ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА ПО ВРЕМЕНИ ЕГО РАЗРЯДА

DETERMINING THE CAPACITANCE OF THE CAPACITOR BY THE TIME OF ITS DISCHARGE

Rais Ermukanov

cadet, Department of Physics and General Technical Disciplines, N. G. Kuznetsov Naval Academy,

Russia, Kaliningrad

Dmitriy Ksendzov

cadet, Department of Physics and General Technical Disciplines, N. G. Kuznetsov Naval Academy,

Russia, Kaliningrad

Oksana Synashenko

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Department of Physics and General Technical Disciplines, N. G. Kuznetsov Naval Academy,

Russia, Kaliningrad

АННОТАЦИЯ

В статье описаны три косвенных метода определения емкости конденсатора, позволяющие с большой достоверностью узнать реальную емкость, если на конденсаторе отсутствует маркировка или нет доверия к указанным на его корпусе характеристикам. Проведен краткий литературный обзор по этой теме. Представлены данные экспериментального исследования разрядки конденсатора известной емкости С = 3300 мкФ (допуск ± 20 %) на резисторы трех разных величин сопротивления. Полученные временные зависимости разрядного тока и напряжения позволили определить постоянную времени разрядки (время релаксации), величина которой использовалась для косвенного определения емкости конденсатора.

ABSTRACT

The article describes three indirect methods for determining the capacitance of a capacitor, which allow you to know the real capacitance with great confidence, if the capacitor is not marked or there is no confidence in the characteristics indicated on its body. A brief literature review on this topic is conducted. The data of an experimental study of the discharge of a capacitor of known capacitance C = 3300 μF (tolerance ± 20 %) on resistors of three different resistance values are presented. The obtained time dependences of the discharge current and voltage allowed us to determine the discharge time constant (relaxation time), the value of which was used to indirectly determine the capacitance of the capacitor.

Ключевые слова: электроемкость конденсатора, разрядка конденсатора, время релаксации, скорость разрядки, косвенные методы определения емкости.

Keywords: electrical capacity of capacitor, capacitor discharge, relaxation time, discharge rate, indirect methods for determining the capacitance.

Конденсатор – это реактивный элемент электрической цепи, способный не только накапливать электрический заряд, но и отдавать его. В соответствии со вторым законом коммутации напряжение на конденсаторе (а значит и его заряд) не может изменяться скачком [1, 2], что активно используется в колебательных контурах, RC-фильтрах, интегрирующих цепях, стабилизаторах [3]. Главной характеристикой конденсатора является емкость С, численно равная заряду, который нужно перенести с одной обкладки на другую для того, чтобы изменить разность потенциалов между ними на единицу. Номинальное значение емкости (в микрофарадах (мкФ, μF), нанофарадах (нФ, nF) и пикофарадах (пФ, pF)), допуск (допустимое отклонение от номинала в процентах), а также предельное (максимально допустимое) напряжение, подаваемое на конденсатор, зачастую указываются на корпусе элемента в виде буквенной или цифровой маркировки.

Иногда требуется узнать реальную емкость, если на конденсаторе отсутствует маркировка или нет доверия к указанным на его корпусе характеристикам. Особенно актуален вопрос в случае электролитических конденсаторов, которые с течением времени имеют свойство высыхать и изменять свои параметры. Для этого используют мультиметр с возможностью измерения емкости или LC-метр с подходящим диапазоном измерения емкостей.

Если в наличии специальных приборов нет, а есть только простой мультиметр и блок питания, измерение емкости конденсатора можно провести с помощью известных законов физики.  Известно, что при зарядке конденсатора емкостью С от источника постоянного напряжения через резистор сопротивлением R, существует закономерность, по которой напряжение на конденсаторе экспоненциально приближается к напряжению источника (рис.1). За время, равное t = 3·RC, напряжение на конденсаторе в процессе зарядки достигнет 95% напряжения, приложенного к RC-цепочке [4, 5]. Значит, зная напряжение блока питания, номинал резистора, и имея в распоряжении секундомер, можно легко измерить троекратную постоянную времени 3τ и вычислить затем емкость конденсатора по известной формуле:

.

Следует отметить, что авторы [6] рекомендуют различать постоянную времени для случаев зарядки τ_зар = (R+r₀)C (r₀ – внутреннее сопротивление источника) и разрядки τ_раз = RC конденсатора, а при оценке систематической погрешности измерения напряжения предлагают учитывать входное сопротивление вольтметра.

Время переходного процесса при разрядке конденсатора оценивается примерно в 3τ_раз, когда напряжение уменьшается в е³ = 20 раз [7]. Отметим, что при этом до установившегося значения напряжения остается лишь 1/20 = 5 % от исходного значения U₀.

