ПРИМЕР ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ НАДЕЖНОСТИ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ

AN EXAMPLE OF ESTIMATING THE RELIABILITY PARAMETERS, UNDER NORMAL LAW OF DISTRIBUTION OF REFUSALS

Vladimir Kovalchuk

professor, Department of Mathematics, Information Systems and Software, Murmansk State Technical University,

Russia, Murmansk

Marina Burzun

graduate student, Department of Mathematics, Information Systems and Software, Murmansk State Technical University,

Russia, Murmansk

АННОТАЦИЯ

В статье проведена оценка показателей надежности безотказной работы системы. На примере показан расчет основных показателей средствами VBA.

ABSTRACT

The article evaluates the reliability of the system's uptime. The example shows the calculation of the main indicators using VBA.

Ключевые слова: безотказная работа, доверительный интервал, испытания, нормальный закон распределения, число отказов.

Keywords: uptime, confidence interval, tests, normal distribution law, number of failures.

Определение показателей надёжности необходимо для формулирования требования по надежности к проектируемым устройствам или системам. Показатель надежности  – это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта [1].

Поскольку отказы и сбои элементов являются случайными событиями, то теория вероятностей и математическая статистика являются основным аппаратом, используемым при исследовании надежности, а сами характеристики надежности должны выбираться из числа показателей, принятых в теории вероятностей [3, с.13].

Количественные характеристики надежности при нормальном законе распределения отказов могут быть определены из следующих выражений:

                                                                            (1)

P(t)=                                                          (2)

λ()=                                                                                                  (3),

где  нормированная и центрированная функция Лапласа.

Произведем расчет параметров надежности испытаний, проведенных в течение 100 часов на 100 деталях, 34 из которых вышли из строя.

Для построения статистического ряда время испытаний разбивают на интервалы (разряды) и подсчитывают частоту, интенсивность и вероятность отказов, используя выражения (1), (2) и (3). Определяют доверительные интервалы математического ожидания и среднеквадратичного отклонения при нормальном законе распределения отказов и заданном коэффициенте доверия [2, с. 60].

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1.

Результаты расчета основных показателей испытаний

Листинг фрагмента программы расчета показателей при нормальном законе распределения:

'Вычислим 43 строку таблицы(45)=============================Рн(t)

СтрокаТаблицы = 45

'a=(t-Tср)/Сигма

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

    a = Abs(Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) / Сигма

    'b=Фо

        СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

     While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

        СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

    Wend

     If a <= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 1).Value Then

        ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(2, 2).Value

        GoTo далее

    End If

    If a >= Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

        ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

        GoTo далее

    End If

        СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

    While Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> ""

        If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value = a Then

            ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

            GoTo далее3

        End If

        If a < Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And a > Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

            If Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value - a < a - Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 1).Value Then

               ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

            Else

                ф0 = Sheets("Таблица функции Лапласа").Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа - 1, 2).Value

            End If

            GoTo далее3

        End If

        СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

    Wend

далее3:

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 0.5 + ф0

Next

'Вычислим 44 строку таблицы(46)=============================fн(t)

СтрокаТаблицы = 46

СтолбецТаблицы = 4

Pi = Application.WorksheetFunction.Pi

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 1 - 1 / (Сигма * Sqr(2 * Pi)) * Exp((Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(3, n).Value - Tcp) ^ 2 / (2 * (Сигма ^ 2)))

Next

'Заполним 45 строку таблицы(47)=============================Лямбда н(t)

СтрокаТаблицы = 47

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(46, n).Value / Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(45, n).Value

Next

Для определения доверительного интервала для математического ожидания по таблице квантилей распределения Стьюдента находят квантиль вероятности. Используя  выражения (4) и (5) проводят расчеты

                                                                              (4)

                                                                              (5)

'Заполним 30 строку таблицы(32)=============================Tср min

СтрокаТаблицы = 32

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

СтепеньСвободыПриНормРаспред = КоличествоСтолбцовТаблицы + 1 - 2

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Tcp - Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(31, 4).Value * Сигма / Sqr(СтепеньСвободыПриНормРаспред)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 31 строку таблицы(33)=============================Tср max

СтрокаТаблицы = 33

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Tcp + Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(31, 4).Value * Сигма / Sqr(СтепеньСвободыПриНормРаспред)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Для определения доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения по таблице квантилей χ² – квадрат распределения определяют квантили для заданных вероятностей P₁ и P₂.

