ПРЕИМУЩЕСТВО ФИЛЬТРА КАЛМАНА В ПОВЫШЕНИИ ТОЧНОСТИ НАВИГАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ПО СИГНАЛАМ ГНСС

​THE ADVANTAGE OF KALMAN FILTER IN INCREASING THE ACCURACY OF SPACECRAFT NAVIGATION USING GNSS SIGNALS

Ivan Sokolov

Leading engineer of the laboratory of basic software for navigation equipment for space users of the joint-stock company "Design Bureau of Navigation Systems",

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

В статье представлены результаты сравнительного анализа в условиях геостационарной орбиты внедренных в аппаратуру спутниковой навигации алгоритмов обработки навигационных данных – метода наименьших квадратов с усреднением и фильтра Калмана. Исследование проводилось с использованием имитаторов сигналов и единого сценария моделирования. Оценка эффективности выполнялась по двум критериям: точность решения на интервале и прогноза на 24 часа. Результаты показали, что фильтр Калмана обеспечивает в среднем на 25 % более высокую точность по сравнению с усреднённым методом наименьших квадратов, особенно при ограниченном числе видимых навигационных космических аппаратов.

ABSTRACT

The article presents the results of a comparative analysis of the navigation data processing algorithms implemented in satellite navigation equipment in geostationary orbit conditions – the least squares method with averaging and the Kalman filter. The research was conducted using signal simulators and a single simulation scenario. Efficiency was assessed by two criteria: the accuracy of the solution on the interval and the forecast for 24 hours. The results showed that the Kalman filter provides an average of 25 % higher accuracy compared to the averaged least squares method, especially with a limited number of visible navigation spacecraft.

Ключевые слова: фильтр Калмана, спутниковая навигация, аппаратура спутниковой навигации, математическое моделирование, геостационарная орбита.

Keywords: Kalman filter, satellite navigation, satellite navigation equipment, mathematical modeling, geostationary orbit.

Введение

В эпоху цифровой трансформации и растущей зависимости от точного позиционирования и времени, глобальные навигационные спутниковые системы (ГНСС) играют ключевую роль в обеспечении различных технологий и индустрий [1; 2]. Одним из наиболее актуальных направлений развития навигационной аппаратуры потребителей является повышение точности навигационно-временных определений (НВО). Это требует не только улучшения характеристик самих спутников, но и внедрения инновационных подходов к обработке спутниковых сигналов на уровне пользовательского оборудования.

На сегодняшний день точность НВО остается одной из главных проблем, ограничивающих возможности применения ГНСС в высокотехнологичных областях. Традиционные методы обработки спутниковых измерений сталкиваются с рядом фундаментальных трудностей, связанных с атмосферными помехами, ошибками орбитальной динамики спутников и влиянием множества внешних факторов. Проблемы подобного рода особенно актуальны при работе с космическими аппаратами (КА) на околоземных орбитах, где требования к точности и стабильности позиционирования становятся еще более строгими.

В отличие от низкой круговой орбиты (НКО), из-за особенностей излучающих антенн навигационных космических аппаратов (НКА) ГНСС и ограничения радиовидимости Землей навигация на геостационарной орбите (ГСО) [4] испытывает недостаток НКА для точного определения состояния КА. В объектах на ГСО с этой целью используют рекурсивные методы (из-за высокой предсказуемости орбиты), которые могут уточнять решение при числе НКА, недопустимых для классических схем.

Общее описание измеренных текущих (радио)навигационных параметров

Средства спутниковой навигации работают на основе измерения расстояний (дальности) и радиальных скоростей от нескольких навигационных космических аппаратов (НКА), которые известны с высокой точностью, до антенны объекта (потребителя).

Псевдорасстояние от НКА до определяющегося объекта вычисляется на основе измерения времени прохождения радиосигнала. Каждый НКА оснащен высокоточными атомными часами, синхронизированными с системным временем ГНСС. НКА передает сигнал, содержащий метку точного времени излучения. Приемник, используя собственные часы (обычно кварцевый генератор), фиксирует время приема сигнала. Разница между временем излучения и временем приема, умноженная на скорость света (c ≈ 299792458 м/с), дает псевдодальность до НКА. Радиальньная псевдоскорость объекта относительно НКА вычисляется на основе измерения частоты Доплера. Текущее КСВ-решение формируется приемником в результате обработки псевдодальностей и псевдоскоростей относительно всех видимых НКА.

В любой момент времени под вектором состояния объекта на околоземной орбите (в случае работы по одной ГНСС) будет пониматься следующая величина:

                                                     (1)

где:

 – координаты КА в момент времени t;

 – скорости КА в момент времени t;

 – поправка шкалы опорного времени КА к системной шкале ГНСС в момент времени t;

 – нормированная поправка к частоте опорного генератора КА в момент времени t.

Нестабильность кварцевых опорных генераторов приводит к ежесекундному смещению поправки показателя времени внутри прибора. Такое смещение возникает из-за частотного расстройства опорного генератора, которое определяется его нестабильностью. Например, даже небольшая погрешность в частоте может привести к накоплению ошибки в несколько микросекунд за короткий промежуток времени. Поэтому момент измерения, зафиксированный аппаратурой, отстает от действительного момента измерения времени на величину поправки. Мгновенное КСВ решение не требует высокостабильного опорного генератора, однако для алгоритмов, использующих информацию о предыдущих измерениях, необходим прогноз поправки по времени за счет частоты на текущий момент, и стабильность опорного генератора влияет на точность определения вектора состояния КА.

Для оценки точности вектора состояния существует матрица ковариации G_t, которая является квадратной и соответствует вектору состояния.

