ДОЛГОВЕЧНОСТЬ СИЛЬФОННЫХ КОМПЕНСАТОРОВ

DURABILITY OF BELLOW COMPENSATORS

Natalya Golovina

аssociate Professor, Candidate of Technical Sciences Tyumen Industrial University, a branch in Surgut

Russia, Surgut

Svetlana   Krivosheeva

сandidate of Technical Sciences Tyumen Industrial University, a branch in Surgut

Russia, Surgut

АННОТАЦИЯ

Предложен метод определения порога чувствительности для сильфонных компенсаторов путем аппроксимации степенным полиномом эмпирических кривых распределения долговечности для большого числа выборок с последующей статистической обработкой. Для надежного обоснования ресурса изделий с учетом рассеивания их долговечности большое значение имеет оценка порога чувствительности по циклам. В настоящее время назначение гарантированного ресурса производиться с повышенными прочностными требованиями к изделиям. Предложенный способ позволяет определять значения порога чувствительности по циклам для кривых распределения долговечности, как имеющих четко выраженный порог чувствительности, так и не имеющих его. Способ хорошо согласуется с другими известными методами. Таким образом, путем статистической обработки результатов усталостных испытаний компенсаторов получены значения порога чувствительности по циклам и доверительный интервал для математического ожидания величины порога чувствительности.

ABSTRACT

The proposed method of determining the sensitivity threshold for bellows expansion compensator by fitting a power polynomial of the empirical curves of distribution of durability for a large number of samples, followed by statistical analysis. For a reliable justification of resource products with regard to dispersion of their durability is of great importance the evaluation of the sensitivity threshold in cycles. Currently, the appointment of a guaranteed resource is made with high strength requirements. The proposed method allows to define sensitivity threshold value for the cycles between the curves of the distribution of longevity as having a distinct threshold, and not having it. Method is in good agreement with other known methods. Thus, by statistical processing of results of fatigue tests of joints obtained values of the sensitivity threshold in cycles and confidence interval for mathematical expectation of the magnitude of the threshold.

Ключевые слова: надежность, долговечность, порог чувствительности, компенсатор.

Keywords: reliability, durability, sensitivity threshold, the compensator.

Введение

Задание показателей надежности изделиям определяется в значительной степени функцией распределения их наработки до отказа. Значение наработки изделий до отказа, расположенные в порядке возрастания отражают эмпирическую функцию распределения долговечности. Для надежного обоснования ресурса изделий с учетом рассеивания их долговечности большое значение имеет оценка порога чувствительности по циклам N₀. В настоящее время назначение гарантированного ресурса производиться без учета значения N₀. Это приводит к тому, что для учета рассеивания долговечности закладывается большой запас по долговечности n_N. Гарантированный ресурс определяется с учетом среднего расчетного ресурса N_{ср.расч} из выражения:

Такое задание гарантированного ресурса, как правило, приводит к повышенным прочностным требованиям к изделиям, а следовательно, к увеличению трудоемкости, металлоемкости и излишней массе. Определение значения N₀ позволяет более достоверно обосновать гарантированный ресурс изделий.

Исследованиями установлено, что долговечность при постоянном уровне максимального напряжения имеет нижнюю и верхнюю границы [10]. Нижняя граница долговечности N₀ обозначает порог чувствительности по циклам, то есть наибольшее возможное число циклов, которое при данном напряжении Ϭ_max практически не вызывает разрушения. Величина N₀ отделяет нечувствительную к переменной нагрузке зону наработки.

Оценка величины N₀ эмпирическим путем затруднена, так как требуется значительное число испытаний. Еще более затруднено определение порога чувствительности при относительно низких напряжениях из-за большой длительности испытаний.

Материалы и методы решения задачи

В настоящее время разработано несколько методов определения порога чувствительности: графический, приведения к симметричному виду, наименьших квадратов, максимума правдоподобия.

Однако до сих пор не решен вопрос об эффективности этих методов. Применение указанных методов к результатам усталостных испытаний сильфонных компенсаторов не дало положительных результатов.

