ТЕХНОЛОГИЯ БОРЬБЫ С ПОМЕХАМИ ДВАДЦАТЬ ПЕРВОГО ВЕКА

АННОТАЦИЯ

В материале приведено несколько классификаций способов борьбы с помехами и обоснован переход к наиболее универсальному способу борьбы с ними, основанному на законах теории вероятностей. Опираясь на результаты, полученные с помощью методов численного моделирования, описаны предложенные в предыдущих публикациях четыре Утверждения «принципа затухания помехи», на использовании которых основана предлагаемая технология. Возможности борьбы с помехами, полученные с её помощью, выходят далеко за рамки существующих современных методов.

Ключевые слова: пространственная селекция, уровень сигнал-шум, шумоподобный сигнал, спектральная плотность мощности, закон больших чисел, теорема Муавра-Лапласа, теорему Ляпунова, центральная предельная теорема, независимые по вероятности случайные величины, суммирование случайных величин.

Во введении к своей классической работе «Теория потенциальной помехоустойчивости» [1] В.А. Котельников обозначил «следующие способы борьбы с помехами:

1. Уменьшение силы помех путем воздействия на их источники.

2. Увеличение отношения силы сигналов к силе помех путем увеличения мощности передатчиков и применения направленных антенн.

3. Усовершенствование приемников.

4. Изменение формы сигналов при сохранении их мощности с целью облегчить борьбу с помехами в приемнике», конец цитаты.

Все 4 способа борьбы с помехами объединяет одна общая цель, один критерий, это – повышение отношения «силы сигнала к силе помех», то есть повышение уровня отношения сигнал-шум (УСШ).

Выбрав дополнительный критерий для другой классификации - по уровню сигнал-помеха,  получим три группы способов обработки передаваемой информации, которые подчинены той же цели – повышению уровня сигнал-помеха.

1. Способы обработки передаваемой информации при уровне сигнал-помеха больше единицы:

• Одни основаны на фильтрации частотного спектра, при которой используется явление резонанса, при селекции принимаемого сигнала по спектру;

• Другие на формировании диаграммы направленности (ДН) сложных антенн или ДН антенных решёток (АР), при селекции принимаемого сигнала по направлению прихода сигнала от источника.

2. При уровне сигнал-помеха близком к единице:

• Когда для кодирования сигналов используется фазовая модуляция, что было теоретически предсказано в упомянутой выше работе академика Котельникова.

• Также используется способы формирования ДН антенн и решёток.

3. При уровне сигнал-помеха меньше единицы:

• В этом случае также достигают цели успешного приема информации способами формирования ДН антенн и решёток.

• Применяют различные системы шумоподобных сигналов (ШПС), представляющие собой импульсные последовательности большой длины, которые занимают широкий спектр частот, либо время передачи.

Рисунок 1. Спектр помехи много больше сигнала, фильтрация применима

Рисунок 2. Спектр сигнала много больше помехи, фильтрация применима

Рисунок 3. Спектр сигнала и помехи совпадают, фильтрация не применима

Кроме того, по соотношению полос сигнала и помехи возможны три случая, представленные на рисунках 1 – 3. Соотношение рис.1 чаще всего возникает на выходе антенны, или подобного селективного устройства, в которую конструктивно очень сложно ввести функцию частотной селекции. Ситуация на рис.2 возникает при приеме спектра сигнала на фоне узкополосной помехи различного характера. Для третьего варианта на рис.3, возникающего, как правило, после первых двух вариантов фильтрации, необходимо отметить, что для простейших видов модуляции (АМ и ЧМ) прием возможен лишь для случая рисунка а), когда сигнал много больше помехи. Когда помеха значительно превышает уровень сигнала, как на рисунке б), необходимо либо применение широкополосных ШПС, либо дополнительная пространственная селекция по направлению прихода сигнала.

Для количественной оценки УСШ можно воспользоваться такой широко известной характеристикой, как спектральная плотность мощности, которая равна отношению мощности сигнала в заданной полосе частот к ширине этой полосы. Так по рисунку 1 видно, что до фильтрации мощность помехи была равна:

P₁ = N * F₁; после фильтрации стала P₂ = N * F₂;   причем F₁ >> F₂.

Соответственно меняются суммарные мощности на входе и выходе фильтра:

P₁ >> P₂;  и в итоге фильтрации получаем повышение УСШ:  P_s/P₂ >> Ps/P₁.

Где, N – спектральная плотность мощности помехи;

F1, F2 – полосы частот помехи до и после фильтрации;

P₁ , P₂ – мощности помехи до и после фильтрации;

P_s – мощность сигнала, не изменяемая при фильтрации помехи.

