ДОСТИЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ КАК ВОЗМОЖНОСТЬ РАССМОТРЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА В САМЫХ ОБЩИХ ПОЛОЖЕНИЯХ

ACHIEVING PROJECTIVE GEOMETRY AS A POSSIBILITY TO CONSIDER SPACE IN THE MOST GENERAL PROVISIONS

Tatyana Ulchenko

candidate of technical sciences., associate professor, Department of AMiR, Vladimir State University,

Russia, Vladimir

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрен подход, позволяющий использовать вспомогательное проектирование, который становится основным способом преобразований, что способствует органическому включению в начертательную геометрию способов и приемов проективной геометрии. При использовании вспомогательного проектирования для получения дополнительных проекций как прямых, так косых и центральных, обеспечивается замкнутая проективная связь и с основными фронтальным и горизонтальным изображениями формы.

ABSTRACT

This article discusses an approach that allows the use of auxiliary design, which becomes the main method of transformation, which contributes to the organic inclusion of methods and techniques of projective geometry into descriptive geometry. When using auxiliary projection to obtain additional projections, both direct, oblique and central, a closed projective connection is provided with the main frontal and horizontal images of the form.

Ключевые слова: вспомогательное проектирование; начертательная геометрия; проективная геометрия; прямая проекция; косая проекция; центральная проекция; проективная связь.

Keywords: auxiliary projection; descriptive geometry; projective geometry; direct projection; oblique projection; central projection; projective connection.

Параллельно-проекционный принцип, лежащий в основе образования поверхностей призм и цилиндров, позволяет упростить решение задач на пересечение этих поверхностей, приводя их посредством перемены плоскостей проекций или вращения в положение, проектирующее по отношению к одной из основных плоскостей проекций. Вспомогательное косое проектирование дает такую же возможность при любых положениях этих поверхностей, позволяя вопрос пересечения призм и цилиндров рассмотреть непосредственно на фигурах общего положения. [1, 2]

Рисунок 1. Задание пересечения двух призм общего положения - проектирование боковых ребер на наклонную и вертикальную плоскости (в уменьшенном масштабе)

На рис. 1 и 2 дано пересечение двух призм общего положения 123 и 456 при проектировании их боковых ребер на наклонную и вертикальную плоскости. На Рис. 2 призмы проектируются на некоторую произвольно избираемую плоскость проекций по двум направлениям проектирования, параллельно боковым ребрам призм. Плоскость проекций задаем осью MN и направлением носителя одного из проектирований, которые назначаем произвольно. Для определения второго носителя строим диаграмму в левой части чертежа.

Через произвольную точку S, заданную проекциями ss₁, проводим проектирующие лучи pp₁ и qq₁ параллельно боковым ребрам призмы. Проведенные через них вертикальные плоскости образуют двугранный угол с вертикальным ребром, проходящим через точку S. Известный носитель пересекается с ребром в точке, фронтальная проекция которой s₁₁, а горизонтальная s₁. Через эту же точку проходит и искомый носитель. На диаграмме находим также и направление p₁₁ q₁₁ для вторичных проекций боковых ребер обеих призм. Пользуясь этими данными, строим вспомогательные проекции боковых поверхностей призм. При одном направлении соответствующая призма проектируется треугольником, вторая параллельными прямыми; при другом, наоборот - вторая призма проектируется треугольником, а первая - параллельными прямыми. Из совместного рассмотрения обеих проекций находим вспомогательные проекции линий пересечения, а также устанавливаем, какие части поверхностей участвуют в пересечении и какие ребра с какими гранями пересекаются. Обратным проектированием находим линию пересечения в основных проекциях.

Порядок соединения точек линий пересечения устанавливаем сперва на ее обеих вспомогательных проекциях, обозначая точки буквами ABCDEFA, расположенными по ходу линии пересечения.  Тогда при первом вспомогательном проектировании проекция линии пересечения будет a₁₁b₁₁c₁₁d₁₁e₁₁f₁₁a₁₁, при втором- a₁₁₁b₁₁₁c₁₁₁d₁₁₁e₁₁₁f₁₁₁a₁₁₁. Затем обратным проектированием переносим обозначения на основную проекцию линии пересечения.

На Рис. 3 дополнительною плоскостью проекций назначена вертикальная плоскость. В этом случае носители для обоих проектирований становятся также вертикальными. Как видно из рисунка, диаграмма значительно упрощается. Общий ход построения аналогичен предыдущему.

Рисунок 2. Пересечение двух призм общего положения

Рисунок 3. Дополнительная вертикальная плоскость проекции

Проектирование на вертикальную плоскость проекций является частным случаем общего проектирования. Вертикальной плоскостью вспомогательного проектирования может быть также и плоскость фронтальная.

