МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ ДЕРЕВЯННЫХ СТЕРЖНЕЙ

АННОТАЦИЯ

Решена задача определения напряженно-деформированного состояния слоисто-неоднородных деревянных стержней в условиях ползучести. При этом учтены такие факторы как влияние влажности и температуры, разной сопротивляемости древесины растяжению и сжатию. Учитывается механо-сорбционная ползучесть древесины.

Деревянные стержни образованы путём жёсткого соединения (склеивания) по определённым контактным поверхностям набора слоёв различных форм поперечных сечений и разных пород древесины. В общем случае стержни находятся в условиях сложного изгиба с растяжением-сжатием.

Ключевые слова: ползучесть, механо-сорбционный эффект, слоистые конструкции, деревянные конструкции, физическая нелинейность, разносопротивляемость, сжатие, растяжение.

Введение

Исследование процессов ползучести слоисто-неоднородных конструкций из материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию является актуальной задачей как с точки зрения изучения процессов деформирования материалов во времени, так и с точки зрения решения задачи определения напряжённо-деформированного состояния (НДС) и проектирования конструкций из таких материалов.

При малых уровнях нагрузок (малых напряжениях и деформациях) деформирование практически любой конструкции можно достаточно точно описать моделью линейно-упругого тела. Если же, увеличивать нагрузки на конструкцию, равно как и температуру, влажность и другие внешние воздействия, материал начинает проявлять свойства пластичности и ползучести. При этом может происходить значительное изменение НДС конструкции, а также прочностных характеристик материала. Данные положения послужили широкому развитию теории ползучести.

Современные технологии позволяют значительно расширить область применения древесины в качестве конструкционного материала, а также повысить уровни допускаемых напряжений. Широкие возможности применения древесины в строительстве показывают такие сооружения как: радиобашня в Польше высотой 118 м (1935 г.), деревобетонный мост в Австрии [4] пролётом 85 м (1993 г.), жилое здание в Канаде [5] высотой 53 м (2017 г.) и др. В связи с этим необходимо развитие теории ползучести древесины с учётом её разносопротивляемости растяжению и сжатию, физической нелинейности, влиянию влажности и температуры. Учёт возможности расчёта слоисто-неоднородных конструкций даст большие возможности для оптимизации, а также рационального использования различных пород древесины.

Экспериментальное подтверждение разной сопротивляемости древесины растяжению и сжатию при ползучести дано в работах как отечественных [1], так и зарубежных авторов [2,3]. Однако, данный экспериментальный факт до сих пор практически не учитывался при расчёте деревянных конструкций.

В работах Рощиной С.И. [4] принимается линейно вязкоупругая модель с ядром ползучести в виде затухающей экспоненциальной функции. Решается задача определения напряженно-деформированного состояния (НДС) деревянных армированных балок, находящихся в условиях прямого поперечного изгиба. Пятикрестовский К.П. [5] использует эмпирическую зависимость, связывающую в явном виде полные деформации, время и напряжение. Для решения задач расчёта сжато-изгибаемых деревянных стержней используется метод интегральных оценок Бондаренко В.М. Zhuoping S. [6] моделирует поведение древесины во времени с помощью модифицированной модели Максвелла. При этом, приходим к эмпирической связи между временем, напряжением и деформациями. Модель строится с помощью регрессионного анализа кривых ползучести для различных уровней напряжений. Основное внимание Zhuoping S. посвящено построению определяющих уравнений деформирования древесины, без применения их к расчёту конструкций.

Подробный обзор исследований по ползучести древесины дан в работах Holzer M. и др. [7] и Jörg Schänzlin [3]. В частности, в [7] указывается, что большинство экспериментальных работ по ползучести древесины выполняется при испытаниях образцов на изгиб, а не растяжение-сжатие. Происходит это потому, что испытания на изгиб легче производить, чем на растяжение-сжатие - легче приложить нагрузку и снимать показания. Однако, испытания на изгиб дают скорее механические свойства структурного элемента (деревянной балки), а не материала как такового. Связано это с неравномерным распределением напряжений по высоте образца. Что, в частности, не позволяет выявить различия между ползучестью при растяжении и сжатии. Также действие касательных напряжений при изгибе влияет на полученные результаты.

Современные методы решения задач расчёта конструкций с учётом ползучести представлены в обзорах [8-11].

Анализ указанных выше работ показал, что в них практически не рассматривается задача определения НДС слоисто-неоднородных деревянных конструкций с учётом разносопротивляемости растяжению и сжатию. На восполнение этого пробела и направленно данное исследование.

1. Математическая модель деформирования бруса.

Схема бруса в декартовой прямоугольной системе координат xyz представляет собой стержень, состоящий из нескольких слоёв. Слои могут быть выполнены из различных материалов и могут располагаться как горизонтально, так и вертикально (рис.1). Общее число слоёв принципиально не ограничено. Условия контакта слоёв считаются совершенными - отсутствуют взаимные смещения любого направления в плоскости контакта.