Рисунок 1. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его разрядке (1) и зарядке (2) [3, 4]

Практикующие специалисты в электронной технике рекомендуют использовать предложенный авторами [4-6] метод определения емкости по постоянной времени τ только для случая разрядки конденсатора, так как он будет обеспечивать меньшую погрешность [4]. Дело в том, что во время зарядки часть полезной энергии будет расходоваться на компенсацию токов утечки и измеренная емкость будет гораздо больше реальной.

Описание метода измерений

Исследование разрядки конденсатора проводилось с помощью цепи, содержащей сопротивление R и емкость C, схема которой показана на рис. 2 а. Конденсатор заряжался до напряжения U₀ от регулируемого источника постоянного напряжения через замкнутый ключ К₁. Если отключить заряженный конденсатор от генератора (разомкнуть ключ К₁) и, замкнув ключ К2, присоединить к его обкладкам резистор сопротивлением R, в замкнутой электрической цепи потечет так называемый разрядный емкостной ток. Поскольку номинальное значение сопротивления резистора имеет разброс ±10 %, с целью уменьшения погрешности вычислений фактическое значение сопротивления измерялось мультиметром.  Текущее значение напряжения на конденсаторе определялось с помощью цифрового мультиметра в режиме вольтметра в зависимости от времени, которое фиксировалось секундомером с интервалом в 2 с. Сила тока в цепи определялась с помощью цифрового мультиметра в режиме миллиамперметра.

а                                                               б

Рисунок 2. Электрическая схема для зарядки (а) и разрядки (б) конденсатора

Как накопление (или убыль) заряда, так и изменение разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи при зарядке (разрядке) конденсатора происходят не мгновенно, а за некоторый конечный промежуток времени.

Получим закон изменения во времени разности потенциалов U_c на конденсаторе при его разрядке. Применим закон Ома для замкнутой цепи, изображенной на рис. 2 б:

,                                                                         (1)

где , а  – падение напряжения на резисторе.

Так как заряд на обкладке конденсатора равен q = CU_С , сила тока в цепи:

.                                                              (2)

Знак «–» в уравнении (2) обусловлен тем, что ток считается положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной, а выбранное положительное направление тока соответствует уменьшению заряда на обкладках конденсатора.

Учитывая последние соотношения, перепишем выражение (1) как

.

Разделив переменные

,

проинтегрируем, учитывая пределы интегрирования: в момент времени t = 0  напряжение U_С = U₀, а в момент времени t  - напряжение U.

 ,

.

Потенциируя последнее уравнение, получим закон изменения напряжения на  конденсаторе от времени:

.                                                                       (3)

Закон изменения силы тока:

                                                    ,                                                                     (4)

где – максимальное значение разрядного тока.

На рис.3 а изображен график U=ƒ(t), соответствующий формуле (3).

Время, в течение которого величина напряжения на конденсаторе (разрядного тока) уменьшается в е (2,7) раз, называется временем релаксации τ (постоянной времени). Параметр τ широко применяется при расчетах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов [1-3, 6].

Если t = τ , то ,  тогда ,

следовательно

                                                         τ = R·С.                                                                           (5)

В данной работе емкость конденсатора определяется тремя методами.

Первый метод (по времени релаксации) следует из формулы (5). Найдя значение , по графику U(t) (рис.3 а) можно определить время релаксации τ. Зная R, емкость конденсатора определяется как

                                                            .                                                                         (6)

а                                                               б

Рисунок 3. Примерный вид зависимостей U и ln(U₀/U) от времени

На рис. 4 показан экспериментальные графики уменьшения напряжения на конденсаторе при разряде от величины U_С0 = 7,15 В до значения порядка 5 % от U_С0, соответствующего времени 3τ_раз. Величина напряжения при этом уменьшается сначала быстро, а затем медленнее. На рис. 5 представлен график изменения разрядного тока со временем. Сила разрядного тока зависит от величины сопротивления R и по закону Ома I_разр = U_C/R: в начальный момент, когда напряжение па обкладках конденсатора наибольшее, сила разрядного тока также наибольшая, а с уменьшением U_C в процессе разряда уменьшается и разрядный ток; при U_C = 0 разрядный ток прекращается. 

Продолжительность разряда зависит: 

1) от емкости конденсатора С; 

2) от величины сопротивления R, на которое конденсатор разряжается. 

Чем больше сопротивление R, тем медленнее будет происходить разряд. Это объясняется тем, что при большом сопротивлении сила разрядного тока невелика и величина заряда на обкладках конденсатора уменьшается медленно.

Рисунок 4. Зависимость напряжения от времени при разрядке конденсатора при различных значениях сопротивления резистора

Это можно показать на графиках разрядного тока одного и того же конденсатора, имеющего емкость С = 3300 мкФ, заряженного до напряжения 7,15 В, при трех разных величинах сопротивления R₁ = 5970 Ом, R₂ = 10000 Ом, R₃ = 14800 Ом (рис. 5). Таблица 1 иллюстрирует экспериментальные и расчетные данные для эксперимента при одном из сопротивлений R₂ = 10000 Ом. Для наглядности на рис.6 представлена зависимость скорости изменения разрядного тока от времени для трех значений сопротивления, где явно наблюдается более резкое уменьшение силы тока с течением времени в случае разряда конденсатора на резистор с меньшим номиналом.

