МЕТОД СШИВКИ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА С ПОМОЩЬЮ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ

METHOD OF NUMERICAL SOLUTIONS SEWING FOR GAS FILTRATION EQUATION USING CONTINUOUS SYMMETRY GROUPS

Pavel Markov

deputy. gen. dir. by integrat. projects of LLC "UNI-CONCORD", Tyumen

CEO of LLC "MicroModel",

Russia, Moscow

Sergey Rodionov

deputy. gen. dir. of science of LLC "UNI-CONCORD", Tyumen

chief researcher of the Tyumen Branch of ITAM SB RAS,

Russia, Tyumen

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-29-15119.

АННОТАЦИЯ

В статье представлен метод сшивки численных решений для разностных схем с помощью преобразований непрерывных групп симметрий. Решения разностных схем получаются с помощью метода генерации численных решений на основе непрерывных групп симметрий, разработанного ранее. Предложенный метод сшивки рассматривается на примере уравнения фильтрации идеального газа с учетом соотношения Клинкенберга.

ABSTRACT

This article presents a method of numerical solutions sewing for difference schemes using transformations of continuous symmetry groups. Solutions of difference schemes are obtained using the developed earlier method of numerical solutions generation on the basis of continuous groups of symmetries. The proposed method of sewing is considered using the example of the ideal gas filtration equation with respect to the Klinkenberg relation.

Ключевые слова: непрерывные симметрии, разностные схемы, сшивка численных решений, дифференциальное уравнение фильтрации газа, соотношение Клинкенберга, модели поровых сетей.

Keywords: continuous symmetries, difference schemes, sewing of numerical solutions, differential equation of gas flow in porous media, Klinkenberg relation, pore network models.

Введение

Для практического использования численных алгоритмов во многих областях необходимо, чтобы с их помощью можно было получить быстрые и точные результаты. К примеру, скорость получения многовариантных расчетов в наши дни напрямую влияет на скорость принятия решений в области разработки месторождений нефти и газа. При моделирование разработки месторождений нефти и газа является важным быстрая и надежная оценка фильтрационно-емкостных свойств (ФЕС) образцов керна моделируемого месторождения в том числе с помощью различных методов моделирования экспериментов [13].

Наличие непрерывных симметрий у используемых разностных схем дает возможность быстрой и точной генерации численных решений из полученных ранее численных решений с использованием преобразований только этих непрерывных групп [14]. Однако указанный метод был предложен только для расчетной области с однородными ФЕС ‑ постоянные коэффициент абсолютной проницаемости и пористость во всей расчетной области. При проведении, например, эксперимента по определению относительных фазовых проницаемостей образца керна используют дополнительно еще два образца с близкими ФЕС, которые располагаются у стока и источника, что подводит к нас к задаче сшивки численных решений, полученных в граничащих друг с другом областях с разными ФЕС.

Различные задачи сшивки решений рассматривались, например, в работе [15], где предложен подход сшивки аналитических и численных решений при декомпозиции областей среды с разными физическими параметрами при моделировании сейсмических полей в вязкоупругих средах, в работе [3], где для уравнений с частными производными эллиптического типа предложен метод сшивки решений.

В данной статье задача сшивки численных решений для уравнения фильтрации газа, которое является уравнением с частными производными параболического типа, предлагается решать с помощью преобразований непрерывных групп симметрии.

Определение непрерывных групп преобразований

Рассмотрим семейство преобразований , зависящее от r существенных параметров  и определяемое формулами , где . Набор параметров является существенным, если они не могут быть заменены меньшим числом функций, зависящих от них. Операцию композиции преобразований данного семейства можно задать с помощью группового закона умножения  по формуле , где . Семейство преобразований  называется локальной -параметрической непрерывной группой преобразований, если существует такое связное открытое ограниченное множество , для которого выполнены следующие аксиомы [9]:

1. для  выполнено, где ;

2. семейство преобразований удовлетворяет условию гладкости, то есть ;

3. семейство локально упорядочено в , то есть для любых  из  следует ;

4. семейство содержит тожественное преобразование, то есть существует  такое, что .

5. для любого  существует параметр  такой, что , то есть .

Множество  может быть выбрано достаточно малым так, чтобы в нем выполнялись указанные аксиомы.

Применение непрерывных групп преобразований к разностным схемам

Использование непрерывных групп преобразований позволяет работать с уравнениями различных типов как с многообразиями в соответствующем пространстве. Это означает, что непрерывные или разностные производные рассматриваются также в качестве независимых переменных. Непрерывная группа преобразований является группой симметрии для дифференциального уравнения или разностной схемы, если под действием этой группы многообразия, задаваемые ими, остаются инвариантными, то есть точка многообразия под действием группы симметрии переходит в точку многообразия [11].

