ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В КОМПЛЕКСНОЗНАЧНОЙ ФИЗИКЕ

​PLASMA WAVES IN COMPLEX-VALUED PHYSICS

Vladimir Lyahov

LWR, Ionosphere Institute PK,

 Kazakhstan, Almaty

Vladimir Neshchadim

LWR, Ionosphere Institute PK,

Kazakhstan, Almaty

АННОТАЦИЯ

Физика сейчас находится в стадии полупризнания комплексных чисел. С одной стороны, физика, используя математический аппарат, манипулирует комплексными числами. С другой стороны, “здравый смысл” рекомендует связывать все наблюдаемые величины исключительно с действительными числами. Но в двух случаях комплексные величины уже введены в физику как актуально существующие. В физике плазмы введена частота , в квантовой электродинамике, в теории возмущений - масса . Возможно, наступила пора однозначно ставить в соответствие всем величинам комплексные, а не действительные числа.  В этом аспекте решается традиционная задача о продольных волнах в бесстолкновительной плазме. Вычислен тензор диэлектрической проницаемости, решено соответствующее дисперсионное уравнение. Продольные плазменные волны в случае комплекснозначной физики обладают свойствами, отличными от тех, к которым мы привыкли до сих пор. Было бы интересно экспериментальное исследование этого отличия.

ABSTRACT

Physics is now in a state of semi-recognition of complex numbers. On the one hand, physics, using mathematical approaches, manipulates complex numbers. On the other hand, “common sense” dictates connecting all observed physical values exclusively with real numbers. However, in two cases, complex quantities with inherent physical meaning have already been introduced into physics. In plasma physics, the frequency  is introduced, while in quantum electrodynamics, in the theory of perturbations, the mass  is introduced.  Thus, the time has perhaps come to unambiguously consider complex values in physics rather than real numbers exclusively. In this study, the traditional problem of longitudinal waves in collisionless plasma is solved, including calculating the tensor of dielectric permeability and solving the corresponding dispersion equation.  Our findings show that longitudinal plasma waves, if all world values are complex, have properties that differ from those which we are used to, a finding that would merit further experimental study to investigate these differences.

Ключевые слова: бесстолкновительная плазма, уравнение Власова, токовый слой, численное моделирование, магнитосфера Земли.

Keywords: collisionless plasma, Vlasov equation, current layer, numerical simulation, Earth magnetosphere.

1. История проблемы

В 1946 г. вышла работа Л.Д. Ландау [1], вышла как реакция на исследования, начатые А.А. Власовым [2]. Власов, изучая колебания плазмы на основе введённого им кинетического уравнения с самосогласованным электромагнитным полем, столкнулся со следующей проблемой: при исследовании дисперсионного уравнения для продольных волн в бесстолкновительной плазме возникал несобственный интеграл. Интеграл по скорости определялся вдоль действительной оси и был дважды несобственным – с бесконечными пределами и полюсной особенностью подынтегральной функции.

Дисперсионное уравнение, полученное в работе [2] имеет вид:

                                                                               (1)

стационарное состояние описывается максвелловской функцией распределения.

Власов нашел приближенное решение дисперсионного уравнения с помощью разложения подынтегральной функции в ряд по степеням малой величины . Эта величина мала поскольку выбранная функция распределения Максвелла быстро спадает с возрастанием скорости частиц, и при фазовой скорости  уже достаточно мала. Полученное таким образом решение ограничено областью малых скоростей частиц и не учитывает вклад больших скоростей из хвоста максвелловского распределения. Власов, по существу, проигнорировал имеющуюся расходимость интеграла (1) при .

Ландау предложил взять несобственный интеграл (1) путем предельного обхода особой точки . Обход этот, естественно совершается в комплексной плоскости. Возникает вопрос, каким образом обходить особую точку – сверху или снизу? На помощь приходит адиабатическая гипотеза, которая требует, чтобы возмущение функции распределения  исчезло при . В принятой временной зависимости  такое исчезновение означает наличие хотя бы малой положительной мнимой части у частоты . В этом случае полюс подынтегральной функции (1) уже не лежит на действительной оси, вдоль которой ведется интегрирование, а оказывается смещенным в верхнюю полуплоскость. Это дает правило обхода полюса : его надо обходить снизу (правило обхода Ландау).

Еще раз об основной проблеме рассмотренной ситуации: необходимо было взять корректно несобственный интеграл (1). Для этого пришлось покинуть действительную ось и выйти на комплексную плоскость или, что тоже, приписать частоте малую мнимую часть. Это повлекло за собой вывод о физической возможности бесстолкновительного затухания электромагнитных волн в плазме (затухание Ландау).