Рассчитанные по формуле (6) значения емкости конденсатора для трех значений сопротивления, их отклонения от номинала ΔC/C_ном в процентах и их средние значения представлены в таблице 2. Необходимо отметить, что определять время релаксации можно и по временным зависимостям разрядного тока (см. рис. 5), а полученные значения τ_раз не отличаются от полученных с помощью графиков U = f(t).

Таблица 1.

Экспериментальные данные разряда конденсатора С = 3300 мкФ на резистор R = 10 кОм

Рисунок 5. Зависимость разрядного тока конденсатора от времени при различных значениях сопротивления резистора

Рисунок 6. Зависимость скорости изменения разрядного тока от времени

Более точное определение емкости конденсатора обеспечивает второй метод – по тангенсу угла наклона . Преобразуем выражение (3) к виду

и логарифмируя получим

.                                                                        (7)

Таким образом, , то есть представляет собой линейную функцию времени (примерный вид зависимости представлен на рис. 3 б). Построив экспериментальные зависимости ln(U₀/U) от времени (рис. 7) можно найти тангенс угла наклона прямой к оси t (рис. 3 б). Так как линейная зависимость выходит из начала координат, tgα можно определить, выбрав любое значение  и по графику найти соответствующее ему время t:

.                                                                     (8)

С другой стороны, из формулы (7) следует, что

.                                                                     (9)

Зная tgα, из формулы (9) можно найти емкость конденсатора:

.                                                                   (10)

Нахождение тангенса угла наклона прямой с помощью выражения (8) актуально в случае построения графика «вручную». Значительно упрощает расчет и минимизирует его погрешность использование специального программного обеспечения. Программный продукт Microsoft Excel, предназначенный для построения графиков и диаграмм, позволяет аппроксимировать экспериментальные точки с помощью набора стандартных функций, в том числе и линейной функцией с указанием ее уравнения в виде y = kx. Коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла наклона прямой. Определенный описанным способом tgα и рассчитанные по формуле (10) значения емкости для трех значений сопротивления представлены в таблице 2.

Рисунок 7. Зависимость ln(U₀/U) от времени

Таблица 2.

Расчетные значения емкости С конденсатора, отклонения емкости от номинала ΔC/C_ном в процентах и их средние значения

Третий метод – по времени релаксации, полученному для нескольких значений сопротивления. Одним из косвенных методов определения емкости конденсатора по времени релаксации может быть усреднение экспериментальных значений t в зависимости от сопротивления R резистора. На рис. 8 приведен пример такого усреднения t = f(R) для трех экспериментальных точек. Линейная аппроксимация зависимости  t = k·R позволила определить коэффициент k (как тангенс угла наклона прямой), который по сути явлется искомой емкостью С конденсатора:

 .                                                                      (11)

Найденное по формуле (11) значение емкости равно C = 3508 мкФ, при этом отклонение от номинала составило 6,3 %.

Рисунок 8. Зависимость времени релаксации разряда конденсатора от сопротивления резистора

Какой из предложенных трех методов определения емкости конденсатора обеспечивает наименьшее отклонение от ее реального значения, может показать измерение емкости с помощью специальных приборов. Оценка погрешности косвенных измерений емкости, а также изучение временных зависимостей разрядного тока и напряжения для различных значений С станут предметами наших дальнейших исследований.

Список литературы:

1. Матвиенко В.А. Основы теории цепей: учеб. пособие для вузов. — Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2016. — 162 с.
2. Разряд конденсатора через активное сопротивление [электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://studfile.net (дата обращения 23.04.2021)
3. Зарядка и разрядка конденсатора через резистивный делитель. Переходные процессы в RC-цепи [электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://www.zen.yandex.ru/media/itmentor/zariadka-i-razriadka-kondensatora-cherez-rezistivnyi-delitel-perehodnye-processy-v-rccepi (дата обращения 20.03.2021)
4. Повный А. Как просто определить емкость конденсатора подручными средствами [электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://www.electrik.info/main/master/1124-kak-opredelit-emkost-kondensatora (дата обращения 20.03.2021)
5. Чуев А.С., Бовенко В.Н. Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора: методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016. — 18 с.
6. Беззубов Ю.И. Изучение процесса зарядки и разрядки конденсатора: методические указания к лабораторной работе Э-3 по курсу «Общая физика». — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. — 9 с.
7. Заряд и разряд конденсатора [электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://www.electroandi.ru/toe/per-proc/zaryad-i-razryad-kondensatora (дата обращения 23.04.2021)