АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА СУДНА ПО СИСТЕМАМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИЗОЛИНИЙ МЕТОДОМ ХОРД

ANALYTICAL DETERMINATION OF A VESSEL’S POSITION USING SYSTEMS OF ELLIPTICAL ISOLINES BY THE CHORD METHOD

Zolotukhin Igor Sergeevich

postgraduate Student, Admiral S.O. Makarov State University of Maritime and Inland Shipping

Russia, Saint Petersburg

УДК 656.61.052.4.

Аннотация

В настоящей работе исследуется подход определения координат положения судна, отличающийся от традиционно используемого в судовождении, основанного на замене изолиний навигационных параметров линиями положения. По результатам выполненного исследования предлагается решать систему нелинейных уравнений изолиний методом хорд на примере косвенных и/или прямых измерений суммы дистанций. Полученные результаты и предложенные формулы могут стать основой для проведения дальнейших исследований и практического применения в навигационных целях.

Abstract

This article investigates an approach to determining the position coordinates of a vessel that differs from the traditional approach used in navigation, which is based on replacing isolines of navigation parameters with lines of position. Based on the results of the study, it is proposed to solve a system of nonlinear isoline equations using the chord method, taking indirect and/or direct measurements of the sum of distances as an example. The results obtained and the proposed formulas may provide a basis for further research and practical applications in navigation.

Ключевые слова: навигационный параметр; изолиния; горизонтальный угол; метод хорд; обсервованное место судна.

Keywords: navigation parameter; isoline; horizontal angle; chord method; observed vessel position.

Введение

Современное судовождение характеризуется широким применением автоматизированных и автономных навигационных систем, что повышает требования к точности определения обсервованного места судна (ОМС). В навигационной практике координаты судна могут определяться по изолиниям различных навигационных параметров, получаемым при измерениях расстояний, пеленгов, горизонтальных углов и их комбинаций [1; 2].

Традиционный аналитический подход основан на обобщённом методе линий положения В. В. Каврайского, при котором нелинейные уравнения изолиний заменяются уравнениями соответствующих прямых линий положения [3]. Такой переход существенно упрощает расчёты, однако связан с методической погрешностью, поскольку реальная изолиния, имеющая криволинейную форму, в окрестности счислимой точки представляется касательной прямой. В зависимости от геометрии расположения навигационных ориентиров и величины измерительных погрешностей указанная замена может оказывать заметное влияние на результат определения ОМС [4; 5].

Альтернативный подход был предложен для решения систем уравнений изостадий. Он основан на построении прямых по точкам пересечения соответствующих пар изолиний. Такие прямые интерпретируются как хорды и, в отличие от касательных линий положения, сходятся непосредственно в обсервованной точке, что позволяет исключить методическую погрешность линеаризации и отказаться от дополнительных итераций [1; 6].

При этом данный подход представляет интерес и для других типов навигационных изолиний. В частности, при определении места судна по суммам расстояний до пар навигационных ориентиров возникают эллиптические изолинии, геометрические свойства которых позволяют рассматривать задачу как систему нелинейных уравнений [6]. Поэтому развитие метода хорд применительно к эллиптическим изолиниям является логичным продолжением исследований, посвящённых решению навигационных задач по изолиниям.

Целью настоящей работы является развитие метода хорд для решения системы уравнений эллиптических изолиний и получение аналитического способа определения координат обсервованного места судна по измерениям суммы расстояний до пар навигационных ориентиров.

Геометрические особенности эллиптических навигационных изолиний

Одним из навигационных параметров, позволяющих определить положение судна относительно пары ориентиров, является сумма расстояний до них. При постоянном значении этой суммы множество возможных положений судна образует эллиптическую изолинию. Таким образом, два навигационных ориентира выступают в качестве фокусов эллипса, а измеряемая сумма расстояний определяет его геометрические параметры [6; 4].

На рис. 1 показана геометрическая интерпретация эллиптической изолинии, используемой при определении ОМС.

Введём обозначения: M_i и M_j – навигационные ориентиры, D_i и D_j – расстояния от судна до соответствующих ориентиров, ∑D_ij – измеренная сумма этих расстояний. Для любой точки эллиптической изолинии выполняется условие

Именно постоянство величины ∑D_ij определяет рассматриваемую изолинию как эллипс. При этом фактическое положение судна соответствует одной из точек пересечения двух эллиптических изолиний, построенных по различным парам навигационных ориентиров [2; 6].

В отличие от окружности, для которой расстояние до одного ориентира непосредственно задаёт радиус изолинии, в рассматриваемом случае положение точки определяется одновременно двумя дистанциями. Поэтому при аналитическом решении необходимо учитывать их взаимосвязь. Такая особенность приводит к нелинейной системе уравнений, непосредственное решение которой может быть достаточно громоздким [6].

Таким образом, геометрическая особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что исходные линии положения имеют криволинейную, эллиптическую форму, однако их совместное использование может быть сведено к системе линейных уравнений. Это и составляет основу применения метода хорд для определения координат обсервованного места судна [1; 6].

