РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧНЫХ КРУГЛЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

​SOLUTION OF THE PROBLEM OF STABILITY OF ELASTIC-PLASTIC CIRCULAR ELEMENTS OF STRUCTURAL TAKING INTO ACCOUNT BEGINNIG TENSION

Rizvan Shukurov

Associate Professor, Doctor of Philosophy in Technical Sciences, Azerbaijan Technological University,

Republic of Azerbaijan, Ganja

Shahin Guliyev

Associate Professor, Doctor of Philosophy in Technical Sciences, Azerbaijan Technological University,

Republic of Azerbaijan, Ganja

АННОТАЦИЯ

В работе исследуется задача устойчивости упругопластичных круглых элементов конструкций при радиальном сжатии с учетом начальных напряжений. Предполагается, что пластина имеет самоуравновешенные начальные напряжения и свойства материала описывается уравнениями состояния типа деформационной теории пластичности. Уравнение устойчивости решаются методом Бубнова – Галеркина.

Определено выражение критической нагрузки для круглой ортотропной упругопластической пластинки при радиальном сжатии с учетом начальных напряжений.

ABSTRACT

In this paper the stability of a circular orthotropic elastic-plastic plate under radial compression is investigated taking into account the beginning tension.

It is assumed that the plate has self-equilibrated initial stresses and the material properties are described by equations of state of the type of deformation theory of plasticity.

The stability equations are solved by the Bubnov-Galerkin method. An expression for the critical load is found.

Ключевые слова: устойчивость; начальные напряжения; пластичность; ортотропность; упругость; пластины.

Keywords: Stability; initial stresses; plasticity; orthotropy; elasticity; plates.

На основе теории малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшиным [1] получены основные соотношения и полная система уравнений устойчивости. Им обоснована приближенная постановка задачи устойчивости для пластинки, суть которой заключается в следующем: поскольку потеря устойчивости происходит при постоянных внешних нагрузках, тогда на контуре пластинки вариации усилий равны нулю; предполагается, что это условие выполняется всюду; кроме того не требуется, чтобы удовлетворялись уравнения совместности деформации. При такой постановке решение конкретных задач устойчивости значительно упрощается и найденные по этой теории значения критических сил имеют хорошее совпадение как с опытными данными, так и со значениями полученными в соответствующих задачах, для которых имеется решение в точной постановке.

Целью этой работы является исследование влияния начальных (остаточных) напряжений на упругопластическую устойчивость круглых элементов конструкций с учетом начальных напряжений.

Рассмотрим круглую пластинку радиуса R, постоянной толщины h, сжатой по контуру равномерно распределенной радиальной нагрузкой интенсивностью P.

Начальные напряжения, оставшиeся в теле после предшествующего упругопластического деформирования и ряда других причин, существенным образом могут влиять на работоспособность элементов конструкций [2].

В случае, когда остаточные напряжения являются функцией координаты только толщины, они влияют на величину критических параметров, если в докритическом состоянии появляются пластические области деформирования (однако этого нельзя распространить на тот случай когда остаточные напряжения являются функцией координаты срединной плоскости). Следует отметить, что теория расчета упругопластических элементов конструкций из изотропных материалов на основе деформационной теории пластичности и теории пластического течения исследованы достаточным образом.

В настоящей работе в отличие от предыдущих работ исследуется задача устойчивости ортотропных упругопластических круглых пластинок при равномерном радиальном сжатии.

Предполагается что самоуравновешенные начальные напряжения являются функцией только координаты толщины.

Будем считать, что материал пластинки является несжимаемым и свойства описываются уравнениями состояния типа деформационной теории пластичности [3]:

.                                                                                    (1)

В докритическом состоянии распределение напряжений в областях упругих деформаций будет:

,

 .                                                                            (2)

Здесь f₁(z) и f₂(z) – функции характеризующие начальные напряжения.

В областях пластических деформаций аналогичные зависимости имеют вид:

,

 .                                                                             (3)

В этих формулах введены следующие обозначения:

 ,

                                        (4)

где l – коэффициент линейного упрочнения, s_s – предел текучести, e_s – значение интенсивности деформации соответствующего значению s_s, a, b –

постоянные величины характеризующие анизотропные свойства материала пластинки.

В этом случае интенсивность деформации имеет следующий вид:

 .                                                           (5)

При упругих областях деформирования следует предположить  = 0.  

На границе областей упругих и пластических деформирований имеет место:

 .                                                                             (6)

Здесь обозначено:

,  .                                                    (7)

Предполагая, что в докритическом состоянии не появляется изгиб, связь между усилиями и деформациями имеет следующий вид:

 .                               (8)

Здесь обозначены:

Используя гипотезы Кирхгофа – Лява и условия на границе догрузки и разгрузки, можно установить связь между вариациями напряжений и деформаций:

,

                                                                      (9)

Здесь обозначено:

,  .                        (10)

В областях упругих деформаций и разгрузки эти зависимости имеют вид:

,

 ,

 .                                                                        (11)

Вариации усилий после некоторых преобразований будут определяться по формулам:

 .                      (12)

Для вариации моментов получаются следующие выражения:

.                       (13)

В этих формулах введены следующие безразмерные параметры:

                                                     (14)

Из соотношений (12) исключая e₁₁, e₂₂, e₁₂ и подставляя в (13) после некоторых преобразований получим:

 .                                               (15)

Здесь обозначены:

 .                                                        (16)

В общем случае, вводится функция напряжений F и с учетом (15) из уравнения равновесия относительно моментов и уравнения совместности деформации получается система устойчивости из двух уравнений относительно функции напряжения и прогиба.

Для получения качественных результатов рассмотрим приближенную постановку А.А.Ильюшина. В этом случае предполагается, что  и (15) представляется в виде:

.                                                       (17)

Здесь коэффициенты F_ij являются функциями параметров докритического состояния и определяются на основе соотношений (15).

Учитывая (17) в уравнении равновесия для моментов, получаем:

.                                              (18)

После некоторых преобразований будем иметь:

 .                                                                  (19)

Решение поставленной задачи будем искать по методу Бубнова-Галеркина, т.е. критическая нагрузка будет определена из условия:

 .                                                   (20)

Здесь введены обозначения:

    .                                 (21)

S_p и S_e - области пластических и упругих деформаций.

Из (20) с учетом (21) получим выражение для определения критической нагрузки:

                                          (22)

При заданном виде начальных напряжений из (22) определяется значение критического напряжения для круглой ортотропной упругопластической пластинки при радиальном сжатии с учетом начальных напряжений.

Список литературы:

1. Ильюшин, А. А. Пластичность. Ч.1. Упруго-пластические деформации. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.
2. Шукуров, Р. Е. Об устойчивости ортотропных упругопластических пластин с учетом начальных напряжений. Аз. ИСУ сборник научных трудов по механике № 7, Баку: Изд-во Аз. ИСУ, 1997. –С.42-46.
3. Kosarow, M., Kürktschiev, R. Plastische Stabilität einer anisotropen Kreiszylinderschale. Ing. Arch. 46, 1977. – С.195–202. https://doi.org/10.1007/BF00536733