Наличие непрерывных симметрий дает возможность получения решений с использованием преобразований только этих непрерывных групп. Нужно вычислить одно решение для уравнения, которое не должно быть тривиальным или инвариантным. После этого семейство решений может быть получено с использованием непрерывной группы симметрии. В большей степени это свойство использовалось при исследовании дифференциальных уравнений [9], [11]. Однако оно верно и для разностных схем [10], [12], то есть неинвариантное и нетривиальное численное решение разностной схемы переходит в другое решение под действием преобразований непрерывной группы симметрии.

Данное обстоятельство дает возможность генерации численных решений с помощью преобразований группы симметрии, на основе чего автором был разработан метод генерации численных решений, опубликованный в статье [14]. Однако данный метод накладывает требование того, что во всей расчетной области коэффициенты рассматриваемого уравнения должны быть постоянными. В частности, для представляемого ниже уравнения фильтрации газа это означает постоянство коэффициента абсолютной проницаемости K₁ во всей расчетной области, что значительно сужает спектр реальных физических задач.

Для преодоления вышеуказанных сложностей разработан описанный ниже метод сшивки численных решений, которые получаются с помощью непрерывной группы симметрии, для граничащих друг с другом областей, в которых коэффициенты для уравнения различны.

Метод сшивки численных решений с помощью непрерывных групп симметрий

Предлагаемый метод сшивки численных решений разностной схемы основывается на следующих шагах (Рис. 1):

· Разбиение расчетной области D на подобласти D_i с учетом того, что в каждой подобласти имеются свои коэффициенты для исходного уравнения и ее разностной схемы.

· Задание начальных и граничных условий, которые под действием преобразований группы симметрии данной разностной схемы переходят друг в друга.

· Получение численных решений  на сетке с узлами  для рассматриваемой разностной схемы в каждой области D^'_i по отдельности классическими методами.

· Решение системы уравнений на групповые параметры a_i группы симметрии для определения преобразований, которые переводят полученные численные решения в решения, у которых на границах областей D_i совпадают значения неизвестной функции:

o   На первом шаге формируется система уравнений, которая содержит в себе три класса уравнений: уравнения для нахождения преобразований временных и пространственных переменных, которые переводят области D^'_i в области D_i (после преобразований области могут не только совпадать, но и просто пересекаться), и уравнения на преобразования значений неизвестной функции, которые должны близко совпадать в узлах сетки на границах сшивок.

o   Решение системы уравнений идет следующим образом: комбинируются все временные и пространственные слои друг с другом для нахождения оптимального набора пар слоев сетки, на которых минимальны суммарное расстояние между узлами и соответствующими границами сшивок и суммарная разница значений неизвестной функции.

o   После нахождения решений системы уравнений на преобразования для сшивки происходит преобразование решений и обрезка узлов, выходящих за границы сшивки.

Рисунок 1. Схема метода сшивки численных решений на примере двух одномерных сеточных областей

Рассматриваемое дифференциальное уравнение фильтрации газа

Рассмотрим дифференциальное уравнение фильтрации газа с уравнением состояния  для идеального газа при постоянной температуре и соотношением Клинкенберга для проницаемости [1], которое дается формулой

где , ‑ эффективная проницаемость жидкости, ‑ тангенс угла наклона в координатах и , а также пусть и . Для этих коэффициентов уравнение записывается как

Уравнение (2) имеет четырехпараметрическую группу симметрий с однопараметрическими преобразованиями вида [2]

Для рассматриваемого уравнения (2) симметрии (3) под номером 1 и 2 являются группами переносов по времени и пространственной координате соответственно, поэтому уравнение (2) не имеет времени и пространственной переменной в явном виде. Группа преобразований под номером 3 отвечает за симметрию относительно растяжений для уравнения (2) или, по сути, за параболическую дифференциальную структуру этого уравнения. Симметрия под номером 4 возникает из-за конкретного вида коэффициента (1).

Рассматриваемая разностная схема уравнения фильтрации газа и результаты численных расчетов

Для численных расчетов используются следующее явное разностное уравнение [4]

и разностная сетка

где А ‑ коэффициент, зависящий от максимального значения времени,  ‑ среднее давление на n-ый шаг. В Табл. 1 приводятся используемые для численных расчетов параметры с помощью разностной схемы (4)-(5).

Начальные и граничные условия заданы на основе известного точного решения уравнения (2), которое представлено в [6], для проверки получаемых сшитых численных решений. Разностная схема (4)-(5) вместе с параметрами Табл. 1 соответствует задаче моделирования эксперимента по однофазной фильтрации газа, где процесс фильтрации исследуется одновременно по двум примыкающим к друг другу образцам керна.

Таблица 1.