Рисунок 1. Общий вид и форма поперечного сечения слоистого стержня

Начало системы координат xyz помещаем в левый конец стержня. Ось x совпадает с продольной осью стержня и имеет определённую геометрическую привязку к поперечному сечению.

Для упрощения получающихся в дальнейшем решений, будем считать, что структуры гибридных стержней и распределений внешних нагрузок согласованы так, что они в процессе нагружения либо вовсе не вызывают эффектов закручивания, либо они столь незначительны, что ими можно пренебречь. В общем случае стержень испытывает изгиб в плоскостях  и  с растяжением-сжатием. Все нагрузки приведены к продольной оси стержня - оси х.

Деформации и перемещения будем считать малыми. Это позволит записывать уравнения равновесия для недеформированного состояния:

Здесь  - проекция вектора внутреннего усилия на ось x,  - проекции вектора внутреннего момента на оси z и . Точка приложения вектора внутренних усилий лежит на оси стержня. Величины  - проекции вектора распределённой нагрузки, приложенной к оси стрежня,  - проекции вектора распределённого момента на оси z и .

Интегрируя уравнения (1), получим выражения для внутренних усилий:

В случае если стержень статически определимый, то значения внутренних усилий в начале координат определяем из условий равновесия узлов. Иначе, необходимо составлять дополнительные условия совместности деформаций.

Принимается справедливой теория плоских сечений Бернулли и упрощённое выражение кривизны плоской кривой. В соответствие с данными ограничениями связь между деформациями и перемещениями стержня выражается следующими известными соотношениями:

Здесь  - продольная деформация на уровне оси стержня и изменение кривизны оси стержня в проекции на оси  и ,  - компоненты перемещений точек на выбранной осевой линии. Интегрируя соотношения (3) получим:

Величины  и  находим из условий закрепления стержня.

Связь между нормальными напряжениями и деформациями опишем на основе модели [12]. Деформации древесины состоят из следующих частей:  – упругие деформации,  –пластические деформации,  – деформации ползучести,  – деформации механо-сорбционной ползучести и деформации усадки/набухания .

Соответственно приращение деформаций на соответствующем шаге по времени состоит из следующих компонент:

где  – приращение упругих деформаций,  – приращение пластических деформаций,  – приращение деформаций ползучести,  – приращение деформаций механо-сорбционной ползучести,  – приращение деформаций усадки/набухания.

Связь между нормальными напряжениями и деформациями  и  выражается степенным многочленом вида (7):

Где  - константы, зависящие от механических свойств материала, а также температуры (T) и относительной влажности (u).

Коэффициенты ,  и  определяются из экспериментов на растяжение – сжатие при различных значениях температуры и влажности древесины. Константы  и  выбираются в процессе планирования испытаний.

Деформации ползучести задаются шестью элементами Кельвина:

Численные значения  и  определяются на основе экспериментальных данных отдельно для растяжения и отдельно для сжатия древесины [13]. Приращение деформаций ползучести можно вычислить, используя правило трапеций:

где  обновляется после каждой итерации

Модель механо-сорбционной ползучести берем на основе работ Toratti [12]. Для деформаций растяжения:

для деформаций сжатия:

где . При сжатии добавляется линейная часть деформаций, отвечающая за потерю устойчивости микрофибрил и, следовательно, считается полностью не восстанавливаемой. Оставшаяся часть механо-сорбционных деформаций может полностью восстанавливаться при изменении влажности и разгрузки.

Для механо-сорбционных деформаций также используем при интегрировании правило трапеций. Приращение деформаций определяется выражением (14) для отрицательных напряжений. Если напряжения растягивающие в (13) последнее слагаемое удаляется. Как для ползучести, так и для механо-сорбционной ползучести считается применимым принцип суперпозиций Больцмана за тем исключением что последний член в (13) является не восстанавливаемым.

Деформации усадки/набухания древесины параллельные волокнам подразумеваются зависящими от деформаций – формула (16). Древесина испытывает большие деформации усадки/набухания когда находится в состояние сжатия и меньшие – когда находится в состояние растяжения.

где b=1.3,  – коэффициент усушки параллельно волокнам,  – приращение относительной влажности древесины.

2. Решение системы разрешающих уравнений.

Упругие и пластические деформации находим из уравнения (7) по известным формулам [14]. Следуя [14] преобразуем кубическое уравнение (7) к стандартному виду (17).

Делаем замену переменной

и приводим (17) к "неполному" виду:

В зависимости от знака  и  получим следующие значение корней "неполного" кубического уравнения (20).

1. Если , то  и

2. Если,

3. Если,

Во всех случаях берётся действительное значение кубического корня.

