ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ ИЗУЧЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

REVIEW OF THE RESULTS OF RESEARCH IN THE FIELD OF STUDYING THE SPREAD OF VIBRATIONS IN AN HALF-SPACE

Alexandr Shebunyaev

postgraduate student of the Department of Soil Mechanics and Geotechnics, Moscow State University of Civil Engineering,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье приводится обзор основных результатов исследований в области изучения распространения динамических колебаний применительно к решению прикладных задач геотехники. Проектирование фундаментов вблизи источников динамических воздействий или являющихся таковыми является распространенной задачей в геотехнике и требует оценки вибраций на эксплуатационные параметры сооружений и напряженно-деформированное состояние грунтового массива. Изучения отечественного и зарубежного опыта является важным этапом в постановке научной задачи и ведению дальнейших научных исследований в данной области.

ABSTRACT

The article provides an overview of the main results of research in the field of studying the spread of dynamic vibrations in relation to solving applied problems of geotechnics. The design of foundations near sources of dynamic impacts or those that are such is a common task in geotechnical engineering and requires an assessment of vibrations on the exploitation parameters of structures and the stress-strain state of the soil mass. The study of domestic and foreign experience is an important stage in setting a scientific task and conducting further scientific research in this area.

Ключевые слова: полупространство; распространение колебаний; задача Лэмба; колебание штампа.

Keywords: half-space; spread of vibrations; Lamb's problem; stamp oscillation.

При воздействии динамической нагрузки на упругое полупространство в массиве распространяются механические колебания в виде волн. Изучению волновых явлений в упругих средах посвящено множество отечественных и зарубежных работ.

Задачи данной области рассматривались выдающимися исследователями в области математической физики. В XIX веке среди этих ученых были Рэлей (Rayleigh) [29] и Пуассон (Poisson) [32], в XX веке – Ляв (Love) [30] и Лэмб (Lamb) [28], а позже и Миндлин (Mindlin) [31].

Возникающие механические волны в однородном изотропном упругом полупространстве при динамическом нагружении можно разделить на объемные и поверхностные, исключив при этом волноводные и канализированные типы волн, которые возникают в тонких пластиках и неровных поверхностях соответственно [10, 12]. Объемные волны распространятся по всему объему упругого полупространства и по вектору смещения колеблющихся частиц разделяются на объемные продольные волны (также P-волны, волны сжатия или волны дилатансии) и объемные поперечные волны (также S-волны, волны сдвига или волны дисторсии) [10, 12]. Продольные волны заставляют колебаться частицы вдоль направления распространения волны посредством чередования участков разряжения и сжатия. Волны сдвига, наоборот, заставляют колебаться частицы среды перпендикулярно вектору распространения волны. Следует отметить, что волны сдвига проявляются исключительно в твердых средах, в жидкостях и газах при отсутствии сопротивления сдвигу поперечные волны не распространяются [10, 12, 23].

Поверхностные волны распространяются вдоль свободной поверхности тела либо вдоль границы двух сред с различными механическими характеристиками. В рамках рассматриваемой задачи имеют место быть исключительно поверхностные волны Рэлея (Rayleigh) [29] с вертикальной поляризацией. Другие поверхностные волны типа волн Стоунли (Stoneley), распространяющихся вдоль плоских границ двух упругих полупространств, или волн Лява (Love), возникающих в упругом слое, граничащем с полупространством, в рамках рассматриваемой задачи не возникают [10, 12, 23]. Колеблющиеся точки среды под действием волн Рэлея совершают как продольные колебания, так и поперечные перпендикулярно свободной плоскости колебания, описывая тем самым эллиптическую траекторию [10].

Скорость распространения продольных волн c_p, поперечных волн c_s и волн Рэлея c_R зависит от физико-механических свойств среды, через которую они проходит (1) [4, 10, 12, 23]:

Отсюда следует, что скорость распространения продольных волн c_p больше в ~1,41 раз, скорость распространения поперечных волн c_s. Скорость распространения поперечных волн c_s и волн Рэлея c_R сопоставимы и их отношение для большинства твердых материалов находится в диапазоне c_R=(0,87÷0,96)·c_s [4, 10, 12, 23].