Исходные данные для численных расчетов

Для расчетов исходных решений используются две расчетные области D₁ и D^'₂ в двумерном пространстве времени и координаты x. Для обеих областей получены численные решения с помощью решения систем уравнений, соответствующих разностной схеме (4)-(5). Численное решение в области D₁ фиксируется и для сшивки подбирается решение в области D₂ путем преобразований как самого решения, так и области D^'₂ (Рис. 1).

Результаты численных расчетов представлены ниже на Рис. 2. Сравнение полученных численных решений с существующими точными решениями показало их близкое совпадение, поэтому на рисунке ниже точное решение не отображено. Для сшивки решений найденное преобразование решения в области D₂ выглядит следующим образом:

Рисунок 2. Результаты численных расчетов: два исходных численных решения (сверху) и результат сшивки этих численных решений (снизу)

Заключение

В данной статье предложен метод сшивки численных решений, полученных с помощью непрерывных групп симметрий. Данный метод рассмотрен на примере сшивки численных решений для уравнения фильтрации идеального газа в одномерной пористой среде. Полученные результаты могут быть распространены на двумерный и трехмерный случаи.

Рассмотренная разностная схема дифференциального уравнения фильтрации газа совместно с разработанным методом сшивки численных решений могут быть использованы для следующих задач:

· Моделирование однофазного течения газа с помощью поросетевых моделей для образцов керна [5], [7], где описанная выше разностная схема и метод сшивки может применяться как для отдельных элементов сети, так и для всей сети.

· Моделирование однофазного течения газа в моделях со сплошной пористой средой для образцов керна, что было продемонстрировано в данной статье.

· Моделирование процесса закачка газа, например, в задачах подземного хранения углекислого газа [8].

Список литературы:

1. Al-Hussainy, R. The Flow of Real Gases through Porous Media / R. Al-Hussainy, H.J. Ramey, P.B. Crawford. // Journal of Petroleum Technology. ‑ 1966. ‑ Vol. 18, Iss. 5. ‑ P. 624-636.
2. Baikov, V.A. Water Redistribution in Irrigated Soil Profiles: Invariant Solutions of the Governing Equation / V.A. Baikov, R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov, V.F. Kovalev. // Nonlinear Dynamics. ‑ 1997. ‑ № 13. ‑ P. 395–409.
3. Kurzin, V.B. A sewing method for the solution of Linear boundary value problems / V.B. Kurzin. // Zh. vychisl. Mat. mat. Fiz. ‑ 1969. ‑ Vol. 9, № 5. ‑ P. 1184-1188.
4. Markov P.V. Group classification applications for analysis of discrete models of flow in porous media / P.V. Markov. // Journal of Physics: Conference Series. ‑ 2017. ‑ Vol. 894, № 1. ‑ P. 1-7.
5. Nordhaug, H.F. A pore network model for calculation of interfacial velocities / H.F. Nordhaug, M. Celia, H.K. Dahle. // Advances in Water Resources. ‑ 2003. ‑ Vol. 26. ‑ P. 1061-1074.
6. Polyanin, A.D. Handbook of nonlinear partial differential equations / A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev. – Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. ‑ xx+814 p.
7. Sinha, P.K. Pore-network modeling of liquid water transport in gas diffusion layer of a polymer electrolyte fuel cell / P.K. Sinha, C.-Y. Wang. // Electrochimica Acta. ‑ 2007. ‑ Vol. 52. ‑ P. 7936-7945.
8. Wildenborg, T. Introduction on CO2 Geological Storage. Classification of Storage Options. Oil & Gas Science and Technology / T. Wildenborg, A. Lokhorst. // Rev. IFP. ‑ 2005. ‑Vol. 60, № 3. ‑ P. 513-515.
9. Головин, С.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / С.В. Головин, А.А. Чесноков. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2008. – 113 с.
10. Дородницын, В.А. Групповые свойства разностных уравнений. ‑ М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. ‑ 240 с.
11. Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. – М.: Наука, 1983.‑ 280 c.
12. Марков, П.В. Групповая классификация дискретных динамических систем / П.В. Марков. // Нелинейная динамика. – 2013. ‑ Т. 9, № 4. ‑ С. 641–649.
13. Марков, П.В. Использование моделей микроструктуры пористой среды при расчете фильтрационных характеристик для гидродинамических моделей / П.В. Марков, С.П. Родионов. // Нефтепромысловое дело. – 2015. – № 11. – С. 64-75.
14. Марков, П.В. Метод ускорения серийных численных расчетов уравнений многофазной фильтрации в пористой среде с помощью непрерывных групп симметрий / П.В. Марков, С.П. Родионов. // Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности. – 2015. – № 12. – С. 23-30.
15. Михайлов, А.А. Численное моделирование нестационарных сейсмических полей в неоднородных упругих и вязкоупругих средах: дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 / Михайлов Александр Анатольевич. ‑ Новосибирск, 2006. ‑ 104 с.