СУПЕРЛИНЗА НА ОСНОВЕ МЕТАПОВЕРХНОСТИ

A SUPERLENS BASED ON A METASURFACE

Natalia Selina

Candidate of Sciences, associate Professor of the Department of General Mathematics Kuban State Technological University,

Russia, Krasnodar

Natalia Ivashchenko

senior lecturer of the Department of General Mathematics Kuban State Technological University,

Russia, Krasnodar

АННОТАЦИЯ

Предложен метод аналитического исследования металлической пленки, перфорированной цилиндрическими наноотверстиями, как основы суперлинзы, преодолевающей дифракционный предел. Показано, что диапазон рабочих длин волн для такого оптического элемента не ограничен дисперсионными характеристиками металла. 

ABSTRACT

A method for the analytical study of a metal film perforated with cylindrical nanoholes as the basis of a superlens that overcomes the diffraction limit has been proposed. It is shown that the range of operating wavelengths for such an optical element is not limited by the dispersion characteristics of the metal.

Ключевые слова: металлическая пленка с цилиндрическими наноотверстиями, плазмонный резонанс, суперлинза, преодоление дифракционного предела.

Keywords: metal film with cylindrical nanowalls, plasmon resonance, superlens, overcoming the diffraction limit.

Введение

В последние годы в научной литературе появилось понятие метаповерхности [1-6]. Это наноструктурированные металлодиэлектрические структуры субволновой толщины. Свойства метаповерхностей определяются не только особенностью их составляющего метаматериала, но и резонансами в наноструктурированном тонком слое. Здесь существенную роль приобретает распространение поверхностных плазмонов на границе раздела металла и диэлектрика. С другой стороны, важными являются условия рассеяния волны метаатомами (структурными элементами метаматериала), расположенными в одном слое.

На основе метаповерхности можно сконструировать фокусирующую линзу, голограмму, а также ближнепольные оптические элементы, преодолевающее дифракционный предел. Простейший пример линзы со сверхразрешением – металлическая пленка в окружении диэлектрика (называемая суперлинзой или линзой Пендри, по имени ученого, предсказавшего её замечательное свойство), формирующая изображение объекта с супервысоким разрешением [7].

В настоящей статье рассмотрена такая же модель металлической пленки, но как дополнительное условие – пленка перфорирована цилиндрическими отверстиями. Показано, что для неё, как и для линзы Пендри, характерна картина изображения в ближней зоне с преодолением дифракционного предела.

Для перфорированной пленки дополнительная энергия плазмонов, прошедших через отверстия, усиливает электромагнитное поле и, соответственно, интенсивность волны в плоскости изображения. Это положительный эффект, но более существенно, что возможность изменения диаметра отверстия вносит коррективы в резонансные характеристики линзы. При конструировании линзы Пендри с диэлектрической проницаемостью диэлектрика 1, диэлектрическая проницаемость металла должна быть равна -1, то есть из-за дисперсии металлов для каждой структуры фиксируется положение частоты излучения в спектре электромагнитных волн. Преимущество перфорированной пленки в том, что появляется возможность работы линзы с излучением некоторого спектра частот, а не одной частоты, как в металлической пленке.

Идея использования отверстия в металлической пленке, как источника излучения ближнего поля, не новая. Математическое исследование соответствующей модели представлено, в основном, полуаналитическими и численными результатами. В настоящей статье предложен аналитический метод расчета модели перфорированной наноотверстиями металлической пленки. Описан способ проектирования суперлинзы, работающей на различных частотах.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Распространение электромагнитной волны в неоднородной среде с диэлектрической проницаемостью ε(x,y,z) определяется решением волнового уравнения:

В работе [8] предложен нетрадиционный метод расчета волнового уравнения для плоскопараллельных слоистых кусочно-однородных сред. Уравнение (1) решалось для плоско-поляризованной ТМ волны. В этой же работе показано, что трехслойная металлодиэлектрическая структура, моделируемая тонкой серебряной пластиной между двумя диэлектрическими полупространствами, благодаря плазмонным свойствам, может служить идеальной линзой, разрешение которой преодолевает дифракционный предел.

В условиях плазмонного резонанса, когда длина волны излучения соответствует диэлектрической проницаемости металла ε=–1 и диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна ε=1, эта структура создает изображение объекта, расположенного в плоскости, параллельной пластине и отстоящей от неё на расстояние в половину ширины пластины. Изображение формируется по другую сторону пластины на таком же расстоянии от неё.

Рисунок 1. Схема хода лучей в линзе Пендри

Особенность оптического процесса в рассматриваемом случае заключается в том, что в металле имеет место отрицательная рефракция, и распространяющаяся волна является обратной. Геометрически это можно изобразить на схеме, как показано на рисунке 1. Обратный характер волны обеспечивает особое свойство линзы, необходимое для построения изображения – разность фаз между плоскостями объекта и изображения равно нулю. Таким образом, эванесцентные волны затухают на диэлектрическом участке пути с тем же коэффициентом пропорциональности, с которым усиливаются в металле. Наличие в картине изображения эванесцентных волн, которые затухают на расстоянии от объекта до изображения в обычной линзе, обеспечивает преодоление дифракционного предела.