Впервые в 1904 г. Лэмбом (H. Lamb) решена задача об импульсном воздействии (функция Хевисайда по времени) сосредоточенной силы (дельта-функция Дирака для размера площадки приложения нагрузки) на упругое сплошное полупространство [10]. В своей работе Лэмбу удалось получить решение для колебаний поверхности полупространства в явном виде в двухмерной постановке задачи и в виде одиночного интеграла для пространственной задачи. Позже в 1932 г. задача Лэмба была решена в явном виде на всей границе полупространства Смирновым В.И. и Соболевым С.Л. [18], а в 1933 г. ими же получено решение для всего полупространства в трехмерной постановке в виде однократного интеграла от функции по контуру в комплексной плоскости [19]. Позднее в 1939 г. Каньяр (L. Cagniard) решил данную задачу собственным методом в явном виде для всего полупространства [27]. Схема распространения объемных продольных волн (P-волн), объемных поперечных волн (S-волн) и волн Рэлея (R-волн) приведена ниже на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема задачи Лэмба с распространением волн в полупространстве

В момент приложения нагрузки P в полупространстве образуется полусферический фронт распространения P-волн и S-волн. В произвольной условно заглубленной точке A₁ продольная волна сначала вызывает приращение радиальных перемещений, а затем с опозданием поперечная волна вызывает приращение тангенсальных перемещений, значения которых убывают с расстоянием от точки приложения нагрузки. При прохождении S-волн в области свободной поверхности возникают R-волны, которые оказывают влияние на поверхностные волны (точка «B» на рисунке 1) и точки, расположенные рядом с поверхностью на глубину порядка длины самой волны [10].

Распределение переносимой энергии между P-, S- и R-волнами зависим от размера площадки приложения нагрузки и коэффициента Пуассона [7]. При сосредоточенном приложении нагрузки (a→0) в плоской постановке волны Рэлея уносят ~49% энергии, поперечные волны ~29%, а продольные волны ~22% [7]. В осесимметричной постановке R-волны переносят ~67% энергии, S-волны переносят ~26% энергии, а P-волны переносят всего ~7% энергии [7, 12]. Характер распространения энергии между типами волн (рисунок 2а) и график распределения относительного количества энергии в долях единицы между типами P-, S- и R-волн в зависимости от размера площадки приложения нагрузки (рисунок 2б) приведены ниже [7].

Рисунок 2. Характер распространения энергии между типами волн (а) и график распределения относительного количества энергии между типами волн в зависимости от размера площадки приложения нагрузки (б)

Интересный вывод прослеживается из анализа рисунка 2б, который заключает в следующем: с увеличением размера площадки приложения нагрузки возрастает относительное количество энергии продольных волн и падает относительная энергия поперечных волн и волн Рэлея.

Для решения такого рода задач пользуются уравнениями динамики объемного элемента сплошной среды с частными производными второго порядка от перемещений u, v и w по координатам x, y, z и t (2) [1, 3, 5, 7, 11, 14, 15, 23]:

В динамической теории упругости вектор перемещений u{u,v,w} представляется в виде суммы потенциалов (3) [3, 7, 11, 14, 23]:

где: φ(x,y,z,t)– скалярный потенциал поля перемещений;

ψ{ψ_x,ψ_y,ψ_z}– векторный потенциал поля перемещений.

Таким образом, в условиях плоской деформации компоненты перемещений определяются следующими выражениями (4) [3, 7, 11, 14, 23]:

а задача сводится к решению волновых уравнений (5) [3, 7, 11, 14, 23]:

Плоская задача о действии на упругое полупространство равномерно распределенной по ширине 2a нагрузки σ, изменяющейся по времени как δ-функция Дирака, решена Сеймовым В.М. [17]. Как и описано выше, решение приведено только для точек на свободной поверхности полупространства (z=0). Функции для горизонтальных u(x,t) и вертикальных w(x,t) перемещений приведены ниже (6):

где: H(ξ) – единичная ступенчатая функция Хевисайда;

ζ – корень уравнения F(η)=0.

Задача о действии импульсной нагрузки, изменяющейся по времени как δ-функция Дирака и распределенной по площади круга, приведена в работе Ильичева В.А. [2, 8, 20]. Графики распространения вертикальных колебаний по поверхности полупространства (z=0), полученные Ильичевым В.А., приведены ниже на рисунке 3. Аналогичная задача при изменении нагрузки во времени по гармоническому закону решена Шехтер О.Я. [2, 20, 24, 25, 26] и Муравским Г.Б. [2, 13, 20].

