y. Пусть  и  суть произвольные нечеткие отношения на множестве X, а  и  суть их нечеткие образы в множестве Y при отображении . Если выполняется следующее соотношение:

                                                 (5)

где  есть нечеткое отношение на X, которое представляет собой результат применения некоторой теоретико-множественной или алгебраической операции  (например, объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, декартово произведение) к отношениям  и ,  есть нечеткий образ в множестве Y нечеткого отношения  при отображении , а знак  является нечетким равенством отношений, то нечеткое отображение  называется нечетким гомоморфизмом нечетких отношений по операции , а  называется нечетким гомоморфным образом отношения  в множестве Y. Если  есть нечеткое инъективное отображение между X и Y и выполняется (5), то  называется нечетким инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом нечетких отношений по операции , а  есть нечеткий мономорфный образ отношения  в множестве Y. Если  есть нечеткое сюръективное отображение и выполняется (5), то  называется нечетким сюръективным гомоморфизмом или эпиморфизмом нечетких отношений по операции , а  есть нечеткий эпиморфный образ отношения  на множестве Y. Наконец, если  является нечетким инъективным и сюръективным отображением между X и Y и выполняется (5), то  называется нечетким биективным гомоморфизмом или изоморфизмом нечетких отношений по операции , а  есть нечеткий изоморфный образ отношения  на множестве Y.

Нахождение нечеткого гомоморфного образа и установление типа гомоморфизма нечетких графов. Рассмотрим пример нахождения нечеткого гомоморфного образа нечеткого графа и способ установления типа нечеткого гомоморфизма нечетких графов по теоретико-множественным операциям объединения и пересечения нечетких графов [5,6].

Пусть задано нечеткое соответствие  в виде нечеткого двудольного графа:

На множестве X этого соответствия заданы нечеткие бинарные отношения  и , графики которых имеют вид:

Необходимо построить нечеткие гомоморфные образы  и  и установить является ли соответствие  нечетким гомоморфизмом по операциям объединения и пересечения нечетких графов.

Чтобы установить, является ли соответствие  нечетким отображением множества X в множество Y, необходимо найти его степень функциональности  и степень его всюду определенности :

Так как степень отображения , то есть , то получаем, что соответствие  является нечетким отображением.

Далее для идентификации типа гомоморфизма вычисляем степень инъективности  и степень сюръективности  нечеткого соответствия :

Поскольку , то  нечетко не инъективно, а так как , то  нечетко сюръективное соответствие [3,6]. Учитывая, что соответствие  является нечетким отображением и нечетко сюръективно, то  является нечетким сюръективным отображением множества X на множество Y.

Найдем теперь нечеткие эпиморфные образы  и  нечетких графов  и  на множестве Y. На основании выражений (2) и (3) найдем множества нечетких образов нечетких дуг и петель графов  и , семейства которых в соответствии с формулой (3) образуют эпиморфные образы  и  этих графов при нечетком отображении . Графы нечетких гомоморфных образов  и  запишем в виде:

.

Для установления факта, что нечеткое сюръективное отображение  является нечетким эпиморфизмом  множества X на Y по операциям объединения и пересечения, необходимо и достаточно проверить выполнение соотношения (5) для этих операций:

                                         (6)

                                         (7)

Для того, чтобы проверить правильность нечетких равенств (6) и (7) надо вычислить значения степени равенства  для выражения (6) и степени равенства  для выражения (7), в которых использованы обозначения     Степень равенства  отношений (графов)  и  вычисляется по формуле:

                          (8)

где  ˗ операция нечеткой конъюнкции, которая находится для всех пар , а  - операция нечеткой эквивалентности.

При проверке выполнения соотношений (6) и (7) имеем: .

Из этого следует, что соотношение (6) справедливо . Следовательно, нечеткое отображение  является нечетким эпиморфизмом нечетких отношений (графов) по операции объединения. Соотношение (7) не справедливо  и поэтому нечеткое отображение  не является нечетким эпиморфизмом нечетких отношений (графов) по операции пересечения.

Заключение. Применение концептуального аппарата логики, математики и кибернетики к сферам, квалифицируемым как чисто гуманитарные, давно стало реальностью. Это обстоятельство привело к необходимости обработки информации, которая не может быть выражена количественно, это семантическая, то есть смысловая, качественная информация. Модели, построенные на основе этой информации, иногда называют логико-лингвистическими. Основой этого направления моделирования является использование теории нечетких множеств. В данной работе рассмотрены основные понятия нечеткой логики: нечеткие отображения, нечеткие гомоморфизмы, способ нахождения нечеткого гомоморфного образа, определение типа нечетких гомоморфизмов. Эти понятия широко используются при моделировании систем искусственного интеллекта.

Список литературы:

1. Джонс М.Т. Программирование искусственного интеллекта в приложениях: Пер. с англ. ˗ М.: ДМК «Пресс», 2006. ˗ 312с.
2. Люгер Дж. Ф. Искусственный интеллект: стратегия и методы решения сложных проблем: Учебное пособие. Пер. с англ. ˗ М.: Вильямс, 2008. ˗ 864с.
3. Мелихова О.А. Гомоморфизмы и их обобщения при моделировании различных систем // Инновации в науке / Сб. ст. по материалам LXIII междунар. науч.-практ. конф. №11(60). Новосибирск: Изд. АНС «СибАК», 2016. ˗ С.200-207.
4. Мелихова О.А. Некоторые аспекты теории гомоморфизмов множеств // Информатика, вычислительная техника и инженерное образование [Электронный ресурс]. ˗ №2(26), 2016. ˗ Режим доступа: http://digital-mag.tti.sfedu.ru (дата обращения: 16.01.2017)
5. Мелихова О.А. Приложение матлогики к проблемам моделирования // Известия ЮФУ. Технические науки. ˗ Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2014. №7 (156). ˗ С.204-214.
6. Мелихова О.А. Методы построения интеллектуальных систем на основе нечеткой логики: Научное издание. ˗ Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2007. ˗ 92с.