Метод хорд для системы уравнений эллиптических изолиний

Основная идея метода заключается в замене традиционных касательных линий положения хордами, проходящими через точки пересечения соответствующих пар изолиний. В отличие от касательной, положение которой определяется в некоторой выбранной точке изолинии, хорда учитывает две точки её пересечения с другими изолиниями. При отсутствии погрешностей измерений пересечение полученных хорд соответствует обсервованному месту судна [1; 6].

Окончательное уравнение для случая суммы дистанций имеет следующий вид:

(2)

Таким образом, преобразование исходных уравнений эллиптических изолиний позволяет получить линейное уравнение относительно координат x и y. Для определения ОМС используются две и более такие хорды, после чего координаты судна находятся как точка их пересечения. Такой подход позволяет избежать дополнительной итерационной линеаризации, характерной для метода касательных линий положения [1; 6].

Особенности практического применения метода и оценка точности

Практическая точность метода хорд определяется прежде всего погрешностями измерения дистанций и геометрией расположения навигационных ориентиров. При выборе пары ориентиров необходимо учитывать взаимное расположение их баз и пересекающихся эллиптических изолиний, поскольку от этого зависит устойчивость определения точки их пересечения [2; 4].

Особое значение для эллиптических изолиний имеет величина градиента суммы дистанций. При неблагоприятной геометрии расположения судна и ориентиров модуль градиента уменьшается, вследствие чего одна и та же погрешность измерения может приводить к большему смещению соответствующей изолинии. Поэтому для повышения точности желательно выбирать ориентиры таким образом, чтобы пересекающиеся изолинии имели достаточно благоприятную геометрию и не образовывали малых углов пересечения [6].

При наличии случайных погрешностей измерений повышение надёжности результата может быть обеспечено использованием нескольких изолиний и последующей обработкой полученной избыточной системы методом наименьших квадратов [2; 6]. Систематические погрешности требуют отдельной оценки и компенсации, поскольку они могут приводить к устойчивому смещению определяемого ОМС [6].

Таким образом, наиболее устойчивый результат метод хорд обеспечивает при точных измерениях, благоприятном расположении ориентиров и достаточно больших углах пересечения соответствующих изолиний.

Результаты и выводы

В работе рассмотрен метод хорд для решения системы уравнений эллиптических навигационных изолиний, формируемых по измеренным суммам расстояний до пар навигационных ориентиров. Показано, что исходная нелинейная система может быть преобразована к линейным уравнениям относительно координат обсервованного места судна. Основой преобразования является исключение общей неизвестной дистанции и построение хорд по точкам пересечения соответствующих изолиний.

В отличие от традиционной линеаризации по касательным, метод хорд позволяет непосредственно учитывать геометрическую связь между пересекающимися изолиниями и не требует дополнительных итераций для уточнения координат [1; 6]. При этом точность результата зависит от погрешностей измерения дистанций и взаимной геометрии навигационных ориентиров. Для эллиптических изолиний особенно важно учитывать изменение модуля градиента суммы дистанций при изменении положения судна относительно ориентиров [6].

Полученные зависимости могут использоваться при совместной обработке нескольких эллиптических изолиний, в том числе с применением метода наименьших квадратов. Это создаёт возможность дальнейшего развития метода для автоматизированных навигационных комплексов и систем управления автономным судном [1; 2].

Таким образом, метод хорд представляет собой перспективный способ решения нелинейных систем эллиптических навигационных изолиний, позволяющий сохранить геометрическую точность исходных изолиний и получить координаты ОМС без последовательной итерационной линеаризации.

Список литературы

1. Васьков А.С. Автономное судовождение по изолиниям навигационных параметров / А.С. Васьков, А.А. Мироненко // XIV Всероссийское совещание по проблемам управления. – 2024. – С. 1493⁠–⁠1497.

2. Васьков А.С. Комбинации изолиний пеленгов и дистанций пары навигационных ориентиров для определения обсервованного места судна / А.С. Васьков, А.А. Мироненко // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. – 2023. – № 6. – С. 941⁠–⁠950.

3. Каврайский, В.В. Избранные труды. В 2 т. Т. 2. Математическая картография. Вып. 3. Перспективные, круговые и другие важнейшие проекции. Навигационные задачи / В.В. Каврайский; под ред. А.П. Ющенко. – Москва: Управление начальника гидрографической службы ВМФ, 1960. – 351 с.

4. Кожухов В.П. Математические основы судовождения: монография / В.П. Кожухов, А.М. Жухлин, В.Т. Кондрашихин. – М.: Транспорт, 1993. – 200 с.

5. Кожухов В.П. Математические основы судовождения: учебное пособие для вузов / В.П. Кожухов, В.В. Григорьев, С.М. Лукин. – М.: Транспорт, 1987. – 208 с.

6. Васьков А.С. Метод решения уравнений изостадий / А.С. Васьков, А.А. Мироненко // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова. – 2024. – Т. 16, № 2. – С. 212⁠–⁠223.

7. Золотухин И.С. Аналитическое определение места судна изолиниями изогон на основе измерений горизонтальных углов / И.С. Золотухин // Транспортное дело России. – 2024. – № 8. – С. 77⁠–⁠81.