РАСЧЕТ ГЕОМЕТРИИ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ В КОЛЬЦЕВОМ ПАЗУ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ МЖУ

АННОТАЦИЯ

В работе рассмотрены вопросы расчета геометрии сечения кольцевых, дисковых, прямоугольных и трапецеидальных ПМ, в том числе и со скруглениями боковых граней. Определены геометрические параметры системы ПМ в кольцевом пазу: максимальное число ПМ, площадь одного и суммарная площадь ПМ и коэффициент заполнения кольцевого паза ПМ. Определено, что суммарная площадь ПМ в кольцевом пазу СМ для дисковых и прямоугольных ПМ имеет максимум. Полученные соотношения имеют аналитический характер и имеют назначение быть основой математической модели геометрического блока программы расчета оптимальной геометрии МЖУ.

Ключевые слова: система магнитная, кольцевой паз, постоянный магнит дисковый, прямоугольный, трапецеидальный, скругление боковых граней.

Принятые сокращения:

МЖУ – Магнитожидкостное уплотнение;

ПМ – Постоянный магнит;

СМ – Система магнитная;

В настоящее время МЖУ находят широкое применение в качестве уплотнительных элементов устройств, с внутренним давлением отличающимся от давления окружающей среды или равным, но требующим их разделения, например, по требованиям безопасности. Источником магнитного поля в рабочем зазоре, как правило, служат постоянные магниты кольцевой, дисковой, прямоугольной или трапецеидальной формы. В задачи настоящей работы входят:

- Получение аналитических зависимостей, описывающих геометрию группы ПМ, указанных выше форм, расположенных в кольцевом пазу СМ. Зависимости необходимы для проведения численных расчетов оптимальной геометрии СМ и МЖУ в целом;

- Оценка влияния геометрии ПМ  и СМ на их

а) Суммарную площадь в кольцевом пазу .

б) Коэффициент заполнения кольцевого паза ПМ -  (для дисковых ПМ).

Указанные параметры могут быть использованы в качестве частных функций цели при оптимизации СМ в составной функции цели [5, с.146] оптимизации МЖУ;

-Разработка рекомендаций по выбору геометрии ПМ, обеспечивающей при заданной его форме, оптимум частным функциям цели.

Поставленная задача решалась аналитически и численными методами с использованием графического редактора КОМПАС в18.1 и MAPLE v18 для обработки результатов расчетов.

Рисунок 1. Варианты исполнений индукторов МЖУ: а – магнитопровод сборный; б – магнитопровод цельный. 1 – магнитопровод, 2 – наконечник полюсный, 3 – проставка немагнитная, 4 – кольцо уплотнительное, 5 - ПМ

В настоящее время разработано достаточно большое количество конструктивных вариантов исполнения зоны расположения ПМ МЖУ в магнитопроводе. В работе рассматриваются СМ (см. рис.1) аксиальных МЖУ, рабочий зазор которых образуется цилиндрическими или коническими поверхностями магнитопровода и вала.

При этом ПМ, как правило, устанавливаются в кольцевые пазы. На рис.1а изображено МЖУ с разъемным, а на рис.1б с неразъемным (цельным) магнитопроводами. Разъемное исполнение обладает меньшим рассеянием магнитного потока, за счет исключения ферромагнитной перемычки, а также позволяет использовать кольцевые ПМ. Неразъемное же проще как конструктив: исключает сборку магнитопровода и обеспечивает полную герметичность на всей длине магнитопровода из-за отсутствия зазоров в соединениях.

Обозначения на рисунках 1:

 – внутренний и наружный диаметры магнитопровода, мм.;

 – внутренний минимальный и наружный максимальный диаметры расположения ПМ. Из конструктивных и технологических соображений должны выполняться условия:

где  – радиальный технологический зазор между выступающей частью ПМ и наружным (посадочным) диаметром магнитопровода, обеспечивающий ввод СМ в корпус МЖУ без контакта ПМ с корпусом, мм.

Как правило, хотя бы для одного из подшипников (не показаны) соблюдается равенство наружного диаметра подшипника наружному (посадочному) диаметру магнитопровода:

где - наружный диаметр подшипника, мм.