Рисунок 3. График вертикальных колебаний при импульсных воздействиях φ₀ и φ₁, полученные Ильичевым В.А. [2, 8, 20]

Задача о действии равномерно распределенной нагрузки, приложенной по прямоугольной площадке размером 2a×2b и изменяющейся во времени по гармоническому закону, решена Сретенским Л.Н. [2, 20, 21]. Решение данной задачи Сретенским Л.Н. представлено в виде выражений для вертикальных w и горизонтальных u_r перемещений на свободной границе полупространства (z=0). Данные выражения приведены ниже (7):

Асимптотические выражения для перемещений u не на границе, а самом в полупространстве, в дальнем поле при действии произвольной нормальной нагрузки p(x,t) в условиях плоской деформации имеют следующий вид (8) [7]:

где: θ – угол между вертикалью и радиальным вектором из начала координат к площадке, относительно которой вычисляется перемещение ;

R – радиальное расстояние от точки приложения нагрузки до площадки, на которой вычисляется перемещение ;

f(k₁sinθ) – интегральное преобразование Фурье функции нагрузки p(x,t) по переменной k₁sinθ;

f(k₂sinθ) – интегральное преобразование Фурье функции нагрузки p(x,t) по переменной k₂sinθ;

P – сосредоточенная сила;

G – модуль сдвига;

ω – круговая частота;

c₁– скорость распространения продольных волн;

c₂ – скорость распространения поперечных волн.

Для более наглядного представления распространения колебаний приведем данные выражения в полярной системе координат [7] (9):

Перемещения на свободной поверхности при x>a в ближнем поле имеют следующий вид (10) [7]:

Выражения для перемещения точек границы полупространства имеют в дальнем поле учитывают вклад волны Рэлея (11) [7]:

где: k_R – рэлеевский корень уравнения F(ξ)=0, которое имеет вид (12):

Практическом отношении в геотехнике преимущественно решаются задачи колебаний тел (штампов) на упругом основании, а предметом исследования является получение функции перемещений колеблющихся тел и функции напряжений под подошвой таких штампов [3, 6, 7, 9, 16, 17, 20, 22].

Ильичевым В.А. для определения вертикальных колебаний невесомого круглого штампа на однородном упругом полупространстве под действием вертикальной импульсной нагрузки S, изменяющей по времени как δ-функция Дирака, для диапазона значений коэффициента Пуассона 0<ν<0,4 предлагается следующее аппроксимирующее выражение (13) [2, 9, 20]:

где: S – значение импульса;

a – радиус штампа;

ρ₀ – плотность материала полупространства;

c₂ – скорость распространения поперечных волн;

γ₁ и γ₂ – коэффициенты, зависящие от коэффициента Пуассона.

Также Ильичевым В.А. получено следующее аппроксимирующее выражение (14) для горизонтальных колебаний круглого невесомого штампа на упругом однородном полупространстве под действием горизонтальной импульсной нагрузки S, изменяющей по времени как δ-функция Дирака [2, 20]:

Плоская задача о колебаниях весомого штампа шириной 2a и толщиной h под действием гармонической нагрузки p(t)=pe^iζt решена Сеймовым В.М. [17]. Решение данной задачи в виде выражения для вертикальных перемещений w приведена ниже (15):

где: A₀ – функция времени, получаемая из разложения функции нагрузки в ряд по полиномам Чебышева I рода

φ_w – сдвиг фаз между силой  и перемещением штампа;

Ниже на рисунке 4а приведены графики эпюры контактных напряжений через 1/16 периода (при m₀=0,4; ν=0,3; ζ=1,0) и характер изменения коэффициента затухания ξ и частоты свободных колебаний ζ от массы штампа m₀ (см. рисунок 4б) [17].

Рисунок 4. Эпюры контактных напряжений (а) через 1/16 периода (при m₀=0,4; ν=0,3; ζ=1,0) и характер изменения коэффициента затухания ξ и частоты свободных колебаний ζ от массы штампа m₀ (б)

По результатам анализа отечественных и зарубежных исследований в области изучения распространения колебаний в полупространстве установлено, что данная тема детально проработана на высоком математическом уровне с получением большого объема научного и прикладного теоретического и практического материала. Расширить знания данной области предлагается посредством исследования колебаний полупространства при действии динамической нагрузки, но не в линейной постановке задачи, а принимая во внимание реологические свойства среды – ее вязкость, что в области геотехники представляется чрезвычайно важным при изучении колебаний песчаного массива, т.к. дисперсные грунты подвергается разжижжению при вибрации [16, 20]. Введение в расчетную модель данного параметра позволит получить более реальные значения компонентов напряженно-деформированного состояния основания: должно измениться распределение энергии между продольными и поперечными волнами за счет вязкого демпфирования разжиженных песков, что неизбежно приведет к изменению картины распространения колебаний как в плане, так и по глубине массива.