Предлагаемая новая технология борьбы с помехами использует тот же принцип, что и повышение уровня сигнал-помеха в параболических антеннах, которые обеспечивают уверенный прием сигналов, согласно приведенной классификации, при всех трех соотношениях УСШ. Выполняются всего две операции: синхронизация сигналов, полученных в разных пространственно-временных точках, и их суммирование. В параболических антеннах синхронизация осуществляется геометрическим методом, при котором все точки фронта волны проходят одинаковый путь от раскрыва параболической антенны до её фокуса, обеспечивая тем самым синхронизацию полезного сигнала. Суммирование происходит благодаря одновременному воздействию элементов фронта волны на приемный узел, расположенный в фокусе. В антенных решетках синхронизация осуществляется также по фронту волны, и принятые сигналы затем суммируются в едином устройстве, на выходе которого получаем повышение УСШ. [2].

Как показано в 2491717 [3] на примерах с вычислительными моделями (ВМ), способ не копирует работу параболической антенны, а демонстрирует его универсальность и расширяет область его применения, создавая новые невиданные ранее методы борьбы с помехами. Технология позволяет извлекать сигнал далеко за пределами барьера, когда УСШ много меньше единицы, в том числе при простейших видах модуляции, таких как амплитудная (АМ) и частотная (ЧМ) модуляции.

Рисунок 4. Работа параболической антенны при приеме сигнала

Стрелками на рисунке показаны условно направления движения (лучи) элементарных составляющих единого потока энергии, идущего от источника принимаемого сигнала. Свойства параболы по определению обеспечивают для всех лучей, параллельных её оси, неизменность суммы расстояний от апертуры до точки отражения и далее до фокуса, расположенного на оптической оси параболы.

Поскольку и сигнал и помеха являются функциями случайных чисел (значений электрических сигналов), то для поиска способов и построения механизмов борьбы с помехами, добиваясь тем самым повышения УСШ, логично и разумно было бы использовать достижения теории вероятностей.

В эпоху предшествующую теории информации и развития радиотехники отсутствовала общественная потребность в применении её достижений. Но с наступлением эры информационных радиотехнических систем не произошло их активное взаимопроникновение, поэтому в настоящее время задача использования достижений теории вероятностей в информационных системах остаётся актуальной.

Физическое явление, которое используется в этой технологии основано на теоремах и законах теории вероятности. В обобщённом виде для практического применения на совокупности этих законов был предложен «принцип затухания помехи» (ПЗП), который логично опирается на «закон больших чисел», теорему Лапласа и теорему Ляпунова.

Закон больших чисел (ЗБЧ)- Теорема Чебышева.

Пафнутий Львович Чебышёв (1821 – 1894) получил общую формулировку закона больших чисел (опубликовано в 1867 году), которая гласит, что, если математические ожидания серии случайных величин и квадраты этих математических ожиданий ограничены в совокупности, то среднее арифметическое этих величин с ростом их числа (серий) сходится по вероятности к среднему арифметическому для их математических ожиданий.

Рисунок 5. Графическое изображение сущности Закона больших чисел

Из рисунка 5 видно, что среднее арифметическое суммы случайных чисел, согласно ЗБЧ, достаточно быстро приближается к их математическому ожиданию, которое должно быть получено как среднеарифметическое в результате огромного числа опытов (случайных чисел).

Теорема Лапласа является  частным случаем центральной предельной теоремы (ЦПТ) для дискретных случайных величин. Выдающиеся математики прошлого Муавр и Лаплас опубликовали свою теорему в далеком 1730 году.

Согласно локальной теореме Муавра-Лапласа, если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и удовлетворяет условиям 0<p<1, а число независимых испытаний  n достаточно велико, то вероятность P(k) того, что событие А при n испытаниях произойдет ровно k раз, можно вычислить по формуле 

                                              (1)

Где  – функция Гаусса,  .

Уравнение (1) достаточно просто моделируется в электронных таблицах. По сути, как указано в формуле, вероятность P(k) является функцией трех переменных: числа опытов n, вероятности р и числа появлений k события А. Результаты вычислений для n = 1К= 1024 показаны на следующем рисунке, из которого видно, что в зависимости от р получаем максимумы P(k) при различных значениях k.  С ростом р максимумы P(k) асимптотически приближаются к оси ординат, показывающей значения k.