Перейдем к относительным величинам, приняв:

где:  -Центральный угол половины шага ПМ при  (см. рис.2, 3 и 4);

Рисунок 2. Форма исполнения ПМ: а- кольцевая, б - дисковая

–Максимальное число ПМ в кольцевом пазу при их плотной укладке, т.е. касании;

- Целое число ПМ при ;

 – Относительные наружный и внутренний диаметры расположения ПМ (вписанная и описанная касательные окружности к контурам ПМ);

 – Относительный внутренний диаметр подшипника;

 – Относительная площадь кольца паза расположения ПМ (известное уравнение площади кольца);

 – Относительная суммарная площадь ПМ в одном кольцевом пазу СМ при –относительной площади одного ПМ с заданной по рис.2, 3 и 4 формой. Площадь одного ПМ равна  , мм².

Общая площадь ПМ  и ее отношение к площади кольца по (1д) - приняты в рамках настоящей работы функциями цели [5, с.146]. Они, хотя и косвенно, характеризуют возможности МС по уровню создаваемого магнитного потока. Действительно, ПМ на основе самарий-кобальтовых или неодим-железо-бор сплавов имеют достаточно "жесткие" характеристики , что позволяет считать их "источниками" потока, и, следовательно, при прочих равных условиях считать, что магнитный поток через нейтральное сечение ПМ пропорционален их площади. В свою очередь, указанные параметры могут быть использованы как частные функции цели в составной функции цели при оптимизационных расчетах МЖУ, обеспечивающей максимальный поток в СМ.

В таблице 1 приведены значения  для изготовленных ООО "ИнТек Техно" г. Новосибирск МЖУ и  для применяемых в них стандартных шариковых подшипниках:

Таблица 1.

Из таблицы 1 следует, что . При этом значение последнего может служить некоторой "реперной" точкой, определяющей возможный диапазон варьирования :

Как правило, используемые ПМ (см. рис.2, 3 4) имеют кольцевую, дисковую, прямоугольную или трапецеидальную форму, применение которых объясняется простотой их изготовления, удобством установки в кольцевой паз магнитопровода при обеспечении требуемых параметров магнитного поля в зазоре. Очевидно, что три последних варианта формы ПМ после установки их в кольцевой паз магнитопровода нарушают изотропию распределения материала ПМ в кольцевом пазу в тангенциальном направлении и для корректного расчета распределения магнитного поля в элементах МЖУ требуют использования 3d расчетных моделей. И хотя ПМ отделены от рабочего зазора ферромагнитной средой, выравнивающей неравномерное (периодическое) распределение магнитного потока за счет перераспределения потоков в тангенциальном направлении. (см [3, с.148-149]), предпочтительным все же можно считать расчет реального трехмерного распределения магнитного поля в рабочем зазоре. Поэтому программа оптимизации МЖУ должна учитывать факт дискретного расположения ПМ в кольцевом пазу и базироваться на математических моделях расчета геометрии ПМ и СМ, учитывающих общую форму ПМ и детали его геометрии, в том числе и скругления или фаски на ребрах пересекающихся боковых граней ПМ. Эти модели должны содержать явно и неявно выраженные соотношения и легко поддаваться программированию при разработке подпрограмм расчета геометрии группы ПМ в кольцевом пазу и указанных частных функций цели.

При  для всех указанных исполнений ПМ (кроме кольцевых) получается максимально плотная укладка ПМ в тангенциальном направлении кольцевого паза магнитопровода, когда сопряженные магниты касаются друг друга.

- Геометрия кольцевого ПМ (рис.2а) общеизвестна, его площадь – площадь кольца приведена в (2е), а коэффициент заполнения паза равен 1.

- Дисковые ПМ, (рис.2б). Форма ПМ исключает скругления боковых граней. В этом случае при  геометрия ПМ и СМ описывается сравнительно простыми выражениями (см. рис.5а):

где  – Относительный диаметр магнита.

Относительные суммарная площадь ПМ и коэффициент заполнения кольцевого паза СМ могут быть представлены в виде (см.рис.5б):

где .

Из рис.5б следует, что относительная суммарная площадь ПМ имеет максимум  при . Полученное значение оптимального внутреннего диаметра расположения ПМ существенно меньше  из таблицы 1. Реальные  для значений  из таблицы 1 при этом составляют (0.37…0,74) от их максимального значения т.е. в (2,7…1,35) раза меньше возможных. Столь низкая реализация потенциальных возможностей дисковых ПМ в кольцевом пазу позволяет сделать вывод о необходимости тщательного подхода при выборе их для СМ с кольцевыми пазами. Их применение рационально в специальных конструкциях МЖУ, например, с отношением диаметров  или в МЖУ, играющих роль буфера – разделителя от агрессивной среды или при сверхглубоком вакууме для отделения от него подшипника МЖУ. Эти МЖУ играют вспомогательную роль и удерживают сравнительно небольшую часть приложенного к МЖУ перепада давления.

