ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЯ МИХАЙЛОВА ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В СРЕДЕ ENGEE

​THE PRACTICE OF APPLYING THE MIKHAILOV CRITERION FOR HIGH-ORDER POLYNOMIALS IN THE ENGINE ENVIRONMENT

Anastasia Los

assistant, post-graduate student at the Institute of Micro-Devices and Control Systems, National Research University "MIET",

Russian, Zelenograd

АННОТАЦИЯ

Целью работы является демонстрация возможностей платформы математический вычислений и динамического программирования «Engee» для анализа устойчивости систем автоматического управления (САУ) по критерию Михайлова для замкнутых САУ, имеющих характеристическое уравнение степени  , анализ формулировок и модификаций частотного критерия Михайлова на примере полинома шестого порядка. В работе используются методы математического моделирования, графоаналитический метод, а, также, методы анализа и синтеза. По результатам проведенного исследования, написан программный код на языке Engee и проанализировано удобство его применения для систем высокого порядка. В результате сравнения простоты программной реализации нескольких эквивалентных формулировок и модификаций критерия Михайлова, выявлено, что написанный код удобен для любой из них и позволяет, с помощью общего определения устойчивости по Михайлову достаточно точно определить критический (предельный) коэффициент усиления системы (.

ABSTRACT

The purpose of the work is to demonstrate the capabilities of the Engee mathematical computing and dynamic programming platform for analyzing the stability of automatic control systems (ACS) according to the Mikhailov criterion for closed ACS with a characteristic equation of degree , analyzing formulations and modifications of the Mikhailov frequency criterion using the example of a sixth-order polynomial. The work uses methods of mathematical modeling, graphoanalytical method, as well as methods of analysis and synthesis. Based on the results of the research, the program code was written in the Engine language and the convenience of its use for high-order systems was analyzed. As a result of comparing the simplicity of the software implementation of several equivalent formulations and modifications of the Mikhailov criterion, it was found that the written code is convenient for any of them and allows, using the general definition of Mikhailov stability, to accurately determine the critical (marginal) gain of the system.

Ключевые слова: устойчивость САУ; критерий Михайлова; годограф, модифицированная кривая Михайлова, граница устойчивости, критический коэффициент.

Keywords: ACS stability; Mikhailov criterion; hodograph, parametric curve, stability limit, critical coefficient.

Анализ устойчивости – одно из ключевых направлений теории автоматического управления. Актуальность программной реализации критерия Михайлова и его модификаций вызвана необходимостью сокращения времени анализа устойчивости сложных систем управления и проблемами обеспечения достаточной наглядности формулировки для характеристического уравнения высокого порядка [1]. На сегодняшний день практическое применение критерия Михайлова для анализа сложных, многоконтурных систем и его реализация на вычислительных средствах является актуальной задачей [2,3].

Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости и заключается в построении кривой Михайлова, с помощью замены  в характеристическом уравнении  , выделении из него действительной () и мнимой ( частей, нахождении их значений для заданного массива частот и отображении результата на комплексной плоскости. Общая формулировка критерия основана на нахождении угла охвата кривой Михайлова начала координат  при изменении частоты  от  до . Для устойчивой системы:

                                                                                                                      (1)

где  – порядок характеристического уравнения.

В соответствии с современной теорией управления на основе соотношения (1) существуют эквивалентные формулировки и модификации критерия Михайлова [4]:

1. Для устойчивой системы годограф  должен иметь начло на действительной положительной оси и последовательно охватывать против часовой стрелки количество квадрантов равное .
2. Чередование нулей действительной и мнимой частей характеристического многочлена и их общее количество составляет n.
3. Для полиномов высокого порядка, предлагается нормирование

В результате применения (2) получается кривая, охватывающая то же количество квадрантов, т.к. сохраняется фазовый сдвиг, а изменяется только модуль, который нормируется коэффициентом .

4. В источнике [5] указывается на недостаточную информативность критерия Михайлова и предлагается его модификация на основе введения новой параметрической кривой, описываемой следующим выражением:

где  – полином того же порядка, что и  с корнями, расположенными в левой полуплоскости комплексного переменного.

Полином  выбирается также исходя из компактности визуализации параметрической кривой :

где  и  – соответствующие коэффициенты .

Для устойчивой системы кривая  не должна охватывать начало координат.

Пусть задана передаточная функция:

(5)

В выражении (5), коэффициент усиления  задан как варьируемый параметр. Для иллюстрации применения написанного кода, примем .

Введем характеристическое уравнение в редактор скриптов Engee, программный код использует библиотеки «Plots» и «LinearAlgebra», осуществляет замену , выделяет   и  и строит кривую Михайлова для заданного диапазона частот (рисунок 1.). 

Рисунок 1. Кривые Михайлова для разного диапазона частот

Поскольку порядок  целесообразно отобразить три годографа с разным масштабом. Низкочастотная часть показывает, что кривая  начинается из положительной оси и последовательно входит в четыре квадранта, с увеличением масштаба, видно, что последовательно охватываются 6 квадрантов, что соответствует  и позволяет сделать вывод об устойчивости.  Также, в соответствии с общей формулировкой критерия Михайлова, система является устойчивой, поскольку , что соответствует (1). 

Составим выражение для границы устойчивости по критерию Михайлова.  

Для нахождения  из выражения , нужно найти частоту .

Подставим выражение (7) в  (6) и получим:

Положительным и ненулевым корнем выражения (8) является 8.32. Найдем  из выражения (7).

Проверим результат, построив ЛЧХ системы (рисунок 2) с масштабом для ЛАЧХ , чтобы получить запас устойчивости по усилению при  6.788. Для получения ЛЧХ системы используетcя библиотека «ControlSystemBase»  и функция «marginplot», которая реализует методику оценки устойчивости системы по ЛЧХ по критерию Найквиста, разработанную В.В. Солодовниковым.