Расчет напряженно-деформированного состояния происходит для каждого узла поперечного сечения в следующей последовательности:

1. Определяем относительное содержание влаги в древесине – принимаем равным относительной влажности воздуха
2. Обновляем свойства материала относительно данной влажности и температуры
3. Вычисляем распределение напряжений. Начальное распределение напряжений определяется из технической теории изгиба стержней.
4. Вычисляем приращение деформаций на данном шаге по времени, используя распределение напряжений в начальный момент шага.
5. Определяем приращение напряжений в каждом узле. Возвращаемся к шагу 3 и обновляем значение приращений деформаций. Шаги 3-5 повторяются до тех пор пока не произойдет сходимости по напряжениям и деформациям.
6. Вычисляем внутренние усилия в поперечных сечениях путем интегрирования по площади функции нормальных напряжений. Сравниваем полученные значения с вычисленными из уравнений равновесия. Если критерий сходимости не выполняется, возвращаемся к пункту 3 и изменяем распределение деформаций.
7. Выводим значения деформаций, напряжений и перемещений для данного момента времени t.
8. Продолжить расчеты для следующего шага по времени и вернуться к пункту 1.

Для расчета различных примеров деревянных стержней составлена программа в пакете прикладных программ Matlab.

3. Сравнение с экспериментом

Рассмотрим задачу прямого поперечного изгиба однопролетной балки см. рис.2. Поперечное сечение прямоугольное – 45х90 мм. Балка нагружена усилием F=1000 Н, находится под воздействием переменной влажности 35-90% и постоянной температуры 20°С. Материал балки – ель. Экспериментальные данные взяты из работы Leivo [15].

Рисунок 2. Расчетная схема балки

Результаты расчета представлены на рисунке 3.

Рисунок 3. Сравнение экспериментальных данных [15] с численным расчетом

Заключение

Решена задача определения напряженно-деформированного состояния слоисто-неоднородных деревянных стержней в условиях ползучести. При этом учтены такие факторы как влияние влажности и температуры, разной сопротивляемости древесины растяжению и сжатию. Учитывается механо-сорбционная ползучесть древесины.

*Работа выполнена в рамках гранта № 18-31-00154 мол_а».

Список литературы:

1. Быков В.В. Экспериментальные исследования прочности и деформативности древесины сибирской лиственницы при сжатии и растяжении вдоль волокон с учётом длительного действия нагрузки [Текст] / В.В. Быков // Изв. вузов. Строительство. – 1967. - №8. – С. 3-8.
2. Bond B. H. et al. Development of tension and compression creep models for wood using the time-temperature superposition principle //Forest products journal. – 1997. – Т. 47. – №. 1. – С. 97.
3. Schänzlin J. Modeling the long-term behavior of structural timber for typical serviceclass-II-conditions in South-West Germany. – 2010.
4. Рощина С. И., Римшин В. И. Расчёт деформаций изгибаемых армированных деревянных элементов с учётом ползучести //Известия Юго-Западного государственного университета. – 2011. – №. 1. – С. 121-124.
5. Пятикрестовский К. П. Силовое сопротивление пространственных деревянных конструкций при кратковременных и длительных нагрузках: дис.... д-ра техн. наук. – 2011.
6. Zhuoping S. The variable parameter rheological model of wood //Wood science and technology. – 2005. – Т. 39. – №. 1. – С. 19-26.
7. Holzer S. M., Loferski J. R., Dillard D. A. A review of creep in wood: Concepts relevant to develop long-term behavior predictions for wood structures //Wood and Fiber Science. – 1989. – Т. 21. – №. 4. – С. 376-392.
8. Mackerle J. Finite element analyses in wood research: a bibliography //Wood Science and Technology. – 2005. – Т. 39. – №. 7. – С. 579-600.
9. Mackerle J. Creep and creep fracture/damage finite element modelling of engineering materials and structures: an addendum //International journal of pressure vessels and piping. – 2004. – Т. 81. – №. 5. – С. 381-392.
10. Khorsandnia N. et al. Coupled finite element-finite difference formulation for long-term analysis of timber–concrete composite structures //Engineering Structures. – 2015. – Т. 96. – С. 139-152.
11. Hassani M. M. et al. Rheological model for wood //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2015. – Т. 283. – С. 1032-1060.
12. Toratti T. Modelling the creep of timber beams //Rakenteiden Mekaniikka. – 1992. – Т. 25. – №. 1. – С. 12-35.
13. Bond B. H. et al. Development of tension and compression creep models for wood using the time-temperature superposition principle //Forest products journal. – 1997. – Т. 47. – №. 1. – С. 97.
14. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. - 720 c.
15. Leivo, M. 1991. On the stiffness changes in nail plate trusses. Espoo: Technical Research Centre of Finland, VTT Publications 80. 190 p. + app. 46 p. Dissertation.