В соответствии с рис.5б коэффициент заполнения кольцевого паза СМ монотонно растет во всем диапазоне изменения  и изменяется в пределах . В связи с отсутствием максимума у указанного параметра его удобно использовать как ограничение.

Таким образом, при заданном  по (3) можно рассчитать число магнитов  и их диаметр  при . Первый параметр должен быть целым числом, определить которое можно обработкой полученных действительных чисел, например, в редакторе Maple, получая ближайшее меньшее целое число ПМ

По аналогии с (1а) угловой шаг магнитов в тангенциальном направлении в этом случае удовлетворяет второму соотношению (2а).

В соответствии с нормативными документами, например, [1, с. (20-36); 2, с. (18-33)] диаметры дисковых ПМ заданы в мм. и являются, как правило, целыми числами в миллиметрах. Приоритет применения данной размерной единицы в

ТУ, скорее всего, обуславливается требованием простановки размеров в КД в мм. [4, п. 4.7 ].

Для получения целых значений диаметров ПМ также используем процедуру получения ближайшего меньшего целого числа:

Введем коэффициент отклонения целого диаметра ПМ от расчетного

Очевидно, чем больше указанный коэффициент, тем ближе лежит целый диаметр магнита к расчетному, тем плотнее будут уложены ПМ. На рис.6а и 6б представлены допустимые значения числа ПМ, удовлетворяющие заданному диапазону отклонений . Точки, лежащие на оси абсцисс, не удовлетворяют указанному диапазону. Для выбора  и , удовлетворяющих принятому диапазону , служит подпрограмма их расчета.

Рисунок 6. Число ПМ, удовлетворяющих заданному диапазону допустимых Kdm по (4в)

Не имеет принципиального значения округление по (4б) не до ближайших целых, а до ближайших меньших целых табличных значений , приведенных в ТУ на ПМ [1, с.20-36, 2, с.18-33]. В этом случае диаметр магнита будет не только целым, но и соответствовать диаметру по ТУ.В случае наличия размеров, заданных с точностью до 0,1 мм., получение табличного значения можно проводить в системе единиц 0,1 мм.

Для СМ с прямоугольными ПМ введем относительные размеры сторон (см. рис.3 а, б и в)

При предельной укладке прямоугольных ПМ по окружности СМ, т.е. при  по аналогии с (3) получим:

Процедура нахождения целых чисел ПМ и размеров сторон аналогична (5а и 5б).

Из (7б) и рис.3а следует, что должно выполняться условие

Рисунок 7. Число ПМ от внутреннего диаметра dmi и ширины b ПМ (по рис. 2в); а – 3d и б – 2d варианты

На рис. 7 представлены графики зависимости  по (7а). Следует отметить, что при

 Суммарная площадь ПМ и заполнение кольцевого паза имеют вид

Их графики представлены на фиг. 8 и 9. Обе зависимости имеют максимумы как по внутреннему диаметру, так и по ширине магнита до некоторых их критических значений после чего характер их изменения  и  становится монотонным. Переход к монотонному характеру изменения указанных функций происходит при критических значениях  и .

Уравнения (7а) и (7б) содержат два независимых параметра. Это позволяет, в отличие от дисковых ПМ, дополнительно варьировать еще одним и при общей оптимизации МЖУ поддерживать достаточно высокий уровень частных функций цели по (8а) и (8б), учитывая наличие у них максимумов. Оптимальные параметры, обеспечивающие максимум  и , представлены на рис.10. Как следует из рис.10а максимальная суммарная площадь ПМ практически инвариантна относительно оптимальной ширины ПМ и не превышает (0,7…0.75) максимальной суммарной площади дисковых ПМ (см. рис.3а). Иными словами, прямоугольные ПМ без скруглений имеют меньшую максимальную площадь, но сохраняют достаточно высокий ее уровень в области .

Выполнение скруглений боковых граней ПМ возможно двумя вариантами их исполнения(см. рис.3б и 3в). В первом - скругления выполнены с одной стороны ПМ (см. рис.3б), во втором – скруглены все боковые грани. (Как показывает опыт сотрудничества с заводами -изготовителями ПМ затруднений с изготовлением ПМ любой формы со скруглениями и без не возникает). Скругления на внутреннем диаметре расположения ПМ позволяет уплотнить укладку ПМ и увеличить их количество в пазу МС. При  контакт ПМ между собой происходит не по ребрам, а по скруглениям. Уравнение для расчета числа постоянных магнитов с скруглениями имеет вид:

где

Длина второй стороны ПМ

Здесь .