'Заполним 32 строку таблицы(34)=============================X1(0,05)

СтрокаОсновнойТаблицы = 34

СтрокаТаблКвантили = 4

ВходнаяСтрочнаяВеличина = СтепеньСвободыПриНормРаспред

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

    If ВходнаяСтрочнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(4, 1).Value Then

        СтрокаТабл = 4

        GoTo СледующийПоиск10

    End If

    If ВходнаяСтрочнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

        СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

        GoTo СледующийПоиск10

    End If

СтрокаТаблКвантили = 4

    While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

        If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value = ВходнаяСтрочнаяВеличина Then

            СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

            GoTo СледующийПоиск10

        End If

        If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value And ВходнаяСтрочнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

            If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value - ВходнаяСтрочнаяВеличина < ВходнаяСтрочнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

                СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

            Else

               СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

            End If

            GoTo СледующийПоиск10

        End If

        СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

    Wend

СледующийПоиск10:

СтолбецТаблКвантили = 2

ВходнаяВертикальнаяВеличина = 0.05

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

    If ВходнаяВертикальнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, 2).Value Then

        СтолбецТабл = 2

        GoTo СледующийПоиск11

    End If

    If ВходнаяВертикальнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

        СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

        GoTo СледующийПоиск11

    End If

СледующийПоиск11:

СтолбецТаблКвантили = 11

    While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

        If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value = ВходнаяВертикальнаяВеличина Then

            СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

            GoTo СледующийПоиск12

        End If

        If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value And ВходнаяВертикальнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

            If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value - ВходнаяВертикальнаяВеличина < ВходнаяВертикальнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

                СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

            Else

               СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

            End If

            GoTo СледующийПоиск12

        End If

        СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

    Wend

СледующийПоиск12:

x1 = Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТабл, СтолбецТабл).Value

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4).Value = x1

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 33 строку таблицы(35)=============================X2(0,95)

СтрокаОсновнойТаблицы = 35

СтрокаТаблКвантили = 4

ВходнаяСтрочнаяВеличина = СтепеньСвободыПриНормРаспред

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

    If ВходнаяСтрочнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(4, 1).Value Then

        СтрокаТабл = 4

        GoTo СледующийПоиск13

    End If

    If ВходнаяСтрочнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

        СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

        GoTo СледующийПоиск13

    End If

СтрокаТаблКвантили = 4

    While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> ""

        If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value = ВходнаяСтрочнаяВеличина Then

            СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

            GoTo СледующийПоиск13

        End If

        If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value And ВходнаяСтрочнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

            If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value - ВходнаяСтрочнаяВеличина < ВходнаяСтрочнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТаблКвантили - 1, 1).Value Then

                СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

            Else

               СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили - 1

            End If

            GoTo СледующийПоиск13

        End If

        СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

    Wend

СледующийПоиск13:

СтолбецТаблКвантили = 2

ВходнаяВертикальнаяВеличина = 0.95

While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

    If ВходнаяВертикальнаяВеличина <= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, 2).Value Then

        СтолбецТабл = 2

        GoTo СледующийПоиск14

    End If

    If ВходнаяВертикальнаяВеличина >= Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

        СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

        GoTo СледующийПоиск14

    End If

СледующийПоиск14:

СтолбецТаблКвантили = 2

    While Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> ""

        If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value = ВходнаяВертикальнаяВеличина Then

            СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

            GoTo СледующийПоиск15

        End If

        If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value And ВходнаяВертикальнаяВеличина > Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

            If Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value - ВходнаяВертикальнаяВеличина < ВходнаяВертикальнаяВеличина - Sheets("Квантили распределения хи").Cells(3, СтолбецТаблКвантили - 1).Value Then

                СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

            Else

               СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили - 1

            End If

            GoTo СледующийПоиск15

        End If

        СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

    Wend

СледующийПоиск15:

x1 = Sheets("Квантили распределения хи").Cells(СтрокаТабл, СтолбецТабл).Value

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4).Value = x1

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Получим минимальное σ_min и максимальное σ_max значения среднеквадратического отклонения:

                                                                                         (6)

                                                                                         (7)

'Заполним 34 строку таблицы(36)=============================Сигма min

СтрокаТаблицы = 36

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Сигма * Sqr((СтепеньСвободыПриНормРаспред - 1) / Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(35, 4).Value)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

'Заполним 35 строку таблицы(37)=============================Сигма max

СтрокаТаблицы = 37

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы - 1)

Next

СтепеньСвободыПриНормРаспред = КоличествоСтолбцовТаблицы + 1 - 2

Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Сигма * Sqr((СтепеньСвободыПриНормРаспред - 1) / Sheets("ОсновнаяТаблица").Cells(34, 4).Value)

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).MergeCells = True

Sheets("ОсновнаяТаблица").Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n - 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Число разрядов, на которые следует группировать статистический ряд, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и часто в нем обнаруживают незакономерные колебания), с другой стороны, оно не должен быть слишком малым (свойства распределения при этом описываются статистическим рядом слишком грубо).

Список литературы:

1. ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения.
2. Коваленко, В. Н. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики : учеб. пособие / В. Н. Коваленко. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2013. – 87, [1] с.
3. Федотов, А. В. Основы теории надежности и технической диагностики: конспект лекций / А. В. Федотов, Н. Г. Скабкин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010 – 64 с.