1. Метод приведения к симметричному виду применим только к сравнительно большим объемам выборок (более 60), поэтому он не рассматривался.
2. Метод наименьших квадратов, как и его графическое выражение – графический метод, дает решение лишь для кривых распределения, имеющих четко выраженную нижнюю границу долговечности и не имеющих выраженной верхней границы. Если кривые долговечности не соответствуют хотя бы одному этому условию значения N₀, найденные по указанным методам, становятся нереальными и даже отрицательными. На рис.1 приведены кривые распределения долговечности [10]. Для кривых 1, 2, 3 метод наименьших квадратов решения не дает, для кривой 4 решение соответствует значению N₀ = 6,1 · 10⁵ циклов.
3. Метод максимума правдоподобия вообще не дал сходимости решения для выборок менее 36, в том числе и для кривых (рис.1) (возможность необходимости решения признана и авторами[7]).
4. Приближенный метод [8, 9] не учитывает условия проявления порога чувствительности, поэтому дает заниженные результаты (прямые линии на рис.1).

Рисунок 1. Кривые распределения долговечности

В данной работе определение порога чувствительности для компенсаторов, изготовленных из стали 12X18H10T, производится путем аппроксимации степенным полиномом эмпирических кривых распределения долговечности для большого числа выборок с последующей статистической обработкой.

При аппроксимации используется условие проявления порога чувствительности на нижней и верхней границах эмпирических кривых распределения. Результаты испытаний изделий на долговечность при уровне напряжения Ϭ_max располагались в вариационный ряд в порядке возрастания долговечности и группировались по напряжениям, имеющим отклонения друг от друга не более 10 – 15 МПа. Значения вероятностей разрушения P, оцениваемые по накопленной частоте, вычислялись по формуле [1]

где i – номер изделия в вариационном ряду, n - общее количество испытанных изделий.

Как отмечено в работах [1 – 6], признаком проявления порога чувствительности N₀ является искривление кривой P – lgN, построенной на вероятностной бумаге, выпуклостью вверх. Анализ данных, приведенных в работах [1 – 6], показывает, что кривые распределения долговечности в пределе при вероятностях разрушения P→0 и P→1 образуют примой угол с осью lgN. Таким образом, задача сводится к точечному аппроксимированию эмпирических кривых распределения с нулевым производным в граничных точках, которые являются искомыми. Для увеличения точности аппроксимация производилась с переходом на равномерную вероятностную шкалу. При этом перпендикулярность кривой распределения к оси lgN в пределе сохраняется.

Решение поставленной задачи представим в виде аппроксимирующего m - мерного полинома.

где x соответствует значениям P. Считаем, что при P = 0, x = 0, N_a = a₀. Естественно, что на отрезке N₁ ˂ N₂ ˂ …˂ N₀ эмпирическая функция распределения имеет разброс значений, то есть можно сказать, что значения искомой кривой распределения заданы с некоторой погрешностью. Для решения задачи необходимо построить функцию, которая бы плавно проходила вблизи заданных значений. В качестве такой функции используется полином, при котором достигается минимум функционала [2],

где α – параметр сглаживания; P_k – коэффициент массы (P_k > 0); y_k соответствует значениям N_k.

 Краевым условиями для искомой функции будут

 ,                   

После дифференцирования общее выражение для системы уравнений имеет вид

Таким образом, для определения m+3 неизвестных a₀, a₁, … a_m, y₀,y_n+1 имеем m+3 уравнения. Учитывая, что х₀=0 x_n+1=1, окончательно систему уравнений для определения коэффициентов в общем виде можно записать так

Точность приближения функции к заданным значениям зависит от параметра α и коэффициента массы P_k. Чем выше коэффициент массы P_k, тем больший вклад в функционал вносят интерполяционные условия, тем ближе к заданным значениям проходит сглаживающая функция. Так как испытания проводились на идентичном оборудовании, с одинаковой погрешностью, то естественно принять значения коэффициентов P_k равными во всех точках эмпирической кривой распределения.

Выбор значения параметра сглаживания α представляет известную трудность. При малой величине α сглаживание будет незначительным, при завышенных значениях α функция будет чрезвычайно гладкой. В данном случае выбор параметра α определялся поведением первой производной аппроксимирующего полинома, которая не должна быть меньше нуля.

