СТАТИСТИКА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ: МАТЕМАТИКА "ЧЁРНЫХ ЛЕБЕДЕЙ"

EXTREME VALUE STATISTICS: THE MATHEMATICS OF BLACK SWANS

Khovanskaya Ekaterina Sergeevna

Student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Getikova Ksenia Gennadyevna

Student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Fedosyuk Lyudmila Petrovna

Senior Lecturer, Department of Economic Informatics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье анализируется роль статистики экстремальных значений (Extreme Value Theory) как математического аппарата для моделирования и оценки рисков редких, но катастрофических событий, известных как «Чёрные лебеди». Рассматриваются ключевые теоретические положения EVT, включая распределения с тяжёлыми хвостами и метод эксцессов, а также практическое применение теории в финансах, страховании и риск-менеджменте. Особое внимание уделяется методологическим ограничениям EVT и её значению для построения антихрупких систем, способных противостоять экстремальным событиям.

ABSTRACT

This article analyzes the role of extreme value theory (EVT) as a mathematical framework for modeling and assessing the risks of rare but catastrophic events known as "Black Swans." Key theoretical principles of EVT, including heavy-tailed distributions and the kurtosis method, are discussed, as well as the practical application of the theory in finance, insurance, and risk management. Particular attention is given to the methodological limitations of EVT and its implications for building antifragile systems capable of withstanding extreme events.

Ключевые слова: статистика экстремальных значений; Чёрный лебедь; тяжёлые хвосты; риск-менеджмент; антихрупкость; распределение Парето; хвостовой риск; теория экстремальных значений.

Keywords: extreme value statistics; Black Swan; heavy tails; risk management; antifragility; Pareto distribution; tail risk; extreme value theory.

Концепция «Чёрного лебедя», предложенная Нассимом Талебом, описывает события, обладающие тремя взаимосвязанными характеристиками: статистической редкостью (они находятся за пределами обычных ожиданий, поскольку ничто в прошлом не указывает на их возможность), исключительным масштабом воздействия и свойством ретроспективной объяснимости (после наступления событие кажется очевидным и предсказуемым) [1, 3]. Исторические примеры таких событий — Первая мировая война, распад СССР, появление интернета, финансовый кризис 2008 года и пандемия COVID-19 — не только кардинально меняют ход истории, но и обнажают фундаментальную слабость традиционных подходов к прогнозированию. Главная проблема, на которую указывает Талеб, заключается в повсеместном и часто некритическом использовании нормального распределения (распределения Гаусса) для моделирования рисков в экономике, финансах и социальных науках. Нормальное распределение, удобное для описания умеренных колебаний вокруг среднего значения, предполагает, что экстремальные события, отстоящие от среднего на несколько стандартных отклонений, настолько маловероятны, что ими можно пренебречь. Однако в реальном мире, управляемом «толстыми хвостами» распределений, катастрофические события случаются на порядки чаще, чем это предсказывает гауссова кривая. Это фундаментальное несоответствие между моделью и реальностью приводит к «ошибке планирования» — систематическому и опасному занижению реальных рисков, что и порождает ключевой вопрос: существует ли адекватный математический аппарат, способный формализовать анализ подобных экстремальных отклонений и дать инструменты для работы с принципиальной непредсказуемостью?

Ответом на этот методологический вызов является Статистика экстремальных значений (Extreme Value Theory, EVT) — специализированный раздел статистики, который принципиально смещает фокус анализа с поведения средних значений на изучение закономерностей экстремальных выбросов. Если классическая Центральная Предельная Теорема описывает поведение средних величин и их стремление к нормальному распределению, то EVT предлагает аналогичный мощный аппарат для анализа максимумов и минимумов, формируя теоретическую основу для работы с аномальными наблюдениями. Краеугольным камнем всей EVT служит Теорема Фишера-Типпета-Гнеденко (известная как теорема о максимумах), которая устанавливает, что при соблюдении определенных условий нормализованные максимумы большой выборки сходятся к Обобщённому распределению экстремальных значений (GEV), причем эта сходимость не зависит от исходного распределения данных — подобно тому, как выборочные средние сходятся к нормальному распределению независимо от исходного распределения. GEV унифицирует три типа предельных распределений: тип I (Гумбеля) для распределений с экспоненциально убывающими хвостами, тип II (Фреше) для распределений с «тяжёлыми хвостами» и тип III (Вейбулла) для распределений с ограниченным сверху хвостом. Именно распределения типа Фреше, характеризующиеся степенным убыванием вероятностей на хвостах, представляют наибольший интерес для анализа событий типа «Чёрного лебедя», поскольку они математически формализуют возможность возникновения катастрофических по последствиям событий с существенно более высокой вероятностью, чем это допускается в рамках нормального распределения [4].