Очевидно, при расчете геометрии МС должны выполняться условия

На рис. 11 представлены отношения числа ПМ со скруглениями к числу ПМ без скруглений - , полученные из условий равенства внутренних диаметров  =  и ширины магнитов . Зависимости имеют максимумы, которые возрастают с ростом отношения , что указывает на эффективность увеличения радиуса скругления граней ПМ с точки зрения увеличения количества ПМ.

Суммарная площадь ПМ с учетом скруглений

где  для ПМ по рис. 2г и  для ПМ по рис. 2д.

На рис. 12 представлены зависимости безразмерной суммарной площади ПМ от внутреннего диаметра их расположения и ширины ПМ. Минимальное значение ширины ПМ  выбирается из первого члена соотношения (9ж).

Зависимости имеют ярко выраженные максимумы. При этом, до некоторого критического значения (в данном случае это ) кривые имеют максимум, после чего они монотонно изменяются, достигая максимума при нулевых значениях . Самое важное, что максимумы  распределены в широком диапазоне изменения  и .Это позволяет при варьировании указанных параметров обеспечивать достаточно высокий уровень .

Эффективность скругления граней ПМ показана на рис.13, где представлены максимальные значения суммарной площади ПМ. В качестве аргумента выбрана оптимальная ширина ПМ, при которой обеспечивается максимум .

Расчеты проведены при  для четырех значений , в том числе и варианта без скруглений боковых граней. Из графиков следует, что с увеличением радиусов скруглений .увеличивается (за счет увеличения числа ПМ) и при прямоугольные ПМ со скруглениями имеют бОльшую площадь,

нежели дисковые. Вместе с тем, уже при  перестают удовлетворяться условия для  (9ж) и геометрия ПМ перестает соответствовать рис.3б и 3в. Таким образом, можно рекомендовать радиусы скругления .

Наиболее плотную укладку обеспечивают ПМ трапецеидальной формы (см. рис.4а). Очевидно, кольцевой ПМ может быть разбит на произвольное число N трапецеидальных ПМ, независимое от геометрии кольцевого паза СМ. Площади сечения одного ПМ с учетом (2а) при  имеют вид:

где c и h – индексы, относящиеся к исполнениям внутренней и наружной частей по дуге окружности или по хорде, соответственно. Следует отметить, что некоторые соотношения известны как площади секторов окружностей.

В отличие от прямоугольных ПМ, где скругления боковых граней влияют на распределение и количество ПМ в кольцевом пазу, для трапецеидальных ПМ скругления не оказывают влияния на указанные параметры а лишь изменяют (уменьшают) их площади. Очевидно, суммарная площадь ПМ может быть представлена в виде

где индексы  – определяют исполнение внутренней и наружной частей ПМ по ((11а) – (11г)).

При наличии радиусов скруглений по (9б) площадь одного выреза от скругления может быть выражена следующими соотношениями (см. рис.4б):

- Для внутренней части скруглений:

-При скруглении внутренней поверхности ПМ по дуге окружности:

где .

-При скруглении внутренней грани ПМ по хорде:

где

-Для наружной части скруглений:

- При скруглениях наружной поверхности ПМ по дуге окружности:

где .

Из уравнения для  следует, что должно выполняться условие

В случае выполнения грани ПМ, расположенной в зоне наружного диаметра кольцевого паза магнитопровода, по хорде, скругление вызывает изменение положения наружной грани ПМ (переход грани из точки А в точку Б). Площадь одного ПМ со скруглениями, в отличие от (11б и 11в) будет иметь вид:

где

Отношение расстояний полок ПМ от центра кольцевого паза магнитопровода (см. рис.4б) от числа ПМ  и радиуса скругления  представлено на рис 14 и имеет вид

Из рисунка следует, что существует достаточно широкая область параметров, где это отношение больше 1, т.е. полки со скруглениями располагаются дальше от центральной оси. Изменение положения грани ПМ приводит к изменению его площади, которая при определенных условиях больше, чем исходная по (11б). На рис.15 представлено отношение площади ПМ со скруглениями (14а) к площади без скруглений по (11б и 11в). Например, для (11б), имеем

Из рисунка следует, что при определенных условиях площадь ПМ со скруглениями больше площади ПМ без скруглений. С ростом числа ПМ этот эффект снижается, а диапазон радиусов скругления, при котором , сужается.