2. На стадии полупризнания комплексных чисел

К настоящему времени комплексные числа полноправно вошли в обиход математики. Физика же сейчас находится в стадии полупризнания комплексных чисел. С одной стороны, и физика, используя математический аппарат, манипулирует комплексными числами. С другой стороны, здравый смысл рекомендует связывать все наблюдаемые величины исключительно с действительными числами. Комплексному исчислению придается только вспомогательный, формально-математический характер. Ход рассуждений современного физика таков: “Мы живем в реальном мире, поэтому все величины должны описываться реальными числами.” Кажется, что это утверждение является совершенно естественным и не требует какого-то дополнительного обоснования. Данное положение является примером парадигмы и принимается естествоиспытателями фактически на веру. Говорят, что все развитие науки подтверждает этот тезис.

Но, можно привести и противоположные примеры. В теории относительности вводится мнимое время . И только в таком виде вместе с тремя пространственными координатами оно образует четырехмерное пространство-время. Четвертая ось пространства-времени является мнимой величиной. В теории относительности, с одной стороны, всегда подчеркивают условный характер мнимого времени. Но, с другой стороны, также всегда замечают, что впервые обнаружена глубоко сущностная связь пространства и времени.

Об основном объекте квантовой механики — комплекснозначной волновой функции говорят, что сама она физическим смыслом не обладает, но квадрат её им обладает. Уже это заключение беспокоит. Но более того, оказывается, что в квантово-механическом принципе суперпозиции должна фигурировать именно волновая функция, не имеющая физического смысла, а не её квадрат, этим смыслом обладающий.

В релятивистской квантовой механике математические соображения о необходимости полноты системы волновых функций заставили ввести представление об уровнях отрицательной энергии. Но энергия покоящейся частицы  может быть отрицательной только в том случае, если приписать либо массе — отрицательное, либо скорости света — мнимое значения. Физическая интерпретация этого результата формального математического аппарата дана Дираком. Он постулировал принципиальную ненаблюдаемость состояний с отрицательной энергией вследствие того, что все уровни с отрицательной энергией заняты частицами, и поэтому никакие переходы между двумя любыми уровнями невозможны (состояние вакуума). Но, постулируя вначале принципиальную ненаблюдаемость таких состояний, физики говорят затем о взаимодействии атома водорода с вакуумом (лэмбовское смещение). Значит фон заполненных состояний с отрицательной энергией — вакуум все-таки проявляет себя в реальности?

При решении дифференциального уравнения приходится вначале решать так называемое характеристическое уравнение. Это уравнение является алгебраическим и решение его ищется на поле комплексных чисел. В теории колебаний, например, комплекснозначными становятся такие величины, как частота и волновой вектор, а значит и обратные им величины – период колебаний и длина волны.

И, наконец, давно известное. Физик, решая алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами, получает зачастую комплексные корни. Как их трактовать?  Отбор решений производится по так называемому физическому смыслу. В силу каких-то априорных знаний подвергается насилию строгое математическое решение. Пути физики и математики расходятся. Но должны ли они расходиться?

При отсутствии общих правил манипуляция с комплексными значениями физических величин напоминает скорее искусство, чем науку; когда надо - их вводят в рассмотрение, когда не надо – выводят из игры. Возможно, для физики наступила пора однозначно ставить в соответствие всем величинам комплексные, а не действительные числа? Некоторым аспектам этой проблемы посвящены работы [3, 4].

Развитие естествознания свидетельствует, что объекты, существовавшие ранее только как математические, «идеальные» понятия наполнялись со временем реальным содержанием и принимались в семью физических объектов. Примерами являются отрицательные и иррациональные числа. Сейчас допускается описание физических величин и отрицательными и иррациональными числами.

Исторически шло последовательное расширение полей чисел. Поле натуральных чисел было расширено до поля целых чисел, потом до поля рациональных чисел, затем до поля вещественных чисел и, наконец, до поля комплексных чисел. При этом комплексное поле обладает отличающей его принципиальной особенностью: оно алгебраически замкнуто. Ограничение физических величин только полем действительных чисел кажется логически неудовлетворительным, поскольку часто математические операции выводят их из поля первоначального определения.

Здесь возникает кардинальный вопрос о соотношении понятий величины и числа. Естественным кажется принять следующее определение, высказывавшееся, например, А. Н. Колмогоровым [5]: “Число есть отношение двух величин". При таком определении сам факт существования комплексных чисел сразу влечет за собой заключение о существовании комплексных величин.

3. Вывод тензора диэлектрической проницаемости на поле комплексных чисел

Решим задачу о продольных волнах в бесстолкновительной плазме, полагая все величины комплекснозначными. Помним при этом, что мнимая добавка к частоте   уже введена в физике плазмы, как рассматривалось выше. А в квантовой электродинамике, в теории возмущений, введена комплексная масса .