Рисунок 6. Вероятности события А по локальной теореме Муавра-Лапласа

На созданной по формуле (1) вычислительной модели (ВМ) была проверена погрешность между расчетным значением k для  n = 16К и генерируемыми с помощью функции «случайное число» значениями кубика игральной кости с вероятностью р = 1/6, на массиве той же размерности равной 16К. Погрешность (дисперсия) относительно рассчитанного максимума k=2731 для любого из выпадающих на заданном массиве случайных чисел от 1 до 6 не превышала в среднем двух-трёх процентов [5].

В полученной закономерности для P(k) видна обратно пропорциональная зависимость от корня квадратного из числа опытов и асимптотическое убывание её максимумов с ростом р, но нет ответа на вопрос как меняется вероятность суммы нескольких случайных событий и соответственно возникает нормальный закон распределения случайной величины. Ответ на этот вопрос даёт Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова).

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа взаимно независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин, и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения. [4].

Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы (ЦПТ) была доказана Александром Михайловичем Ляпуновым в 1901 г. В ней утверждается, что ЦПТ справедлива не только для одинаково распределенных слагаемых случайных величин, но и для неодинаково распределенных слагаемых. Для большого числа независимых случайных величин (НСВ) справедливы утверждения о том, что математическое ожидание суммы НСВ равно сумме их математических ожиданий, соответственно дисперсия суммы НСВ равна сумме их дисперсий.  Используя функцию «случайное число» в офисном приложении фирмы Майкрософт оба равенства проверяются с большой точностью. Для понимания следующего раздела необходимо обратить внимание на ключевое значение слова «независимых», подчеркнутое выше, синонимами которого в радиотехнике можно считать слова «некоррелированные» или «ортогональные».

Найденное эвристически новое техническое решение, предназначенное для борьбы с помехами при приеме сигналов, после проведения множества вычислительных экспериментов позволило сформулировать четыре утверждения, которые в совокупности составили (поскольку это были словесные утверждения, не требующие математических формул) "принцип затухания помехи". Приведенные выше теоремы выдающихся математиков прошлого были найдены хронологически после возможно неокончательной формулировки ПЗП.

Первое утверждение полностью соответствует содержанию теоремы Ляпунова и гласит, что при суммировании n – ного количества независимых случайных величин изменяется закон распределения вероятностей отклонения случайной величины от своего среднего значения, который в пределе сходится к нормальному закону. Ключевым для понимания использования ПЗП в борьбе с помехами, как отмечено ранее, является слово «независимых». Границы выполнения условий независимости подробно описаны в патенте РФ 2491717.

Кроме того, условие независимости может выполняться как в случае взятия n выборок из принимаемого сигнала последовательно во времени, так и в случае взятия n пространственно разнесенных выборок одного и того же сигнала. Основанием для второго утверждения стало интуитивное понимание того факта, что источники помех при формировании результирующего сигнала в точке приема, за счет их огромного количества, с течением времени несущественно влияют на их закон распределения вероятностей. Что при построении ВМ становится очевидным.

Третье утверждение также перекликается с одним из доказательств А.М. Ляапунова о том, что сумма случайных величин, имеющих различный закон распределения вероятностей, также в пределе стремится к нормальному закону. Следовательно, изменение закона распределения вероятностей отклонения случайной величины от своего среднего значения при суммировании n – ного количества независимых случайных величин отчетливо проявляется и при другом распределении вероятностей суммируемых случайных величин, которое с ростом числа слагаемых также сходится к нормальному закону.

Четвертое утверждение согласуется с теоремой Муавра-Лапласа. Поскольку сумма множества случайных величин также является случайной величиной, то с ростом числа слагаемых наиболее вероятное её значение асимптотически обратно пропорционально корню квадратному из числа слагаемых (проделанных опытов по теореме) приближается к оси ординат. Посему относительный уровень помехи (нормированный по числу слагаемых и максимальному значению одного из слагаемых) в соответствии с данным принципом при увеличении числа слагаемых ассимптотически стремится к некоему минимальному пределу. 

Четыре приведенных Утверждения, помеченные подчеркиванием, в совокупности и составляют основу Принципа затухания помехи.

 В результате исследования ПЗП на вычислительных моделях были определены условия и параметры, при которых работает ПЗП: это скорость затухания и размеры решётки относительно длины волны передаваемого сигнала. Вычислительные эксперименты показали, что, как и у параболической антенны, у пространственной антенной решетки (ПАР) для повышения УСШ её линейные размеры должны быть много больше максимальной длины волны принимаемого диапазона частот. Тем самым, достигается выполнение требования взаимной независимости составляющих помехи в смеси с сигналом после синхронизации последнего и до операции суммирования сигналов, поступивших с элементов ПАР. Соответственно, для существенного увеличения УСШ в параболической антенне, её площадь должна быть как можно больше. Аналогично у ПАР, уровень повышения УСШ зависит от числа элементов решетки.