Рассмотрим основные результаты, полученные в работе [8], где были введены обозначения:

 k₁ – волновой вектор электромагнитной волны в среде номер 1, магнитное поле волны имеет только поперечную компоненту H, диэлектрическая проницаемость ε принимает два значения:

Окончательная формула для напряженности магнитного поля волны:

где

2δ – толщина пластины, .

Дисперсионное соотношение плазмонного резонанса:

Вернемся к линзе. Для того, чтобы изменение фазы между плоскостями объекта и изображения было равно нулю, решение в рассматриваемом случае должно соответствовать формуле (3), где второй средой считается диэлектрик, которым заполнены крайние слои. Здесь имеет место плазмонный резонанс.

Отверстия в перфорированной пленке можно моделировать с помощью метода, предложенного в работе [9], где представлен расчет дисперсионной картины цилиндрического волновода. В случае отрицательного значения диэлектрической проницаемости одной из сред (сердцевина, оболочка), она приобретает характер плазмонного предела, когда диаграмма расположена под линией дисперсии фотона в свободном пространстве [10]. Расчет проведен в цилиндрической системе координат. Конечная формула для напряженности магнитного поля волны в обозначениях (2) имеет вид:

где  азимутальная компонента напряженности магнитного поля (для волны ТМ- поляризации только эта компонент отлична от нуля), функция фазы a(r) в среде номер 1 определяется уравнением:

Дисперсионное соотношение аналогично (3):

где d – радиус границы раздела сердцевины и оболочки.

В среде 2 (оболочке) функция фазы определяется равенствами:

Вычислим основные оптические характеристики серебряной пленки, перфорированной цилиндрическими отверстиями. Эксперимент свидетельствует о том, что такую структуру можно использовать как суперлинзу [1].

Рисунок 2. Геометрические параметры и ориентация в системах координат О и О′ изображения в линзе на основе металлической пленки с цилиндрическим наноотверстием

Сначала рассчитаем интенсивность волны в точке P, находящейся на расстоянии Δ от оси цилиндрического отверстия, перпендикулярной плоскости пленки, и на расстоянии b от границы пленки (рисунок 2). Мы рассматриваем металлический экран конечной толщины. Его модель – трехслойная структура, в которой возможно распространение плазмонных волн. Вытекающие по границе отверстия плазмоны, распространяются по поверхности пленки с продольной компонентой волнового вектора k_sp и поперечной компонентой k_r, учетом этого можно записать фазовый множитель волновой функции излучаемой плазмонами электромагнитной волны: . Обращает на себя внимание, что результирующая интенсивность волны, излучаемой металлической частью экрана, не зависит от величины радиуса отверстия.

Рассмотрим, каким образом формируется изображение точки P′ за экраном в условиях продольного пленке и поперечного ей плазмонных резонансов, когда выполняется равенство:  (продольная и поперечная пленке компоненты волнового вектора электромагнитной волны в диэлектрике).  С этой целью запишем волновую функцию эванесцентной волны , прошедшую оптический путь от точки P′до точки P. Заметим, что волна, попадающая в апертуру отверстия в диэлектрической области перед линзой, проходит оптический путь, равный сумме продольного и поперечного пленке приращения фазы: . Тогда волновая функция в точке Р:

Запишем равенства, определяющие каждый из множителей в этом уравнении:

С учетом записанных равенств и в приближении крайней малости отверстия вычисляем результат для волновой функции в точке изображения, фаза которой равна нулю:

Если волновые векторы лучей по всем направлениям повторяют картину в плоскости объекта и разность фаз между текущей точкой и объектом равна нулю, то в этой точке и формируется изображение.

Поскольку мы положили фазу луча в точке P′ равной нулю, проведенные вычисления показывают, что фаза волны в точках Р и P′ равная, направления распространения лучей повторяет объект. Следовательно, в точке Р формируется изображение точки P′. Вычисления показали, что эванесцентная волна усиливается в пленке с отверстием ровно настолько, насколько затухает в диэлектрике, окружающем линзу. Наличие в картине изображения эванесцнентных волн обеспечивает сверхразрешение линзы. 

Линза, формирующая изображение на расстоянии своей полуширины (линза Пендри), проектируется двумя резонансными дисперсионными уравнениями. В этом случае обязательным условием построения изображения является выполнение равенств:и .

Изображение в ней формируется в плоскости, отстоящей от объекта на расстоянии 4δ. Скорость изменения продольной пленке компоненты фазы лучей на границе пленки сохраняет модуль, но меняет знак. Поперечная пенке компонента фазы лучей изменяется на расстоянии от объекта до изображения таким образом, что её разность между границами пленки равна по модулю и противоположна по знаку приращению фазы на диэлектрическом участке оптического пути волны, волна обратная.

В результате ход лучей можно представить условной схемой, показанной на рисунке 1. Точек с нулевой фазой по всем направлениям в пространстве на оптическом пути между объектом и изображением будет две. Одна в пленке, другая в диэлектрике на расстоянии 4δ от объекта. Ход лучей отражается на границах линзы, как в зеркале.