Тензор диэлектрической проницаемости бесстолкновительной однородной изотропной плазмы, вычисленный на основе решения уравнения Власова хорошо известен, см., например, [6], стр. 74:

,                                                                             (2)

.                                                                          (3)

Здесь  и  - соответственно продольная и поперечная диэлектрические проницаемости, - энергия частицы сорта . Отметим, что интегралы (2) и (3) совпадают с полученным впервые Власовым интегралом (1).

Движением массивных ионов, обладающих большой инерцией, в первом приближении можно пренебречь и рассматривать плазму только как электронную плазму. Электроны подчиняются максвелловскому распределению

 ,

где  - постоянная Больцмана, - температура электронов,  - их масса.

Остановимся на рассмотрении продольных волн. После интегрирования по компонентам импульса, перпендикулярным волновому вектору , уравнение (2) принимает вид [7], стр.87:

 ,                                                                                  (4)

 где , , .                                                                            (5)

Здесь - электронная ленгмюровская частота.

Считаем, что все величины комплекснозначны. Для этого в интеграл (4) введем в явном виде реальные и мнимые части всех величин, кроме частоты  и волнового числа k, которые могут принимать действительные или комплексные значения в зависимости от того, какую задачу мы решаем – граничную или начальную.

.                           (6)

Аналогично

;

;

;

;

.

Из формул (5) получим

;                                                                    (7)

;                                                                    (8)

;                                                                   (9)

Здесь  – новая переменная интегрирования.

Подставив соотношения (7) – (9) в формулу (4), получим следующее выражение для продольного тензора диэлектрической проницаемости:

.                                          (10)

Здесь

,                                                                      (11)

,                                                (12)

.                                                                                                    (13)

Полученный интеграл (10) не имеет особых точек на действительной оси интегрирования и легко вычисляется с помощью вычетов:

                          (14)

4. Об электронной ветви продольных колебаний

После интегрирования по методу, впервые предложенному Ландау, уравнение (2), принимает вид [6], стр. 76:

,                                                                                  (15)

где

а функция W(x) протабулирована [8]. Дисперсионное уравнение для продольных волн имеет вид:

.

Используя разложение тензора (15) в асимптотическом случае быстрых волн, фазовая скорость которых много больше тепловых скоростей частиц

,                                                                                                      (16)

и пренебрегая вкладом ионных членов, можно получить следующее выражение для дисперсионного уравнения:

.                                                 (17)

В силу условия (16) мнимым членом в этом уравнении пренебрегают и, вводя априорное условие , получают его упрощенное решение:

,                                                                                          (18)

 где

- электронный дебаевский радиус Колебания со спектром (18) представляют собой электронную ветвь продольных колебаний.  

5. Нуль комплексного числа. Три метода решения дисперсионного уравнения

Приближенное аналитическое решение (18) получено в “докомпьютерную” эпоху. Найдем прямое решение уравнения (17), просчитав его численно в пакете MAPLE, и затем сравним его с численным решением уравнения (14). В качестве параметров возьмем характерные значения плазмы межпланетного пространства:

                                                                                      (19)

Вычисления проведены в системе СИ, размерность частоты всюду , волнового числа . При этих значениях электронная ленгмюровская частота , электронный дебаевский радиус .

Уравнение (17) содержит действительную и мнимую части. Существуют три логически равноценные возможности занулить комплексное число  — потребовать соответственно:

1) a+i b=0, 2) =0, 3)                                                                                (20)

Результаты численного решения уравнения (17) первым способом (20) представлены на рис. 1. Исследуется начальная задача: для действительных значений волнового числа k находятся соответствующие корни .

Рисунок 1. Дисперсионная кривая, определяемая уравнением (17)

Эта кривая качественно соответствует приближенному аналитическому решению (18), начинается со значения ленгмюровской частоты , но затем растёт быстрее, чем это предсказывает формула (18), и не образует в начале выраженной области плато. Следует отметить, что это решение необходимо было искать приравниванием нулю всего выражения (17), в то время как известное решение (18) искалось приравниванием нулю только его действительной части. Начальные значения найденных частот не имеют мнимых частей, значит колебания в этой области длин волн незатухающие. При меньших длинах волн, когда k>0.08м-1, колебания становятся затухающими, причем декремент затухания очень мал.

Второй способ (20) решений не дает.

В рамках третьей методики (20) решения также отсутствуют, поскольку области действительной (см. рис. 2) и мнимой (см. рис 3) частей тензора (17) не пересекаются, а именно лежат в разных полупространствах.