Обычный случай пересечения призм, стоящих на горизонтальной плоскости, при решении задачи с применением вспомогательного проектирования представляет собой полную аналогию со случаем проектирования на фронтальную плоскость. Здесь задача решается проектированием на горизонтальную плоскость, причем осью MN является ось проекций, а носитель получает глубинное направление.

Используя свободу выбора дополнительной плоскости проекций, можно ее назначать параллельной ребрам призмы, и тогда вспомогательные проекции ребер будут параллельны их основным проекциям. Возникает вопрос о вспомогательном проектировании на две плоскости проекций, из которых одна параллельна ребрам одной призмы, а другая ребрам другой призмы.

На Рис. 4-6 даны два примера пересечения призм, решенные вспомогательным проектированием на две плоскости, параллельные образующим одной и другой призмы. В одном случае эта параллельность дополнительных плоскостей проекций ребрам призм обеспечивается тем, что дополнительные плоскости определяются пересекающимися прямыми, из которых одна параллельна образующим призмы, вторая же - свободно избранная - служит осью MN. Таким образом, носители здесь не должны быть произвольны. В другом случае самими дополнительными плоскостями проекций взяты вертикальные плоскости, параллельные ребрам соответствующих призм, для чего оси MN направлены параллельно горизонтальным проекциям ребер, носители же в таком случае становятся вертикальными.

Рисунок 4. Задание пересечения двух призм общего положения - проектирование на две плоскости, параллельные образующим одной и другой призмы

На Рис. 5 построено пересечение двух призм, заданных на Рис. 4 боковыми ребрами, в общем положении. Оси MN назначены произвольного направления. Из свободно взятых точек на осях MN проводим прямые pp₁ и qq₁, соответственно параллельные ребрам первой и второй призм. На них выбираем точки ss₁ и tt₁ так, чтобы расстояния между их горизонтальными и фронтальными проекциями были равны (это мероприятие облегчит нам построение линии пересечения дополнительных плоскостей проекций путем поднятия главной плоскости соответствия на принятую между проекциями точек высоту). Для определения носителей через точки ss₁ и tt₁, проводим вертикальные секущие плоскости, соответственно параллельные второй и первой призмам. Носителями будут фронтальные проекции линий пересечения. Определив направления носителей, строим вспомогательные проекции боковых ребер призм, которые, будучи параллельны фронтальным проекциям ребер, образуют ломаные линии с изломом по прямой NN пересечения дополнительных плоскостей проекций. В последующем ход построения искомой линии пересечения призм остается тем же, что и в примерах, рассмотренных выше. Линия пересечения состоит из двух участков: участка входа и участка выхода.

На Рис. 6 пересечение тех же призм определяется вспомогательным проектированием их на две вертикальные плоскости, параллельные боковым ребрам призм. Носитель при обоих проектированиях вертикален. Вертикальна и линия пересечения дополнительных плоскостей проекций.

Проекции боковых ребер призм являются линиями, ломаными по прямой пересечения плоскостей проекций. Они состоит из участков, параллельных вертикальным проекциям ребер призм. Искомые основные проекции линии пересечения определяются обратным проектированием.

Эти примеры убеждают нас в том, что, пользуясь вспомогательным проектированием на две плоскости проекций, мы приобретаем наилучшие возможности получения компактных решений с удобным расположением на чертеже вспомогательного графического материала.

Рисунок 5. Построение пересечения двух призм, заданных на Рис. 4 боковыми ребрами, в общем положении

Рисунок 6. Пересечение призм определяется вспомогательным проектированием их на две вертикальные плоскости, параллельные боковым ребрам призм

Заключение. Вспомогательное проектирование способствует широкому обобщению пространственных решений. В этих задачах положение рассматривается в самом общем виде, не требуя предварительных преобразований с предельным упрощением построений. Способ вспомогательного проектирования по отношению к способу секущих плоскостей является высшим этапом его развития. При способе вспомогательных секущих плоскостей проведение каждой секущей плоскости является самостоятельной задачей. Вспомогательное проектирование рассматривает системы проектирующих плоскостей, чем и обусловливается новое понимание вопроса и новый подход к нему.

При использовании вспомогательного проектирования для получения дополнительных проекций как прямых, так косых и центральных, обеспечивается замкнутая проективная связь и с основными фронтальным и горизонтальным изображениями формы. Это позволяет широко использовать приемы преобразований проективной геометрии, а также включить достижения проективной геометрии в начертательную геометрию.

Список литературы:

1. Божинская-Божко Т.К. Методическое пособие к практическим занятиям по начертательной геометрии. – М.: изд. МАТИ, 1962.
2. Фролов С.А. Начертательная геометрия: учеб.для вузов. – М.: Машиностроение, 1983