Вектор измерений , на один момент времени представляет собой упорядоченный набор псевдодальностей и псевдоскоростей для конкретной конфигурации созвездия n НКА.

С помощью модели набора измерений можно составить матрицу  частных производных от модели измерений по оцениваемым параметрам вектора состояния (1), а с помощью информации соотношения сигнала к шуму и прочих характеристик сформировать матрицу оценок ошибок измерений .

МНК с усреднением

При наличии минимум 3+(число задействованных ГНСС) измерений мгновенный метод наименьших квадратов (МНК) (информация только об измерении на один момент времени) будет давать однозначное решение. Если начальное приближение  лежит в линейной области, то достаточно однократного вычисления, если начальное приближение грубое, то необходим итеративный процесс:

                                                                     (2)

где  – матрица коэффициентов усиления,  – модель измерений.

Для МНК  имеет вид:

                                                          (3)

Обновление матрицы оценки точности для всех рекурсивных алгоритмов имеет вид (как и коррекция вектора оцениваемых параметров (2)):

                                               (4)

Полученные зашумленные решения МНК во времени можно сводить на текущий момент и проводить их обработку и фильтрацию с целью определения наиболее точного вектора состояния . Для этого необходим закон изменения вектора  – прогноз состояния объекта от некоторого начального значения к необходимому моменту времени [3]:

                                                                                                     (5)

Оценку точности  также необходимо прогнозировать для разных моментов времени. Это делается с помощью приближения и учета не всех возмущений:

                                                                                                     (6)

Наборы разного числа сведенных, с помощью прогноза, на один момент времени векторов состояния и его оценки точности сначала проходят процедуру отбраковки, а затем происходит усреднение – расчет оптимального вектора состояния таким образом, чтобы обеспечить минимальную сумму ошибок на рассматриваемом наборе. Оценка точности также усредняется с некоторыми весами. Такие наборы могут содержать разный интервал накопления данных – 2 минуты, 25 минут, 2 часа. Чем больше интервал усреднения, тем лучше сглаживаются шумовые составляющие погрешностей измерения. Однако, чем больше интервал, тем больше погрешность прогноза при сведении мгновенных решений.

Фильтр Калмана

Эффективное использование фильтра Калмана (ФК) [5] для определения состояния объекта с помощью спутниковой навигации во многом зависит от корректной модели движения объекта и учете всех значимых параметров, погрешностей.

Главное отличие от МНК заключается в формуле (3):

                                                                         (6),

а также наличию  в (6) – матрицы оценок ошибки на текущем промежутке прогноза:

                                                                                         (7)

Формулы (2), (4), (4) аналогичны усредненному МНК. Оба алгоритма реализованы в модулях АО КБ «НАВИС».

Сравнение фильтра Калмана и МНК с усреднением

Методика сравнения алгоритмов основана на моделировании на опытном образце аппаратуры спутниковой навигации (АСН) с использованием имитатора сигналов К2-100, который воспроизводит контролируемые условия (рис.1). Все алгоритмы тестируются в едином сценарии с заданными параметрами ГСО, альманахами на 20.05.2024 и систематическими ошибками псевдодальностей, что исключает влияние внешних факторов.

Рисунок 1. Стенд моделирования

Для количественной оценки используются два численных критерия:

1) модуль вектора ошибки координат объекта относительно эталонной траектории на конец указанного интервала;

2) модуль вектора ошибки координат прогноза состояния КА с конца указанного интервала на 24 часа (время одного обращения КА вокруг Земли на ГСО) относительно эталонной траектории.

Это позволяет объективно сравнивать алгоритмы в условиях, близких к реальным, выявляя их достоинства и недостатки.

Таблица 1.

Погрешности вектора ошибок координат на конец интервала навигации

В рамках критерия погрешности координат на конец интервала накопления данных (табл. 1) преимущество ФК над усредненным МНК начинает проявляться при уменьшении числа НКА (при работе по меньшему числу ГНСС). Однако необходимо учесть и скорости – это сделано в рамках критерия минимума погрешности прогноза координат на 24 часа (табл. 2), т.к. этот критерий очень чувствителен к погрешностям скоростей.

Таблица 2.

Погрешности прогноза на 24 часа с конца указанного интервала навигации

Вывод

Анализ показал, что ФК в среднем на 25 % точнее усредненного МНК за счет использования ФК измерительной информации, соответствующей моментам времени, когда мгновенный МНК не работал из-за недостаточного числа НКА. Особенно это преимущество заметно при работе по отдельным ГНСС. Полученные результаты подтверждают перспективность применения ФК для современных и будущих космических программ.

Список литературы:

1. Власов С.А., Житников Т.А., Кульвиц А.В. Формирование облика баллистически связанной группы космических аппаратов наблюдения земной поверхности // Труды Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского. – 2016. – № 651. – С. 113–118.
2. Пехтерев С.В., Макаренко С.И., Ковальский А.А. Описательная модель системы спутниковой связи Starlink // Системы управления, связи и безопасности. – 2022. – № 4. – С. 190–255.
3. Соколов И.А., Цеханович Г.С. Анализ модели движения космического аппарата на околоземной орбите // Сибирский аэрокосмический журнал. –2025. – Т.26. – № 1. – С. 107–125.
4. Ashman B.W., Bauer F.H., Parker J.J.K., Donaldson J.E. GPS Signal Reception and Utilization in Space // 15-th International Conference on Space Operations. Session: GNC – Flight Dynamics and Navigation II. AIAA 2018-2568. June 2018.
5. Lefferts E.J., Markley F.L., Shuster M.D. Kalman filtering for spacecraft attitude estimation. Journal of Guidance // Control, and Dynamics. – 1982. –Vol. 5. – Pp. 417–429.