Рисунок 2. Область существования реальной части тензора (17)

Рисунок 3. Область существования мнимой части тензора (17)

6. Три метода численного решения поставленной задачи

Результаты численного решения начальной задачи для дисперсионного уравнения (14) первым способом (20) представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Результаты решения начальной задачи (14)

Как видно, найденные корни имеют как положительные, так и отрицательные мнимые части. Это свидетельствует, что для каждого волнового числа имеется как мода раскачки, так и мода затухания колебаний. В целом среда неустойчива, причем инкременты нарастания мод велики (сравнимы с действительными частями частот).

Дисперсионная кривая имеет следующий вид:

Рисунок 4. Дисперсионная кривая, определяемая уравнением (14)

Эта кривая качественно совпадает с дисперсионной кривой на рис. 1, но лежит в области более низких частот и начинается со значения частоты .

Второй способ (20) решений не дает.

В рамках третьей методики (20) решения также отсутствуют, поскольку области действительной (см. рис. 5) и мнимой (см. рис. 6) частей тензора (14) не пересекаются, их значения отличаются на 10 порядков.

Рисунок 5. Область существования реальной части тензора (14)

Рисунок 6. Область существования мнимой части тензора (14)

7. Выводы

Оказывается, только первое условие обращения комплексного числа в нуль (20) дает возможность найти решение дисперсионных уравнений вновь полученного (14) и ранее известного (17).

Полученный тензор диэлектрической проницаемости (14), как и введённый в физику плазмы Ландау (15), имеет как эрмитовскую, так и антиэрмитовскую части. Последняя ответственна за поглощение электромагнитных волн в плазме или их раскачку при определённых условиях.

Дисперсионные кривые на рис. 1 и рис. 4 качественно совпадают. Это, возможно, является свидетельством того, что расходимость интеграла в тензоре диэлектрической проницаемости (4) снимается в обоих случаях одинаково – введением мнимых величин, только в первом случае комплексифицируется одна величина – частота, во втором, рассмотренном нами, комплексными считаются все входящие в рассмотрение величины. Отметим, что результаты решения дисперсионного уравнения (14) практически не зависят от величины мнимых добавок; при параметре  они такие же как при . Этот параметр для всех величин полагался одинаковым, что не исчерпывает, конечно, всех возможностей.

Можно предположить, что в комплекснозначном мире всегда реализуется рассмотренная нами ситуация (уравнение (14). Это имеет место и в том случае, если в бесконечно удалённом прошлом система не находилась в равновесии. Тем самым не возникла надобность вводить малую мнимую добавку к частоте . Если же система перешла в неравновесное состояние из равновесного (в системе наличествует именно переходное состояние) тогда необходимо введение в частоту малой мнимой положительной добавки. В этом случае в системе, видимо, реализуются оба сценария: в области ленгмюровских частот существуют незатухающие продольные плазменные волны, а в области низких частот раскачиваются продольные волны, ведущие к неустойчивости среды.

Мнимые части физических величин, если они существуют, наверное, малы, поэтому обнаружить их в обычных ситуациях трудно. Например, при  мнимыми частями можно пренебречь, если рассматриваемая система устойчива, т.е. малому возмущению параметра (в нашем случае это мнимая часть величины) соответствует малое возмущение решения. Но в рассмотренном нами случае несобственного интеграла (4) с полюсной особенностью в знаменателе подынтегральной функции даже малая мнимая часть может привести к решению, существенно отличному от чисто действительного решения. Что и показано при выводе и решении дисперсионного уравнения (14). Продольные плазменные волны в случае комплекснозначной физики обладают свойствами, отличными от тех, к которым мы привыкли до сих пор. Было бы интересно экспериментальное исследование этого отличия.

Список литературы:

1. Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы // ЖЭТФ 16, вып. 7, 574, 1946.
2. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ 8, вып. 3, 291, 1938.
3. Lyahov V.V., Neshchadim V.M. The role of complex magnitudes in plasma electrodynamics // Advances in Plasma Physics Research, v.5, Nova  Science  Publishers, Inc., NY., 2006.
4. Lyahov V.V., Neshchadim V.M. Models of Plasma Kinetics and Problems with Their Interpretation in the Current Paradigm // Nova Science Publishers, Inc., NY., 2018.
5. Колмогоров А.И. «О понятиях количества и числа» // сб. «Историко-математические исследования», Том 32-33, М., Наука, 1990.
6. А. Ф. Александров А.Ф., Богданкевич Л С., Рухадзе А.А., Основы электродинамики плазмы // М., Высшая школа, 1988.
7. Силин В.П., Рухадзе А.А., Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред // М., Книжный дом “ЛИБРОКОМ”, 2013.
8. Фаддеева В.Н., Терентьев Н.М., Таблицы значений интеграла вероятностей // М., Гостехиздат, 1954.