Рисунок 2. Эмпирическая линия регрессии для порога чувствительности N0 и граница ее доверительной области

В результате аппроксимации эмпирических кривых распределения порогов полинома пятой степени получены соответствующие значения порогов чувствительности N₀. На рис.2 представлены результаты расчетов значений N₀ в зависимости от напряжения σ_max. Значения N₀ можно рассматривать как случайную величину, имеющую область возможных значений. Для получения осредненной кривой зависимости lgN₀ = f(σ_max), имеющей вероятность P = 0,5, представленные результаты аппроксимированы полиномом восьмой степени (штрих-пунктирная линия).

Очевидно, что полученную зависимость без большой погрешности можно заменить линейной зависимостью, то есть связь между нормально распределенной случайной величиной y = lgN₀ и величиной x = Ϭ_max может быть установлена путем проведения линейного регрессионного анализа. Эмпирическая линия регрессии имеет вид

где Y – оценка условного математического ожидания величины y = lgN₀ для заданного значения x; – выборочное среднее значение величины x.

Оценка параметров уравнения линии регрессии производилась по формулам:

где m – число уровней напряжения.

Окончательно для m = 29 имеем:

Y = 4,2754 – 0,0238 (x – 47,8896)  или  lgN₀ = 5,4152 – 0,0238 Ϭ_max.

Линия регрессии, соответствующая полученному уравнению, показана на рис.2 сплошной линией.

При вероятностных расчетах прочности изделий для повышения их надежности целесообразно пользоваться не средними выборочными значениями случайной величины, а значениями границ доверительных интервалов, в частности, вместо выборочного среднего значения N₀ следует брать нижнюю границу доверительного интервала. Границы доверительного интервала Δ для математического ожидания N₀ определяются из выражения:

Y- t_α,k S_y < ∆ < Y+t_α,k S_y

где t_α,k - критерий Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы K; S_y – дисперсия оценки математического ожидания.

На рис.2 штриховой линией показана нижняя граница 99,9 % доверительной области с уровнем значимости α = 0,001. Верхняя граница долговечности не рассматривалась, как не имеющая практического интереса.

Результаты

Предложенный метод статистической обработки позволяет определять значения N₀ для кривых распределения долговечности, как имеющих четко выраженный порог чувствительности, так и не имеющих его. Способ хорошо согласуется с другими известными методами, имеется явно выраженная тенденция кривой распределения к N_e. Например для кривой распределения 4 (рис.1) N₀ = 6,3·10⁵ циклов (по методу наименьших квадратов N₀ = 6,1·10⁵ циклов).

Таким образом, путем статистической обработки результатов усталостных испытаний компенсаторов получены значения порога чувствительности по циклам и доверительный интервал для математического ожидания величины N₀.

Список литературы:

1. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. - М.: Машиностроение, 1964.
2. Головина Н.Я. Вопросы устойчивости вынужденных поперечных колебаний гибких металлических трубопроводов // Научное обозрение. – 2014. – № 10 -1. –  С. 63-66.
3. Головина Н.Я. Новый подход в исследовании вынужденных поперечных колебаний гибких металлических трубопроводов на устойчивость//Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. – 2005. – № 1. – С. 70-74.
4. Головина Н.Я., Кривошеева С.Я. Исследование различных факторов, влияющих на вибрационную прочность гибких металлических трубопроводов / Головина Н.Я., Кривошеева С.Я. // Естественные и технические науки. – 2015. – № 6 (84). – С. 269-272.
5. Головина Н.Я., Кривошеева С.Я. Влияние рассеяния энергии на долговечность работы гибких металлических трубопроводов / Головина Н.Я., Кривошеева С.Я. // Научное обозрение. – 2015. –  № 12. – С. 106-108.
6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977.
7. Селихов А.Ф., Хлебников И.Г. Методика статистической оценки порога чувствительности усталостной долговечности. – В кн.: Механическая усталость в статистическом аспекте. - М.: Наука 1969.
8. Серенсен С.В., Когаев В.П. Шнедерович Р.М. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. - М.; Машгиз,1963.
9. Степанов М.Н. Статистическая обработка результатов механических испытаний. - М.: Машиностроение, 1972.
10. Степанов М.Н., Гиацинтов Е.В. Усталость легких конструкционных сплавов. – М.: Машиностроение, 1973.
11. Roessle, M.L., Fatemi, A.: Strain-controlled fatigue properties of steels and some simple approximations. Int J Fatigue 2000;22:495–511.