Рисунок 15. Отношение площадей ПМ по (15) при dmi = 0.7

Дополнительно отметим, что при выполнении наружной грани по хорде (рис. 4б) площадь одного выреза от скругления равна

В результате, суммарная площадь трапецеидальных ПМ (кроме ПМ по рис. 4б) может выражена в виде:

где индекс j обозначает вариант выполнения скругления: с- по дуге окружности и h-по хорде. При выполнении скруглений наружных граней, одна из которых выполнена по хорде, расчет следует вести по (14а) и (14б). Следовательно, при выполнении наружной грани ПМ по дуге окружности скругление граней лишь уменьшает суммарную площадь ПМ. Скругление наружных граней ПМ по хорде приводит в некоторой области параметров к увеличению суммарной площади ПМ. Это отражено  на рис.15

Выводы:

- В работе получены аналитические соотношения для расчета геометрии СМ и ПМ с дисковой, прямоугольной и трапецеидальной формой сечения, позволяющие учитывать радиусы скруглений боковых граней ПМ. Указанные соотношения сравнительно просто могут быть использованы в аналитических и численных исследованиях МС с расположением ПМ по окружности, в частности, в кольцевом пазу.

- Задание и учет в расчетной модели МЖУ геометрии ПМ со скруглениями граней позволяет повысить информативность расчетов СМ и рассчитывать не только общие параметры магнитного поля в рабочем зазоре, но и с большей точностью учитывать, например, кромочные эффекты, возникающие при разного рода резких неоднородностях геометрии и/или материалов СМ.

-Суммарная площадь дисковых ПМ при постоянном внешнем диаметре кольцевого паза имеют максимум  = , получаемый при значении . Относительный внутренний диаметр расположения ПМ в изготовленных МЖУ, как правило, существенно больше и составляет по грубой оценке (см табл.1) (0,58…0,73) для МЖУ с цельным валом и (0,67…0,82) для МЖУ с полым валом. Таким образом, дисковые ПМ обеспечивают лишь (0,57…0,76) и (0,33…0,61) от максимально возможной суммарной площади в пазу СМ. Следует ожидать, поэтому, и заметного снижения средней индукции в рабочем зазоре МЖУ по сравнению с кольцевым ПМ.

- Достаточно перспективной является прямоугольная форма ПМ с скруглениями боковых граней или фаской. Такая форма позволяет увеличить суммарную площадь ПМ в пазу в (1,22…1,87) и (1,52…3,22) раза по сравнению с дисковыми ПМ для МЖУ с цельным и полым валами (см. рис.13). По сравнению с прямоугольными ПМ без скруглений суммарная площадь ПМ со скруглениями может быть увеличена в (1.3…1.5). Последняя цифра для исполнения ПМ со скруглениями только с одной стороны по отношению к размеру A (см. рис. 3б). При этом скругления ПМ следует располагать со стороны внутреннего диаметра кольцевого паза СМ. Важно, что суммарная площадь ПМ практически инвариантна относительно широкого диапазона изменения размера ;

-Как следствие, при оптимизационных расчетах МЖУ наличие максимума суммарной площади ПМ дает возможность организации вычислений оптимальных МЖУ по составной функции цели [5, с.146], учитывающей с некоторым весовым коэффициентом дополнительные функции цели. В их качестве, в данном случае, могут быть приняты указанные выше  и . В этом случае, если считать ПМ источниками потока ("жесткая" характеристика ), указанные дополнительные функции цели при их максимуме будут обеспечивать максимальный поток через магниты, т.е. их максимальное использование. В общем случае их максимум будет обеспечивать максимальное использование кольцевого паза в СМ.

Список литературы:

1. ТУ 6391-002-55177547-2005 Магниты постоянные на основе сплава неодим-железо-бор марки Ч36Р. Технические условия.
2. ТУ 6391-005-55177547-2008 Магниты постоянные на основе сплава кобальт-самарий Технические условия.
3. Казаков Ю.Б., Морозов Н.А., Страдомский Ю.И., Перминов С.М. Герметизаторы на основе нанодисперсных магнитных жидкостей и их моделирование,-Иваново, , ГОУВПО ИГЭУ, 2010.-184с.
4. ГОСТ 2.307 -2011 ЕСКД. Нанесение размеров и предельных отклонений.
5. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1992.-504с.