Ключевым объектом изучения EVT являются распределения с «тяжёлыми хвостами» (Heavy-Tailed Distributions), которые принципиально отличаются от классического нормального распределения своими статистическими свойствами. Если в гауссовом распределении вероятность экстремальных событий убывает экспоненциально быстро, что практически исключает возможность значительных отклонений от среднего значения, то в «тяжёлых хвостах» эта вероятность убывает по степенному закону. Это фундаментальное различие означает, что события, находящиеся на расстоянии нескольких стандартных отклонений от среднего, в мире с «тяжёлыми хвостами» имеют на порядки более высокую вероятность реализации — именно это свойство объясняет, почему катастрофические события на финансовых рынках, в природных явлениях и социальных процессах происходят значительно чаще, чем предсказывают традиционные модели. Классическими примерами таких распределений служат распределение Парето, известное своим применением в моделировании распределения богатства и страховых убытков, и распределение Коши, демонстрирующее полное отсутствие математического ожидания. Для количественной оценки «тяжести» хвоста используется хвостовой индекс (tail index), который определяет скорость убывания вероятностей на хвостах распределения — чем меньше значение этого индекса, тем «тяжелее» хвост и выше вероятность экстремальных событий. Оценка хвостового индекса с помощью таких методов, как график Хилла или регрессионные подходы, составляет одну из центральных задач прикладной EVT. На практике для анализа экстремальных значений широко применяется метод эксцессов (Peaks Over Threshold, POT), который рассматривает все наблюдения, превышающие определенный высокий порог. Теоретической основой этого метода служит Обобщённое Парето-распределение (GPD), являющееся асимптотическим распределением для условных превышений порога — это делает метод POT особенно ценным для оценки рисков, связанных с превышением критических уровней потерь в финансах, ущерба в страховании или нагрузок в инженерных расчетах [4].

EVT находит широкое применение в областях, где экстремальные риски имеют решающее значение. В финансах и управлении рисками EVT используется для более точной оценки Value at Risk (VaR) и Expected Shortfall (ES), что позволяет проводить более реалистичные стресс-тесты для банков и инвестиционных фондов [1]. В страховании она является основой для моделирования убытков от катастрофических событий, а в инженерии — для расчета проектной нагрузки на критическую инфраструктуру, такую как дамбы и небоскрёбы [2].

Несмотря на свою мощь, EVT сталкивается с фундаментальными ограничениями. Во-первых, это проблема данных: для оценки вероятности события, случающегося раз в 1000 лет, требуются данные за тысячи лет, что на практике недостижимо. Во-вторых, проблема экстраполяции: оценка рисков для событий, более экстремальных, чем когда-либо наблюдавшиеся, сопряжена с высокой неопределённостью. Нассим Талеб критикует EVT с более философской позиции, утверждая, что она оперирует в рамках «известных неизвестных» (known unknowns), так называемых «Серых лебедей». Истинный же «Чёрный лебедь» — это «неизвестное неизвестное» (unknown unknown), событие, лежащее полностью за пределами нашей текущей модели мира, а потому непредсказуемое средствами любой математической модели [3, 4].

Вывод: статистика экстремальных значений представляет собой мощный математический аппарат, который даёт формальный язык для разговора о «Чёрных лебедях». Она не отменяет их фундаментальную непредсказуемость, но позволяет оценить уязвимость системы и строить более устойчивые и антихрупкие системы, признающие существование и мощь экстремальных событий. Её ценность заключается в смене парадигмы управления рисками: от вопроса «Какова вероятность события?» к вопросу «Если это событие произойдёт, переживём ли мы его?» [1, 3]. Главный вывод заключается в том, что в мире, управляемом «тяжёлыми хвостами», стратегия, основанная на игнорировании маловероятных событий, является стратегией самоубийства.

Список литературы:

1. Черные лебеди классического риск-менеджмента // Medium. – 2023. [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://medium.com/kyiv-school-of-economics/черные-лебеди-классического-риск-менеджмента-16798dbe83bd (дата обращения: 17.11.2025)
2. Сильные черные лебеди в области науки и технологий // МНИАП. – 2022. [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://xn--80aplem.xn--p1ai/analytics/Silnye-cernye-lebedi-v-oblasti-nauki-i-tehnologij/ (дата обращения: 17.11.2025)
3. Талеб Н.Н. «Черный лебедь» под знаком непредсказуемости // SciReg. – 2020. [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://spkurdyumov.ru/what/chernyj-lebed-pod-znakom-nepredskazuemosti-nikolas-taleb/13 (дата обращения: 17.11.2025)
4. Lana-Artifex. Заметки о «Чёрном лебеде» // LiveJournal. – 2010. [электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://lana-artifex.livejournal.com/179540.html (дата обращения: 17.11.2025)