Рисунок 2. ЛЧХ системы для  6.788

Таким образом, с помощью общей формулировки критерия Михайлова и его эквивалентной формулировки, изложенной в пункте 1 достаточно точно имеется возможность определения  или иного параметра на устойчивость системы при известной передаточной функции (.

С помощью функции roots найдем нули  и  и отобразим их положительные значения графически (рисунок 3).

Рисунок 3. Иллюстрация принципа перемежаемости

Для данного случая видно, нули   и  чередуются, что говорит об устойчивости системы, но отсутствует возможность оценки влияния отдельных параметров системы на устойчивость. При этом, с повышением порядка характеристического уравнения остается вопрос о точности определения нулей.

Рассмотрим модификацию критерия Михайлова (рисунок 4)., изложенную в соотношении (2).

Рисунок 4. Нормированная кривая Михайлова

Нормированная кривая Михайлова  проходит через столько же квадрантов, как и  и позволяет судить об устойчивости системы. Данная модификация отличается компактностью и хорошей наглядностью для полиномов высокого порядка. Однако, усложняет расчет при определении влияния того или иного параметра на устойчивость системы. Вывести условие границы устойчивости все равно представляется более удобным для общей формулировки, при наличии возможности решения, которая ограничена порядком .

Модификация по выражению (3) отличается большей наглядностью и компактностью (рисунок 5)

Рисунок 5. Модифицированная кривая Михайлова

На устойчивость системы указывает не охват  начала координат в соответствии с принципом аргумента. Но, также, усложняется определение влияния тех или иных параметров на устойчивость системы. 

Для анализа замкнутых линейных систем применяются алгебраические и частотные критерии устойчивости. Среди алгебраических критериев, для сложных систем удобно применять критерий Рауса-Гурвица. Так, в [6] предложен метод оценки характеристик цифрового управления на основе данного критерия для реализации алгоритма расчета управляющего воздействия. Но, решая задачу поиска такого значения отдельного параметра системы, при которой система будет устойчива, когда речь идет о системе порядка , критерий Рауса-Гурвица представляется неудобным [7].

С помощью частотных критериев устойчивости - критерия Михайлова и критерия Найквиста, а, также их модификаций данная задача решается более просто. Для систем , при существенном усложнении получения  из выражения, соответствующего границе устойчивости по критерию Михайлова, имеется возможность изменения того или иного параметра, при известной  и дальнейшего применения одной из модификаций критерия. Написанный код позволяет полностью автоматизировано построить кривую Михайлова, и любую из его модификаций или визуализировать его эквивалентные формулировки, при этом, в отличие от критерия Найквиста не требует сведений об устойчивости системы в разомкнутом состоянии и реализует более простой графоаналитический метод, поскольку вычисление АФЧХ сложнее получения кривой Михайлова. 

Однако, ввиду своих особенностей, критерий Михайлова, не подходит для систем с запаздыванием [8], что существенно ограничивает его применение. Также, поскольку кривая Михайлова не имеет физической природы, её невозможно получить экспериментально. Так, для применения критерия нужно провести идентификацию по экспериментальным данным, проверить адекватность модели и из полученного математического описания получить характеристическое уравнение. Для систем с запаздыванием, как и для частотных характеристик, полученных экспериментально, наиболее целесообразно, применение критерия Найквиста или его модификаций, на сегодняшний день модификации критерия Найквиста также является актуальным направлением исследований. Так, в [9] предлагается метод, позволяющий применить операции трехмерной графики к частотным характеристикам сложных систем с целью придания большей информативности.

При этом, ввиду простоты программной реализации и автоматизированного расчета, данный критерий сохраняет актуальность при анализе сложных систем управления высокого порядка.

Список литературы:

1. Жмудь В. А.  Моделирование замкнутых систем автоматического управления : учебник для вузов. Москва : Издательство Юрайт, 2025. 2-е изд., испр. и доп. — 128 с.
2. Грушун А.И., Грушун Т.А. Машинно-ориентированный метод анализа степени устойчивости линейных систем автоматического управления  // The Scientific Heritage. — 2020. № 45. С.31-36.
3. Авсиевич А.В., Модификация критерия устойчивости Михайлова для анализа моделей автоматического управления с нецелыми показателями // МЕХАТРОНИКА, АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ НА ТРАНСПОРТЕ: Материалы II Всероссийской научно-практической конференции. Самарский государственный университет путей сообщения (Самара, 26—27 марта 2020 г.). – Самара, 2020. С.7-12.
4. Ким Д. П.  Теория автоматического управления : учебник и практикум для вузов . — Москва : Издательство Юрайт, 2025. — 309 с. 
5. Зотов М.Г. Модифицированные частотные критерии устойчивости // Качество. Инновации. Образование. — 2014. № 10. С. 42–45.
6. Горшков А.А, Ларкин Е.В. Оценка устойчивости многоконтурных систем управления с помощью критерия Рауса – Гурвица // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. — 2022. Вып.9. С.3-9.
7. Леонтьев В.Н. Анализ систем автоматического управления: учебное пособие. – СПб.: СПбГТУРП, 2014. Ч.2 - 111с.
8. Беспалов А.В., Харитонов Н. И. Системы управления химико-технологическими процессами : учебник для вузов. — Москва: Академкнига, 2007. — 690 с.
9. Корнюшин Ю.П., Климанова E.В., Максимов А.В. Метод построения поверхностей частотных характеристик комплекснозначных передаточных функций систем управления // Информационно-измерительные и управляющие системы. – 2021. Т. 19. № 5. С. 58−66.