Список литературы:

1. Баркан Д.Д. Динамика оснований фундаментов. Стройвоенмориздат, 1948 г. – 411 с.
2. Барштейн М.Ф., Бородачев Н.М., Блюмина Л.Х. и др.; Под ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. – М.: Стройиздат, 1981. – 215 с. – (Справочник проектировщика).
3. Бородачев Н.М. Контактные задачи теории упругости при динамическом нагружении // Контактные задачи и их инженерные приложения. (Доклады конференции). М., 1969. – с. 160-168.
4. Бреховских Л.М. Введение в механику сплошных сред: В прил. к теории волн / Л.М. Бреховских, В. В. Гончаров. – М.: Наука, 1982. – 335 с.: ил.
5. Веселовский З. Динамические задачи нелинейной теории упругости. Киев: Наук. думка, 1981. – 216 с.
6. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамический контактные задачи с подвижными границами. – М.: Наука. Физматлит, 1995. – 352 с.
7. Гриниченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах // – Киев: наук. думка, 1981. – 284 с.
8. Ильичев В.А. Определение вертикальных перемещений поверхности грунта вне колеблющегося фундамента // Динамика оснований, фундаментов и подземных сооружений. – Ташкент, 1977. – с.33-36.
9. Ильичев В.А., Таранов В.Г. Экспериментальное изучение взаимодействия вертикально колеблющегося фундамента и его основания. – Основания, фундаменты и механика грунтов, 1976, №2, с.9-12.
10. Кулеш М.А. Волновая динамика упругих сред / М.А. Кулеш, И.Н. Шардаков. – Пермь: Перм. ун-т, 2007. – 60 с.
11. Купрадзе В.Д. (общ. ред.). Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости Монография. – М. Наука, Гл. ред. физ-мат литературы, 1976. – 664 с. ил.
12. Морозов Е.М. Контактные задачи механики разрушения / Е.М. Морозов, М.В. Зернин. – М.: Машиностроение, 1999. – 544 с.
13. Муравский Г.Б. К расчету вынужденных вертикальных колебаний круглого штампа, опирающегося на упругое основание. // Сб.: Основания, фундаменты и механика грунтов, №1 (1966).
14. Новацкий В. Теория упругости Пер. с польск. Б. Е. Победри. – М. Мир, 1970. – 256 с.
15. Поручиков В.Б., Методы динамической теории упругости, М.: Наука, 1986.
16. Савинов О.А. Современные фундаменты под машины и их расчет. Стройиздат, 1964, 346 с.
17. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Изд-во «Наукова думка», – 1976. – 283 с.
18. Смирнов В.И., Соболев С.Л. Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний, Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, 1932, № 20, 37 c.
19. Смирнов В.И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний в пространстве при наличии осевой симметрии, Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, 1933, № 29, с. 43-51.
20. Справочник геотехника. Основания, фундаменты и подземные сооружения: издание второе, дополненное и переработанное / Под общей ред. Ильичева В.А. и Мангушева Р.А. – М.: Изд-во АСВ, 2016. – 1040 с.
21. Сретенский Л.Н. Упругие волны, возникающие от нормальных напряжений, приложенных к поверхности полупространства. – В кн.: Проблемы механики сплошной среды. М., 1961 г.
22. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов: монография. М.: Изд-во АСВ, 2009. 552 с.
23. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности // Новосибирский Гоударственный Университет. Новосибирск, 1968.
24. Шехтер О.Я. Вынужденные горизонтальные колебания круглого штампа на упругом полупространстве. – В сб.: Основания, фундаменты и подземные сооружения. №61. – М.: Госстройиздат, 1971, с 26-30.
25. Шехтер О.Я. О взаимном влиянии двух жестких круглых штампов на упругом полупространстве при вертикальных осесимметричных гармонических воздействиях на них. – Труды НИИОСП, Стройиздат, 1963, вып. 62. Основания, фундаменты и подземные сооружения, с. 3-10.
26. Шехтер О.Я. О решении осесимметричных задач для круговых плит на упругом основании / О.Я. Шехтер // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1966. – №5. – с.1-5.
27. Cagniard L., R´eflexion et r´efraction des ondes s´eismiques progressives, Paris, 1939.
28. Lamb H., On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid, Phil. Trans. Roy. Soc. London A203 (1904), 1-42.
29. Lord Rayleigh, London Math.  Soc. Proc., 20, 225 (1888).
30. Love A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Dover, N.Y., 1927, Chapter XIII; перевод – Ляв А., Математическая теория упругости, НТИ, М., 1935 г.
31. Mindlin R.D., US Army Signal Corps Engineering Lab. Rept. DA-36-039 SC-56772, Fort Monmouth, New Jersey, 1955.
32. Poission S.D., Mem. Acad. Sci. Paris, 8 (Ser. 2), 623 (1829).