ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ОЦЕНКЕ РИСКОВ КАТАСТРОФИЧЕСКИХ СОБЫТИЙ И МАКСИМАЛЬНЫХ ПОТЕРЬ В СТРАХОВАНИИ

​EXTREME VALUE THEORY IN ASSESSING RISKS OF CATASTROPHIC EVENTS AND MAXIMUM LOSSES IN INSURANCE

Kravtsova Anna Bagratovna

student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Miron Rodion VIktorovich

student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Lyudmila Petrovna Fedosyuk

Senior Lecturer, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается применение теории экстремальных значений (EVT) для оценки рисков катастрофических событий и максимальных потерь в страховании. Анализируются распределения Гумбеля, Фреше и Вейбулла как основа моделирования хвостов распределений. Показано, что EVT позволяет точнее прогнозировать редкие высокозатратные события, рассчитывать страховые резервы и минимизировать риск дефицита капитала. Приведены примеры оценки 100-летних паводков и крупных убытков. EVT демонстрирует переход от экспертных оценок к количественному управлению экстремальными рисками.

ABSTRACT

This paper examines the use of extreme value theory (EVT) in assessing catastrophic risks and maximum insurance losses. The Gumbel, Fréchet, and Weibull distributions are analyzed as models for tail behavior. EVT enables more accurate prediction of rare high-cost events, calculation of insurance reserves, and reduction of capital shortfall risk. Examples include 100-year flood estimation and large loss modeling. EVT supports a shift from expert judgment to quantitative risk management.

Ключевые слова: теория экстремальных значений, распределение Гумбеля, распределение Фреше, распределение Вейбулла, катастрофические риски, страховые потери, оценка рисков, хвостовые события, теория вероятностей.

Keywords: extreme value theory, Gumbel distribution, Fréchet distribution, Weibull distribution, catastrophic risks, insurance losses, risk assessment, tail events, probability theory.

Современные задачи в области страхования, климатологии и финансов требуют точной оценки вероятности и последствий редких, но разрушительных событий: наводнений, землетрясений, крупных убытков. Традиционные статистические методы, основанные на нормальном распределении, не способны адекватно моделировать такие "хвостовые" события [5, с. 503]. Для этого используется теория экстремальных значений (Extreme Value Theory, EVT) — раздел теории вероятностей, изучающий поведение максимумов случайных величин и позволяющий прогнозировать экстремальные явления [4, с. 277].

Пусть X₁₂₁₁,  X₂, … ,X₃  — независимые одинаково распределённые случайные величины, представляющие, например, ежегодные пики уровня реки или размеры страховых исков.

Обозначим

Функция распределения максимума:

где F — распределение одной наблюдаемой величины [1, с. 201].

Однако M_n растёт с увеличением n, поэтому интерес представляет асимптотическое поведение нормированного максимума:

где ,  — нормирующие последовательности.

Центральным результатом EVT является теорема Фишера–Типпетта–Гнеденко, утверждающая, что если существует нетривиальное предельное распределение, то оно принадлежит одному из трёх типов [4, с. 280]:

1. Тип Гумбеля (экспоненциальные хвосты):

2. Тип Фреше (тяжёлые хвосты,  ):

3. Тип Вейбулла (ограниченные справа, ):

Эти три типа объединяются в обобщённое распределение экстремальных значений (GEV) [2, с. 112]: 

где , а параметр формы ξ определяет тип хвоста:

• ξ=0 → Гумбель,
• ξ>0 → Фреше,
• ξ<0 → Вейбулл.

Для анализа частых превышений высокого порога u используется метод Peaks Over Threshold. Условное распределение избытка  асимптотически следует обобщённому парето-распределению (GPD) [2, с. 76]:

Этот подход эффективнее использует данные, чем анализ только годовых максимумов.

В страховании EVT применяется для оценки Value at Risk (VaR) и Conditional VaR (CVaR) на высоких уровнях доверия (например, 99% или 99.5%) [2, с. 142]. Например, если известно, что крупные убытки подчиняются GPD с параметрами ξ=0.2 , σ=5 , то можно рассчитать [2, с. 145]:

что даёт оценку максимального убытка с заданной вероятностью.

Для оценки катастрофических природных явлений, таких как наводнения, используется GEV-модель. На основе исторических данных о пиках воды за 30 лет можно подобрать параметры GEV и рассчитать уровень паводка, который ожидается один раз в 100 лет [1, с. 112]:

Например, при μ = 4.2 , σ = 0.8 , ξ = 0.15 , получаем x_0.01 ≈ 6.7 м — критический уровень для проектирования дамб [2, с. 120].

Преимущества EVT:

• Научная обоснованность (предельные теоремы) [4, с. 282],
• Возможность прогнозирования событий, которых ещё не было,
• Интеграция с риск-менеджментом (Solvency II, Basel).

Ограничения:

• Чувствительность к выбору порога и модели,
• Требуется достаточный объём данных,
• Предположение о стационарности не всегда выполняется [3, с. 95].

Тем не менее, теория экстремальных значений является мощным инструментом, позволяющим перейти от интуитивного управления рисками к количественному, математически обоснованному подходу. Она находит широкое применение в перестраховании, климатическом моделировании и финансовой регуляции. В условиях изменения климата и роста системных рисков развитие EVT остаётся одной из ключевых задач современной прикладной теории вероятностей [1, с. 205].

Список литературы:

1. Coles S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values — Springer, 2001. — 208 с.
2. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance — Springer, 1997. — 648 с.
3. Resnick S.I. Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes — Springer, 1987. — 320 с.
4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания — М.: ЛКИ, 2012. — 400 с.
5. Крамер Г. Математические методы статистики — М.: Мир, 1976. — 648 с.