Рисунок 3. Схема хода лучей в металлической пленке, перфорированной цилиндрическим отверстием

В случае перфорированной пленки луч попадает в отверстие и передается через него на противоположную сторону пленки. Выходной плоскостью отверстия излучается цилиндрическая волна с осью симметрии, перпендикулярной пленке (ось отверстия), радиальная компонента фазы которой, соответствует оптическому пути от оси отверстия до изображения в плоскости пленки, равному оптическому пути от объекта до входной точки отверстия на его оси, рассчитанному в том же направлении (рисунок 3). Интерференция волн в плоскости изображения дает точную картину объекта, если поперечная пленке фаза волны изменяется в металле на величину, противоположную по знаку участку оптического пути в диэлектрической области линзы.

Поперечная пленке фаза луча отражается в центральной плоскости линзы, как в зеркале, и изменяется в металле на величину , в условиях продольного и поперечного плазмонного резонанса равную a(k_md). Как видим, это значение может быть любым и зависит от материальных и геометрических параметров отверстия и пленки. Для отверстия в металле оно отрицательно. Изображение формируется на расстоянии L от объекта (). Поскольку эта величина зависит также от длины волны излучения, то и положение плоскостей изображения и объекта для разных частот будет различным. Рассчитать расположение объекта, соответствующее возможному изображению на заданной частоте, можно из условия равенства фаз в плоскостях объекта и изображения

Таким образом, линза Пендри формирует изображение только для конкретной длины волны, соответствующей на дисперсионной кривой определенному значению диэлектрической проницаемости металла (, ), а в линзе на основе перфорированной пленки можно наблюдать изображение объекта для частот из некоторых интервалов, диэлектрическая проницаемость из которых удовлетворяет дисперсионному уравнению отверстия. 

Подводя итог всем вычислениям, запишем практический результат – уравнения, позволяющие вычислить расстояние между объектом и линзой (металлической пленкой с отверстием), равное расстоянию между линзой и правильным изображением объекта:

где       

Здесь 3 уравнения с 4-мя неизвестными: .

Их решение можно представить в виде зависимости  от . Расстояние L между объектом и линзой (равное расстоянию от линзы до изображения) определяется формулой:

Таким образом, получаем алгоритм расчета расстояния L для конкретного значения длины волны излучения ().

ВЫВОДЫ

Результат исследования модели суперлинзы предложенным в статье методом, объединяющим математические способы расчета слоистых сред декартовой и цилиндрической симметрий, показал, что перфорированная цилиндрическими отверстиями металлическая пленка может быть использована для получения изображений, не ограниченных по своему разрешению дифракционным пределом. Преимущество такой структуры над суперлинзой, представляющей собой цельную металлическую пленку – существенное расширении диапазона рабочих длин волн излучения, освещающего объект. Представленный метод расчета является инструментом проектирования суперлинзы и расчета расположения объекта и пленки для формирования правильного изображения объекта.

Список литературы: 

1. Ремнев М.А., Климов В.В. Метаповерхности: новый взгляд на уравнения Максвелла и новые методы управления светом// Успехи физических наук, 188, №2, 2018, с. 169-205
2.  Hsiao H.H., Chu C.H., Tsai D.P. Fundamentals and Applications of Metasurfaces // Small Methods 2017, 1600064,
3. Li N., Fu Y., Dong Y., Hu T. et al. Metasurface Beam Deflector Array on a 12-inch Glass Wafer// Optical Fiber Communication Conference (OFC) 2020, OSA Technical Digest (Optical Society of America, 2020), paper W2A.9.
4. Zhang X.G., Yu Q. Programmable Metasurfaces: Polarization-Controlled Dual-Programmable Metasurfaces// Adv. Sci. 2020. №11. DOI:10.1002/advs.-202070058
5. Nikolaev N A, Rybak A A, Kuznetsov S A Application of metasurface-based low-pass filters for improving THz-TDScharacteristics// Journal of Physics: Conf. Series 1461 (2020) DOI:10.1088/1742-6596/1461/1/012118
6. Chen W., Ibrahim Y., Zhu A. et al. Hybrid metasurface-refractive lenses//Optical Design and Fabrication 2019 (Freeform, OFT). OSA Technical Digest (Optical Society of America. 2019). paper OT2A.4.
7. Pendry J. B. Negative Refraction Makes a Perfect Lens// Phys. Rev. Lett. 2000. 85. p. 3966 DOI: 10.1002/smtd.-201600064
8. Селина Н.В., Тумаев. Распространение электромагнитной волны в линзе Пендри// Российские нанотехнологии. 2016. Т. 11. № 5-6. С. 78-82.
9. Selina N. Solution of Maxwell’s Equations for Cylindrical Symmetry Waveguides // Journal of Applied Mathematics and Physics. 2020. Vol.8. No.5. DOI: 10.4236/jamp.2020.85058 
10. Селина Н.В. Квазиодномерные цилиндрические поверхностные плазмон-поляритоны //Наноструктуры. Математическая физика и моделирование18, № 1, 2018, с. 45-64