МИКРОФИЛЬТРАЦИОННАЯ МЕМБРАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

FILTRATION ON MICROFILTRATION MEMBRANE: MATHEMATICAL ASPECT

Alexey Kostakov

postgraduate student, Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs,

Russia, Vladimir

Yuri Panov

doctor of Technical Sciences, head of Department Chemical Technologies Vladimir State University named after Alexander and Nikolay Stoletovs,

Russia, Vladimir

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрена проходимость частиц через фильтрующую мембранную перегородку, возможность применения математического моделирования для процессов микрофильтрации, технологические особенности, которые следует учитывать при таком моделировании.

ABSTRACT

The possibility of using mathematical modeling processes of microfiltration, technological features that should be considered in this modeling. In article described the mechanism of cross-particles through a filtration diaphragm.

Ключевые слова: изготовление мембран; микрофильтрация; уравнения гидродинамики; исследование проницаемости.

Keywords: production of membranes; microfiltration; hydrodynamic equations; study of permeability.

Мембрана - полупроницаемая перегородка, пропускающая определенные компоненты жидких или газовых смесей [1]. Мембраны должны иметь высокую удельную проницаемость и механическую прочность, химическую стойкость к действию среды разделяемой системы, высокую селективность.

Механическая прочность используемых материалов может служить критерием для классификации мембран на эластичные и с жесткой структурой, а также на пористые и непористые. Для фильтрования жидкостей используют преимущественно пористые мембраны.

По отношению к фильтруемому раствору мембраны могут быть лиофильными и лиофобными. Лиофобные мембраны при прочих равных условиях лучше проницаемы, чем лиофильные, за счет приближения эффективного радиуса пор к геометрическому [2]. Из-за смачиваемости стенок капилляра жидкостью по сечению ка­пилляра устанавливается определенный профиль скоростей потока: скорость в центре  максимальная, а у стенок — равна нулю. Таким образом, средняя скорость потока будет ниже, а эффективный радиус пор меньше геометрического. Однако проходимость частиц через лиофильную мембрану нельзя объяснить только размером пор мембраны. Здесь оказывает свое влияние связанная вода (рис. 1). Она не позволяет молекулам пройти благодаря тому, что имеет более низкую растворяющую способность, чем у обычной воды, что и обусловливает молекулярную непроходимость. Так, при радиусах пор 100-200 нм и меньше вязкость воды заметно увеличи­вается, а ее подвижность уменьшается.

Рисунок 1. Влияние связанной воды на проходимость частиц

Радиус пор r можно найти из уравнения Хагена — Пуазейля, если процесс происходит при постоянном давлении, путем измерением объема воды, прошедшей за данное время [3]:

                                                                                                   (1.1)

где Q - вытекающий поток; п - число пор на 1 см²; S - площадь поверхности мембраны, см²; P - давление; t — время; µ - вязкость текущей жидко­сти; l — длина капилляра.

Величина V=nπr² – объем пустот мембраны, поэтому уравнение (1.1) для радиуса поры (r) при ламинарном потоке примет вид:

                                                              (1.2)

Таким образом, существует несколько равнозначных способов определения радиуса пор по результатам измерений: объема пустот V, проницаемости или с использованием плотности пор n.

Скорость фильтрования прямо пропорциональна движущей силе и обратно пропорциональна сопротивлению мембраны и осадка и динамической вязкости жидкости [4]. Этот параметр зависит от следующих факторов:

а) структуры микрофильтра (толщины или длины капилляра, гладкости стенок капилляра и местных сопротивлений в виде резких сужений или расширений, формы входа, угла поворота канала и т. д.);

б) вязкости и плотности фильтруемой жидкости;

в) взаимодействия фильтруемой среды с фильтром;

г) скорости роста и структуры осадка.

Для рассмотрения задач гидродинамики через поры используют дифференциальные уравнения Навье-Стокса, полученные еще в середине XIX века. Они представляют собой дифференциальные уравнения, описывающие влияние сил давления, трения, тяжести, растяжения, действующих в жидкости, на общую скорость потока.

                                                              (1.3)

где ρ – плотность жидкости, кг/м³; µ - коэффициент динамической вязкости жидкости, Па∙с; ∂W_i – изменение скорости по координате; P - давление жидкости, Па;оператор Лапласа;

Существует несколько точных решений уравнений Навье-Стокса: одно из них – течение Пуазейля, выражаемое как  где R – радиус капилляра, r – расстояние до оси, l – длина капилляра, ∆p – разность давлений на входе и выходе поры, µ - коэффициент динамической вязкости; из которого можно вывести закон, определяющий расход жидкости в поре, называемый законом Хагена-Пуазейля:

                                                                                             (1.4)

В случае осреднения уравнений Навье-Стокса [5,6] можно получить закон Дарси, выраженный через коэффициент фильтрации и градиент напора:

                                                                                                             (1.5)

где  – коэффициент фильтрации, I – градиент напора. В случае если  фильтрация не подчиняется закону Дарси (нелинейна), то часто скорость фильтрации представляют степенной зависимостью от градиента давления. Также для описания особенностей движения жидкости Бингама-Шведова пользуются формулой Бингама, а для описания течения ньютоновской жидкости в плоском канале – формулой Буссинеска.

Приведенные выше формулы позволяют рассчитать довольно разветвленные системы, однако по мере увеличения числа составляющих этой системы, становится сложнее предсказать поведение такой системы, особенно если число исследуемых элементов стремится к бесконечности.

В последнее время чаще обращаются к двучленному закону фильтрации – закону Форхгеймера, в котором параметр β зависит от структуры пористой среды (1.6), или в виде (1.7):

                                         (1.6)

                               (1.7)

где k – коэффициент проницаемости среды, |V| - модуль вектора скорости фильтрации; с, n – константы пористой среды.

Таким образом, решением задачи по моделированию сложных гидродинамических задач может послужить новый взгляд на макроскопические параметры фильтрации, (вязкость жидкости, концентрацию вещества, скорость фильтрации, время фильтрования, давление фильтрования и гидравлическое сопротивление осадка) позволяющий учитывать только те параметры, которые оказывают заметное влияние на систему на микроуровне. Таким решением может стать объединение нескольких законов в систему дифференциальных уравнений.

Список литературы:

1. Дытнерский Ю. И. Процессы и аппараты химической технологии. Ч. 2. / Ю. И. Дытнерский. – М.: Химия, 1995. – 366 с.
2. Потапов В. В. Извлечение коллоидного кремнезема мембранными методами / В. В. Потапов, В. Н. Зеленков, В. А. Горбач, В. Н. Кашпура, В. Н. Мин. – М.: РАЕН, 2006. – 228 с.
3.  Жужиков В. А. Теория и практика разделения суспензий / В. А. Жужиков. – М.: Химия, 1971. – 440 с.
4.  Брок Т. Мембранная фильтрация / Т. Брок. – М.: Мир, 1987. – 464 с.
5.  Леонтьев Н. Е. Основы теории фильтрации / Н. Е. Леонтьев. – М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2009. – 88 с.
6.  Дмитриев Н. М., Кадет В. В. Лекции по подземной гидромеханике / Н. М. Дмитриев, В. В. Кадет. – М. РГУ нефти и газа им. Губкина, 2002. – 139 с.