Рисунок 7. Восстановление синусоиды (Сигнал) из смеси сигнал-шум

На рисунке 7 представлены три графика показывающих, как в результате применения ПЗП восстанавливается несущее синусоидальное колебание с возрастанием количества приемных трактов ПАР, размеры которой удовлетворяют описанным выше условиям, необходимым для затухания помехи относительно синхронизированного по фронту волны сигнала. Кривая «Канал 1» на рисунке отображает смесь сигнала (синусоида «Сигнал») и помехи (случайное число) с треугольным распределением вероятности в уменьшенном виде, чтобы на фоне «Сигнала» и нормированной «Суммы» показать отсутствие корреляции с ними. Число каналов приема в ВМ равно 128, и при варьировании УСШ на их входах в пределах от минус пяти до минус десяти децибел картина восстановления синусоиды в результате суммирования каналов приема не менялась, как показано на рисунке.

Для рисунка 7 в качестве источника помехи использована, для упрощения ВМ, функция "случайное число", которая имеет достаточно широкий спектр частот. Это не влияет на работу ПЗП, но для сомневающегося читателя в [3] рассмотрен случай для узкополосной помехи, которая обладает шириной спектра аналогичной сигналу. Критерием для построения ВМ узкополосной помехи было выбрано изменение её фазы от выборки к выборке, не превышающее изменение фазы несущей АМ-сигнала от верхней до нижней частоты его боковых полос. Также была использована случайная начальная фаза узкополосной помехи, генерируемой для каждого канала приёма АМ-сигнала отдельно. В (Л.1) представлены несколько результатов численного моделирования такого приёма, когда используется расширение полосы, и когда путём повтора отрезка сообщения увеличивается время передачи.

Подытоживая всё сказанное относительно пространственной селекции, необходимо обратить внимание читателя на то, что при таком выборе варианта приёма информации не требуется увеличение объёма сигнала на передающей стороне. При необходимости приёма сигнала в одной точке пространства ниже предела отрицательного УСШ необходимо, в соответствии с формулой Шеннона для пропускной способности канала связи, увеличение объёма сигнала на передающей стороне за счёт расширения полосы модулированного сигнала относительно ширины полосы источника, либо увеличения времени передачи. В предлагаемой технологии это достигается путем кратного повторения спектра модулированного сигнала в выделенной полосе, либо кратного повторения отрезка сигнала необходимое число раз. Во втором случае при этом снижается пропускная способность канала связи. Рассмотрение этих вариантов приема-передачи представляется целесообразным рассмотреть в отдельной статье.

В заключение необходимо отметить, что данная технология борьбы с помехами путём повышения УСШ, благодаря применению ПЗП, не противоречит положениям теории информации, опирающейся на теоремы В.А. Котельникова и теорему К. Шеннона о пропускной способности канала связи. В них описаны процессы, происходящие в одном канале, а технология применения ПЗП оперирует множеством каналов связи. Суммарная пропускная способность каналов связи, которые используются в новой технологии, позволяет достичь парадоксальных результатов.

Благодаря своей простоте, оснований на всего двух операциях, одна из которых (суммирование) является наиболее быстродействующей, предложенная технология имеет большие перспективы использования в современных системах и устройствах связи. В списке литературы приведены ссылки на ВМ, которые можно загрузить из облачного хранилища для проверки проведенных вычислительных экспериментов и приведенных рисунков, за подробными комментариями к которым можно обратиться к автору по электронной почте.

Список литературы:

1. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. 1956 год.
2. Попик П.И.  Материалы XVIII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» 2012 г. 17-19 апреля 2012 года, г. Воронеж. Алгоритм пространственной селекции (стр. 478).
3. Попик П.И. Патент RU 2491717. Способ повышения уровня (отношения) сигнал-шум при применении "принципа затухания помехи". Опубликован 27.08.2013, бюл. № 24.
4. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.   http://sernam.ru/book_tp.php?id=71
5. Численное моделирование теоремы Муавра-Лапласа (ВМ с игральной костью). https://yadi.sk/i/JJohRSXE7YC3Qw  
6. Численное моделирование (вычислительная модель) к рисунку 6.  https://yadi.sk/i/7W7Ot72snZB6cw
7. Численное моделирование (вычислительная модель) к рисунку 7. https://yadi.sk/i/aHOeiGQClNJnNA