ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ОКИСЛЕНИЯ ИОНОВ АММОНИЯ

CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODEL OF BIOLOGICAL TREATMENT

Vyacheslav Tarasov

Student, Physics and Mechanics Institute of St. Petersburg Polytechnic University Candidate of Science, Head of Information and Measuring Systems department, assistant professor, Novosibirsk State Technical University,

Russia, Saint-Petersburg

Dmitry Tarkhov

Professor of the Department of Higher Mathematics, Institute of Physics and Mathematics of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,

Russia, Saint-Petersburg

Anatoly Shatrov

Professor of the Department of Higher Mathematics, Institute of Physics and Mathematics of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University,

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Актуальность моделирования очистки сточных вод обусловлена невозможностью оперативного контроля из-за длительности проверки, сопоставимой с временем прохождения стоков через аэротенк. Предлагается использование математического моделирования биологической очистки на основе физически информированных нейронных сетей (PINN) для оперативного контроля. Решается задача поиска оптимального весового множителя модели.

ABSTRACT

The relevance of wastewater treatment modeling arises from the impossibility of operational control, as the duration of monitoring is comparable to the wastewater passage time through an aeration tank. Mathematical modeling of biological treatment using Physics-Informed Neural Networks (PINN) is proposed for operational control. The task focuses on optimizing the model’s weight multiplier.

Ключевые слова: биологическая очистка сточных вод; математическое моделирование; физически информированные нейронные сети (PINN); многокритериальная оптимизация; фронт Парето.

Keywords: biological wastewater treatment; mathematical modeling; physics-informed neural networks (PINN); multi-objective optimization; Pareto front.

Введение

Сточные воды представляют собой одну из наиболее серьёзных угроз для здоровья экосистем. Их опасность кроется не только в самом факте загрязнения, но и в специфике состава, который варьируется в зависимости от источника.

Сброс неочищенных или недостаточно очищенных сточных вод любого типа – хозяйственно-бытовых, атмосферных или промышленных – неизбежно ведёт к масштабному загрязнению водных объектов. Последствия такого воздействия ощущаются на всех уровнях – от микроорганизмов до высших животных и человека, зависящих от здоровья водных экосистем [1]. Поэтому необходимо иметь достаточно точный и в то же время экономичный способ моделирования процесса очистки данных вод.

Математическая модель

В данной работе основное внимание уделяется процессу удаления азота, что обусловлено его значительным вкладом в загрязнение водных объектов. Удаления азота осуществляется путём нитрификации и следующей за ней денитрификации. Нитрификация — процесс окисления ионов аммония   до нитратов , который осуществляется в два этапа. В данной работе мы будем рассматривать первый этап. Бактерии вида Nitrosomonas окисляют аммоний до нитрита  по схеме:

Математическая модель данной реакции:

где:  — концентрации аммония;

— концентрация бактерий вида Nitrosomonas;

— максимальная удельная скорость;

 — константа отмирания микроорганизмов Nitrosomonas;

 — константа полунасыщения;

 —  время.

Приближённое решение системы (2) с учётом данных измерений ищется в виде нейросетевого приближения [2-4]. Параметры модели , ,  определены по данным экспериментов [5].

Поиск оптимального весового множителя

Обучение нейронной сети происходит путём минимизации функции потерь:

Здесь  пробные точки, которые перегенерируются каждые 3-5 шагов обучения, ,  – данные измерений.

Чтобы подобрать оптимальный весовой коэффициент  мы применили метод многокритериальной оптимизации. Наша задача заключалась в одновременном уменьшении двух показателей:

1. Относительная среднеквадратичная ошибка удовлетворения данным

2. Среднеквадратичная ошибка удовлетворения уравнениям

Мы использовали анализ Парето. Этот подход выявил набор оптимальных точек (фронт Парето).

Рисунок 1. Фронт Парето для модели из 15 нейронов

Анализ рис. 1 показывает, что переход от точки с  к точке с  приводит к существенно лучшему удовлетворению уравнения при незначительном ухудшении удовлетворения данным, в то время как переход от точки с   к точке с   приводит к существенному ухудшению удовлетворения данным и относительно небольшому улучшению удовлетворения уравнения. Таким образом, в качестве оптимального целесообразно выбрать  .

Для многослойного решения ниже представлены графики выхода нейросети в сравнении с решением, полученным с помощью пакета Mathematica и точечными значениями. Где: Nn(t) — выход нейросети для концентрации аммония; N(t) — решение, полученное с помощью пакета Mathematica для концентрации аммония; t — время

Рисунок 2. График выхода нейросети в сравнении с решением математики и точечными значениями при весовом множителе равным 5

Таким образом, построенная нейросетевая модель достаточно точно удовлетворяет как системе (2), так и данным измерений и может служить основой для выводов о процессе нитрификации.

Список литературы:

1. Воронов Ю.В., Яковлев С.В. Водоотведение и очистка сточных вод // МГСУ издательство ассоциации строительских вузов Москва 2006. С. 3-28
2. Tarkhov, D.; Vasilyev, A. Semi-Empirical Neural Network Modeling and Digital Twins Development; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 2020
3. George Em Karniadakis, Ioannis G. Kevrekidis, Lu Lu , Paris Perdikaris, Sifan Wang and Liu Yang Physics-informed machine learning Nature Reviews Physics volume 3, pages 422–440 (2021)
4. VASILYEV, Alexander Nikolaevich; TARKHOV, Dmitry Albertovich. О новой парадигме моделирования реальных объектов. Современные информационные технологии и ИТ-образование, [S.l.], v. 20, n. 4, dec. 2024. ISSN 2411-1473. Доступно на: http://sitito.cs.msu.ru/index.php/SITITO/article/view/1171
5. Kudryavtsev, V.A., Rychkov, S.L., Shatrov, A.V. The Mathematical Modeling for Process of Biological Sewage Treatment. In IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. – Vol. 321. – Issue 1. -Code 152101. - 2019.